登录
20.（本小题满分12分）
如图①，某年冬季第一场雪的降雪中心沿东西方向的省道AB由A向B平稳移动，为沿途土地带来有利于农作物越冬的积雪.已知点C为一村庄，村庄C与省道上A，B两点的距离分别为AC＝30 km，BC＝40 km，且AB＝50 km.经观测，降雪中心周围25 km以内都会被雪覆盖.
（1）∠ACB的度数为
（2）村庄C距省道的最短距离为
（3）如图②，当降雪中心移动到点E处时，村庄C开始降雪；当降雪中心移动到点F处时，村庄C刚好结束降雪（即CE＝CF＝25 km）.若该降雪中心的移动速度为20 km/h，求此次村庄C降雪持续的时间.
如图①，某年冬季第一场雪的降雪中心沿东西方向的省道AB由A向B平稳移动，为沿途土地带来有利于农作物越冬的积雪.已知点C为一村庄，村庄C与省道上A，B两点的距离分别为AC＝30 km，BC＝40 km，且AB＝50 km.经观测，降雪中心周围25 km以内都会被雪覆盖.
（1）∠ACB的度数为
$90°$
.（2）村庄C距省道的最短距离为
24
km.（3）如图②，当降雪中心移动到点E处时，村庄C开始降雪；当降雪中心移动到点F处时，村庄C刚好结束降雪（即CE＝CF＝25 km）.若该降雪中心的移动速度为20 km/h，求此次村庄C降雪持续的时间.
答案
20. 解：(1)$90°$
(2)$24$
(3)如图，过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，
则$CD=24\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CE=25\ \mathrm{km}$，$CD=24\ \mathrm{km},$
由勾股定理，得$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7(\mathrm{km}).$
同理$DF=7\ \mathrm{km}.$
$\therefore EF=DE+DF=7+7=14(\mathrm{km}).$
$\because$降雪中心移动的速度为$20\ \mathrm{km/h}.$
$\therefore$村庄$C$降雪持续的时间$=\frac{EF}{20}=\frac{14}{20}=0.7(\mathrm{h}).$
答：此次村庄$C$降雪持续的时间为$0.7\ \mathrm{h}.$
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知△ABC三边长度，先验证是否满足勾股定理逆定理，若两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的∠ACB即为直角。
2. 第(2)问：点到直线的最短距离是垂线段长度，过C作AB的垂线CD，CD即为所求。利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式，即可求出CD的长度。
3. 第(3)问：CE=CF=25km时村庄分别开始、结束降雪，△CEF为等腰三角形，CD是底边EF的高，由等腰三角形三线合一得DE=DF。先在Rt△CDE中用勾股定理求出DE，进而得到EF的总长度，再根据“时间=路程÷速度”即可求出降雪持续时间。
【解析】
(1) 由题可知AC=30km，BC=40km，AB=50km，计算得$AC^2+BC^2=30^2+40^2=2500$，$AB^2=50^2=2500$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。
(2) 过点C作CD⊥AB于点D，CD就是村庄C到省道AB的最短距离。△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值计算得$CD=24\mathrm{km}$。
(3) 过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，则$CD=24\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CE=25\ \mathrm{km}$，$CD=24\ \mathrm{km},$
由勾股定理，得$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7(\mathrm{km}).$
同理可得$DF=7\ \mathrm{km}.$
因此$EF=DE+DF=7+7=14(\mathrm{km}).$
已知降雪中心移动速度为$20\ \mathrm{km/h}$，则降雪持续时间为$\frac{EF}{20}=\frac{14}{20}=0.7(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)$90°$
(2)$24$
(3)如图，过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，
则$CD=24\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CE=25\ \mathrm{km}$，$CD=24\ \mathrm{km},$
由勾股定理，得$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7(\mathrm{km}).$
同理$DF=7\ \mathrm{km}.$
$\therefore EF=DE+DF=7+7=14(\mathrm{km}).$
$\because$降雪中心移动的速度为$20\ \mathrm{km/h}.$
$\therefore$村庄$C$降雪持续的时间$=\frac{EF}{20}=\frac{14}{20}=0.7(\mathrm{h}).$
答：此次村庄$C$降雪持续的时间为$0.7\ \mathrm{h}.$
【知识点】
勾股定理及逆定理，点到直线的距离，行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，将几何知识与实际应用相结合，考察了勾股定理相关知识点的灵活运用，解题的关键是理解垂线段最短的性质，以及降雪覆盖范围对应的线段长度的推导，是几何实际应用的典型题型，能有效锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：已知△ABC三边长度，先验证是否满足勾股定理逆定理，若两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的∠ACB即为直角。
2. 第(2)问：点到直线的最短距离是垂线段长度，过C作AB的垂线CD，CD即为所求。利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式，即可求出CD的长度。
3. 第(3)问：CE=CF=25km时村庄分别开始、结束降雪，△CEF为等腰三角形，CD是底边EF的高，由等腰三角形三线合一得DE=DF。先在Rt△CDE中用勾股定理求出DE，进而得到EF的总长度，再根据“时间=路程÷速度”即可求出降雪持续时间。
【解析】
(1) 由题可知AC=30km，BC=40km，AB=50km，计算得$AC^2+BC^2=30^2+40^2=2500$，$AB^2=50^2=2500$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。
(2) 过点C作CD⊥AB于点D，CD就是村庄C到省道AB的最短距离。△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值计算得$CD=24\mathrm{km}$。
(3) 过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，则$CD=24\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CE=25\ \mathrm{km}$，$CD=24\ \mathrm{km},$
由勾股定理，得$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7(\mathrm{km}).$
同理可得$DF=7\ \mathrm{km}.$
因此$EF=DE+DF=7+7=14(\mathrm{km}).$
已知降雪中心移动速度为$20\ \mathrm{km/h}$，则降雪持续时间为$\frac{EF}{20}=\frac{14}{20}=0.7(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)$90°$
(2)$24$
(3)如图，过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，
则$CD=24\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CE=25\ \mathrm{km}$，$CD=24\ \mathrm{km},$
由勾股定理，得$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7(\mathrm{km}).$
同理$DF=7\ \mathrm{km}.$
$\therefore EF=DE+DF=7+7=14(\mathrm{km}).$
$\because$降雪中心移动的速度为$20\ \mathrm{km/h}.$
$\therefore$村庄$C$降雪持续的时间$=\frac{EF}{20}=\frac{14}{20}=0.7(\mathrm{h}).$
答：此次村庄$C$降雪持续的时间为$0.7\ \mathrm{h}.$
【知识点】
勾股定理及逆定理，点到直线的距离，行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，将几何知识与实际应用相结合，考察了勾股定理相关知识点的灵活运用，解题的关键是理解垂线段最短的性质，以及降雪覆盖范围对应的线段长度的推导，是几何实际应用的典型题型，能有效锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
