【例1】如图，在$△ ADC$与$△ BDC$中，$∠1=∠2$，$AD=BD$，$△ ADC$与$△ BDC$全等吗？请说明理由.

易错提醒 运用“SAS”时，两边必须是夹这个角的两边，角必须是这两条边的夹角.任意两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

解:△ADC与△BDC全等.理由如下:
在△ADC和△BDC中,
$\begin{cases} AD=BD, \\ ∠1=∠2, \\ CD=CD, \end{cases}$
所以△ADC≌△BDC(SAS).

【分析】
要判断△ADC和△BDC是否全等，先梳理已知条件：题目已给出AD=BD、∠1=∠2，再观察图形可发现两个三角形有公共边CD，即CD=CD。接下来验证条件是否符合全等判定规则：∠1是AD与CD的夹角，∠2是BD与CD的夹角，三个条件刚好满足“两边及其夹角对应相等”的SAS判定要求，因此可证明两三角形全等。
【解析】
△ADC与△BDC全等，理由如下：
在△ADC和△BDC中：
$\begin{cases} AD=BD, \\ ∠1=∠2, \\ CD=CD, \end{cases}$
所以△ADC≌△BDC（SAS）。
【答案】
△ADC与△BDC全等，依据SAS判定可证。
【知识点】
SAS判定三角形全等，公共边的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件（如本题的公共边），同时要明确使用SAS判定时，角必须是两条对应边的夹角，避免误用非定理的“边边角”判定。
【难度系数】
0.9

【变式1】如图，线段AC，BD相交于点O，且$AO=OC$，请添加一个条件使$△ ABO ≌ △ CDO$，且以“SAS”为依据，则应添加的条件为。
【变式2】如图，点D在线段BE上，$AB // CD$，$AB=DE$，$BD=CD$.$△ ABD$和$△ EDC$全等吗？为什么？

【变式1】BO=DO
【变式2】解:△ABD≌△EDC.理由如下:
因为AB//CD,所以∠ABD=∠EDC.
又因为AB=ED,BD=DC,所以△ABD≌△EDC(SAS).

【分析】
对于变式1：解题需先明确全等三角形SAS判定的要求：两个三角形有两组对应边相等，且两组边的夹角对应相等即可判定全等。首先梳理△ABO和△CDO的已知条件：已知AO=OC，线段AC、BD交于O可得对顶角∠AOB=∠COD，已经满足一组边相等、一组夹角相等，要符合SAS判定依据，只需补充夹角的另一组对应边相等即可。
对于变式2：要判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：由AB//CD可推出同位角相等，得到一组对应角相等，再结合题目给出的两组对应边相等，验证是否符合SAS判定的条件即可。
【解析】
◆变式1解析：
在△ABO和△CDO中，已知AO=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），若以“SAS”为判定依据，需要补充夹角∠AOB、∠COD的另一组对应边相等，即BO=DO。
◆变式2解析：
△ABD≌△EDC，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠EDC（两直线平行，同位角相等），
在△ABD和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}AB=DE（已知）\\∠ABD=∠EDC（已证）\\BD=CD（已知）\end{array} $
∴△ABD≌△EDC（SAS）
【答案】
【变式1】BO=DO
【变式2】△ABD≌△EDC，理由：因为AB//CD，所以∠ABD=∠EDC，又因为AB=ED，BD=DC，所以△ABD≌△EDC(SAS)
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 对顶角的性质
3. 平行线的性质
【点评】
这两道题是全等三角形SAS判定的基础应用题型，解题核心是准确把握SAS判定中“两边及其夹角对应相等”的要求，注意不要混淆夹角的位置，需结合已知的边、角条件，逐步推导或补全判定所需的要素。
【难度系数】
0.8

【例2】(广州模拟)如图,在$△ ABC$中,点D为BC的中点,连接AD并延长到点E,使$DE=AD$.求证:$∠ C=∠ EBC$.

证明:因为点D为BC的中点,所以BD=DC.
又因为∠BDE=∠CDA,DE=AD,
所以△BDE≌△CDA(SAS),所以∠C=∠EBC.

【分析】
要证明∠C=∠EBC，可通过证明两个角所在的三角形全等来推导。首先观察图形可知∠C在△CDA中，∠EBC在△BDE中，接下来寻找两个三角形全等的条件：①由点D是BC中点，可得BD=DC；②题目已知DE=AD；③∠BDE和∠CDA是对顶角，二者相等。三个条件满足“SAS”全等判定定理，可证得△BDE≌△CDA，再根据全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵点D为BC的中点，
∴BD=DC。
又
∵∠BDE和∠CDA是对顶角，故∠BDE=∠CDA，结合已知DE=AD，满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
由全等三角形对应角相等，可得∠C=∠EBC。
【答案】
证明:因为点D为BC的中点,所以BD=DC.
又因为∠BDE=∠CDA,DE=AD,
所以△BDE≌△CDA(SAS),所以∠C=∠EBC.
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形相关的基础证明题，核心考查SAS判定定理的应用，解题时要注意挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8

【变式】(哈尔滨模拟)如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=21°，∠2=29°，则∠3=。

【变式】50°

【分析】
首先观察已知条件，已知∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共部分∠DAC，可得到相等的角∠BAD=∠CAE；再结合给出的两组边相等AB=AC、AD=AE，可通过SAS判定定理证明△BAD≌△CAE，得到对应角∠ABD=∠2；最后根据三角形外角的性质，∠3是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠1与∠ABD的和，代入数值即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠2=29°。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 21° + 29° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过角的和差关系推导全等所需的等角条件，再利用全等三角形的性质完成角的转化，最后结合三角形外角性质计算角度，熟练掌握全等判定和外角定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7