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(1)如图，有两棵树，一棵树高 10 m，另一棵树高 4 m，两树相距 8 m. 若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟飞行的路程至少为 (
A.8 m
B.10 m
C.12 m
D.14 m
B
)A.8 m
B.10 m
C.12 m
D.14 m
答案
(1) B
解析
【分析】
要找小鸟飞行的最短路程，根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两棵树树梢的连线段。我们可以通过构造直角三角形求解：两树的水平距离是直角三角形的一条直角边，两棵树的高度差是另一条直角边，树梢连线就是直角三角形的斜边，再利用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
首先计算两棵树的高度差：$10 - 4 = 6\ \mathrm{m}$，已知两树水平相距$8\ \mathrm{m}$。
设小鸟飞行的最短路程为$x\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$x^2 = 6^2 + 8^2$
计算得：$x^2 = 36 + 64 = 100$
因为路程为正数，所以$x = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}$
所以小鸟飞行的路程至少为10m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是把实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，重点考查学生建立数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
要找小鸟飞行的最短路程，根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两棵树树梢的连线段。我们可以通过构造直角三角形求解：两树的水平距离是直角三角形的一条直角边，两棵树的高度差是另一条直角边，树梢连线就是直角三角形的斜边，再利用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
首先计算两棵树的高度差：$10 - 4 = 6\ \mathrm{m}$，已知两树水平相距$8\ \mathrm{m}$。
设小鸟飞行的最短路程为$x\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$x^2 = 6^2 + 8^2$
计算得：$x^2 = 36 + 64 = 100$
因为路程为正数，所以$x = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}$
所以小鸟飞行的路程至少为10m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是把实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，重点考查学生建立数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
(2)如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行. 离开港口2 h后，两船相距 (
第1(2)题
A.40海里
B.35海里
C.30海里
D.25海里
A
)第1(2)题
A.40海里
B.35海里
C.30海里
D.25海里
答案
(2) A
解析
【分析】
首先明确东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此两艘轮船的航行路线夹角为90°，即两船与港口A构成的三角形是直角三角形，两条直角边分别是两艘船2小时行驶的路程，斜边就是两船的距离。解题时先计算两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度即可得到两船距离。
【解析】
首先计算两艘轮船离开港口2小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶距离：$AB = 16×2 = 32$（海里）
向东南方向航行的轮船行驶距离：$AC = 12×2 = 24$（海里）
由方向角特征可得，$∠ BAC = 45° + 45° = 90°$，即$△ ABC$是直角三角形，直角为$∠ BAC$。
根据勾股定理，斜边$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$，代入数值计算：
$BC = \sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$（海里）
因此两船相距40海里。
【答案】
A
【知识点】
方向角的认识；勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题关键是根据方向角判断出两船航行路径的夹角为直角，再结合路程公式和勾股定理计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
首先明确东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此两艘轮船的航行路线夹角为90°，即两船与港口A构成的三角形是直角三角形，两条直角边分别是两艘船2小时行驶的路程，斜边就是两船的距离。解题时先计算两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度即可得到两船距离。
【解析】
首先计算两艘轮船离开港口2小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶距离：$AB = 16×2 = 32$（海里）
向东南方向航行的轮船行驶距离：$AC = 12×2 = 24$（海里）
由方向角特征可得，$∠ BAC = 45° + 45° = 90°$，即$△ ABC$是直角三角形，直角为$∠ BAC$。
根据勾股定理，斜边$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$，代入数值计算：
$BC = \sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$（海里）
因此两船相距40海里。
【答案】
A
【知识点】
方向角的认识；勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题关键是根据方向角判断出两船航行路径的夹角为直角，再结合路程公式和勾股定理计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
