19.（本小题满分10分）
如图，已知直线 $ l_1 // l_2 $，点A，B分别在直线$ l_1 $，$ l_2 $上，且$ AB ⊥ l_2 $于点B。请设计一个方案测出河流的宽度AB。
嘉嘉和琪琪尝试用如下方法解决这个问题。
嘉嘉的方法：如图①，从点B出发，沿与直线AB成$ 60° $角的BC方向前进至点C处，测得$ ∠ ACB = 30° $，BC=60 m.
琪琪的方法：如图②，从点B沿$ l_2 $走到点M，取BM的中点E，从点M沿垂直于BM的MN方向前进，直到点A，E，N在同一条直线上，测得MN=60 m.
根据以上描述，解决下列问题.
(1)根据嘉嘉的方法，求河流的宽度AB.
(2)根据琪琪的方法，说明图②中线段MN的长就是所求河流的宽度AB.

解：(1)$\because ∠CBD=60°$，$∠ACB=30°,$
$\therefore ∠CAB=∠CBD-∠ACB=30°.$
$\therefore ∠CAB=∠ACB.$
$\therefore AB=BC=60\ \mathrm{m}.$
(2)$\because E$为$BM$的中点，
$\therefore BE=ME.$
$\because AB⊥BM$，$MN⊥BM,$
$\therefore ∠ABE=∠NME=90°.$
在$△ ABE$和$△ NME$中，
$\because \begin{cases}∠ABE=∠NME,\\BE=ME,\\∠AEB=∠NEM,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ NME(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AB=MN.$
$\therefore$线段$MN$的长就是所求河流的宽度$AB.$

【分析】
(1) 求河流宽度AB的思路：首先利用三角形外角的性质，找到△ABC中内角的数量关系，已知∠CBD是△ABC的外角，等于不相邻的两个内角∠CAB与∠ACB的和，结合已知的∠CBD=60°、∠ACB=30°，可求出∠CAB=30°，得出∠CAB=∠ACB，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质，即可得到AB与BC相等，代入BC的长度即可求出AB。
(2) 证明MN=AB的思路：要证明两条线段相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。由E是BM中点可得BE=ME，由AB⊥BM、MN⊥BM可得∠ABE与∠NME均为90°，再结合对顶角∠AEB=∠NEM，可通过“ASA”判定△ABE与△NME全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到AB=MN，即MN的长就是河流宽度。
【解析】
(1) $\because ∠CBD=60°$，$∠ACB=30°,$
$\therefore ∠CAB=∠CBD-∠ACB=30°.$
$\therefore ∠CAB=∠ACB.$
$\therefore AB=BC=60\ \mathrm{m}.$
(2) $\because E$为$BM$的中点，
$\therefore BE=ME.$
$\because AB⊥BM$，$MN⊥BM,$
$\therefore ∠ABE=∠NME=90°.$
在$△ ABE$和$△ NME$中，
$\because \begin{cases}∠ABE=∠NME,\\BE=ME,\\∠AEB=∠NEM,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ NME(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AB=MN.$
$\therefore$线段$MN$的长就是所求河流的宽度$AB.$
【答案】
(1) 河流的宽度AB为$\boldsymbol{60\ \mathrm{m}}$；
(2) 证明如上，MN的长等于河流宽度AB。
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以实际测量河流宽度为情境，将几何知识与生活应用相结合，既考查了基础的角度计算、等腰三角形性质，又考查了全等三角形的判定及应用，解题的关键是把实际问题转化为几何模型，灵活运用所学几何性质解决问题。
【难度系数】
0.7