(3)已知一直角三角形木板三边的平方和为1 800，则其斜边的长为（
A.10
B.20
C.30
D.40
C
）A.10
B.20
C.30
D.40
答案
(3) C
解析
【分析】
遇到直角三角形边长平方相关的问题，首先要联想到勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先设出直角三角形的两条直角边和斜边，再结合题目给出的三边平方和为1800的条件，把勾股定理的式子整体代入三边平方和的等式中，就能得到只含斜边的方程，进而求出斜边长度。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
由题意可知三边平方和为1800，即$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$。
把$a^2 + b^2 = c^2$代入上式可得：$c^2 + c^2 = 1800$，即$2c^2 = 1800$。
化简得$c^2 = 900$，因为三角形边长为正数，所以$c = \sqrt{900} = 30$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、算术平方根的应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题核心是利用整体代换的思路，通过勾股定理将两直角边的平方和替换为斜边的平方，降低计算难度，解题时注意边长是正数，要取正的平方根作为结果。
【难度系数】
0.8
遇到直角三角形边长平方相关的问题，首先要联想到勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先设出直角三角形的两条直角边和斜边，再结合题目给出的三边平方和为1800的条件，把勾股定理的式子整体代入三边平方和的等式中，就能得到只含斜边的方程，进而求出斜边长度。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
由题意可知三边平方和为1800，即$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$。
把$a^2 + b^2 = c^2$代入上式可得：$c^2 + c^2 = 1800$，即$2c^2 = 1800$。
化简得$c^2 = 900$，因为三角形边长为正数，所以$c = \sqrt{900} = 30$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、算术平方根的应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题核心是利用整体代换的思路，通过勾股定理将两直角边的平方和替换为斜边的平方，降低计算难度，解题时注意边长是正数，要取正的平方根作为结果。
【难度系数】
0.8
(4)一个5 m长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，梯子底部距墙角3 m. 若梯子的顶端下滑1 m，则梯子底部将滑动（
A.0 m
B.1 m
C.2 m
D.3 m
B
）A.0 m
B.1 m
C.2 m
D.3 m
答案
(4) B
解析
【分析】
这是勾股定理的实际应用问题，核心隐含条件是梯子的长度始终不变。解题思路分为三步：第一步先用勾股定理求出滑动前梯子顶端到地面的高度；第二步结合顶端下滑的距离得到滑动后顶端的高度，再次用勾股定理算出此时梯子底部到墙角的距离；第三步用滑动后的底部距离减去滑动前的距离，即可得到梯子底部滑动的长度。
【解析】
设墙角为直角顶点O，滑动前梯子顶端为点A、底部为点B，滑动后顶端为点A'、底部为点B'，则△AOB和△A'OB'均为直角三角形，梯子长度AB=A'B'=5m。
1. 求滑动前顶端高度OA：
在Rt△AOB中，OB=3m，AB=5m，根据勾股定理$OA^2+OB^2=AB^2$，可得$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
2. 求滑动后顶端高度OA'：
已知顶端下滑1m，因此$OA'=OA-1=4-1=3\ \mathrm{m}$。
3. 求滑动后底部到墙角的距离OB'：
在Rt△A'OB'中，A'B'=5m，OA'=3m，根据勾股定理$OA'^2+OB'^2=A'B'^2$，可得$OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
4. 计算底部滑动距离：
滑动距离$=OB'-OB=4-3=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，两次运用勾股定理计算滑动前后梯子底部到墙角的距离，作差即可得到结果，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
这是勾股定理的实际应用问题，核心隐含条件是梯子的长度始终不变。解题思路分为三步：第一步先用勾股定理求出滑动前梯子顶端到地面的高度；第二步结合顶端下滑的距离得到滑动后顶端的高度，再次用勾股定理算出此时梯子底部到墙角的距离；第三步用滑动后的底部距离减去滑动前的距离，即可得到梯子底部滑动的长度。
【解析】
设墙角为直角顶点O，滑动前梯子顶端为点A、底部为点B，滑动后顶端为点A'、底部为点B'，则△AOB和△A'OB'均为直角三角形，梯子长度AB=A'B'=5m。
1. 求滑动前顶端高度OA：
在Rt△AOB中，OB=3m，AB=5m，根据勾股定理$OA^2+OB^2=AB^2$，可得$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
2. 求滑动后顶端高度OA'：
已知顶端下滑1m，因此$OA'=OA-1=4-1=3\ \mathrm{m}$。
3. 求滑动后底部到墙角的距离OB'：
在Rt△A'OB'中，A'B'=5m，OA'=3m，根据勾股定理$OA'^2+OB'^2=A'B'^2$，可得$OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
4. 计算底部滑动距离：
滑动距离$=OB'-OB=4-3=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，两次运用勾股定理计算滑动前后梯子底部到墙角的距离，作差即可得到结果，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
(5)如图是一个圆柱形饮料罐的示意图，其底面半径为3 cm，高为4 cm，上底面中心处有一个小圆孔，一根长为10 cm的直吸管通过小圆孔插入罐底，则吸管露在罐外部分(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的长度a cm的取值范围是 (
第1(5)题
A.$5≤ a≤ 6$
B.$3≤ a≤ 4$
C.$2≤ a≤ 3$
D.$1≤ a≤ 2$
A
)第1(5)题
A.$5≤ a≤ 6$
B.$3≤ a≤ 4$
C.$2≤ a≤ 3$
D.$1≤ a≤ 2$
答案
(5) A
解析
【分析】
要确定吸管露在罐外部分长度a的取值范围，需先明确a=吸管总长度-插入罐内的长度，因此只要找到插入罐内长度的最小值和最大值即可。首先分析插入罐内最短的情况：吸管垂直插入时，插入长度等于圆柱的高，此时露在外面的长度最长；再分析插入罐内最长的情况：吸管斜着插到底面边缘时，插入长度是由底面半径和圆柱高组成的直角三角形的斜边，可用勾股定理计算，此时露在外面的长度最短，最后结合吸管总长度计算a的范围即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当吸管垂直插入罐内时，插入罐内的长度等于圆柱的高，即4cm，此时露在罐外的长度最长：
$a=10-4=6\mathrm{cm}$
2. 当吸管斜插至罐底边缘时，插入罐内的线段、底面半径、圆柱的高构成直角三角形，两条直角边分别为3cm和4cm，根据勾股定理可得插入罐内的最大长度为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
此时露在罐外的长度最短：
$a=10-5=5\mathrm{cm}$
综上，a的取值范围是$5≤ a≤6$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆柱的特征，最值计算
【点评】
本题考查利用勾股定理解决实际生活中的最值问题，解题的关键是通过空间想象找到吸管插入罐内的两种极限情况，将立体图形的问题转化为平面直角三角形的计算问题，能够有效锻炼空间想象能力和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定吸管露在罐外部分长度a的取值范围，需先明确a=吸管总长度-插入罐内的长度，因此只要找到插入罐内长度的最小值和最大值即可。首先分析插入罐内最短的情况：吸管垂直插入时，插入长度等于圆柱的高，此时露在外面的长度最长；再分析插入罐内最长的情况：吸管斜着插到底面边缘时，插入长度是由底面半径和圆柱高组成的直角三角形的斜边，可用勾股定理计算，此时露在外面的长度最短，最后结合吸管总长度计算a的范围即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当吸管垂直插入罐内时，插入罐内的长度等于圆柱的高，即4cm，此时露在罐外的长度最长：
$a=10-4=6\mathrm{cm}$
2. 当吸管斜插至罐底边缘时，插入罐内的线段、底面半径、圆柱的高构成直角三角形，两条直角边分别为3cm和4cm，根据勾股定理可得插入罐内的最大长度为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
此时露在罐外的长度最短：
$a=10-5=5\mathrm{cm}$
综上，a的取值范围是$5≤ a≤6$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆柱的特征，最值计算
【点评】
本题考查利用勾股定理解决实际生活中的最值问题，解题的关键是通过空间想象找到吸管插入罐内的两种极限情况，将立体图形的问题转化为平面直角三角形的计算问题，能够有效锻炼空间想象能力和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)已知在等腰三角形ABC中，腰AB=5 cm，底边BC=6 cm，则△ABC的面积为
12
cm².答案
(1) 12
解析
【分析】
要求等腰三角形的面积，已知底边长，只需要求出底边上的高即可。根据等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高，可将底边BC平分，得到直角三角形ABD，再利用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=DC=½BC=½×6=3(cm)。
在Rt△ABD中，AB=5cm，BD=3cm，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
∴$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(cm)$。
∴△ABC的面积=$½×BC×AD=½×6×4=12(cm²)$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是等腰三角形性质与勾股定理的综合基础题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，进而求出高计算面积，难度较低。
【难度系数】
0.8
要求等腰三角形的面积，已知底边长，只需要求出底边上的高即可。根据等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高，可将底边BC平分，得到直角三角形ABD，再利用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=DC=½BC=½×6=3(cm)。
在Rt△ABD中，AB=5cm，BD=3cm，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
∴$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(cm)$。
∴△ABC的面积=$½×BC×AD=½×6×4=12(cm²)$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是等腰三角形性质与勾股定理的综合基础题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，进而求出高计算面积，难度较低。
【难度系数】
0.8
(2)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何?”其大意为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈，门高、门宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)设门高AB为x尺. 根据题意，可列方程为
$(x-6.8)^2+x^2=10^2$
.答案
(2) $(x-6.8)^2+x^2=10^2$
解析
【分析】
解题时首先明确门为矩形，其高、宽与对角线构成直角三角形，可结合勾股定理列方程。第一步先统一单位，将题目中的长度单位均换算为尺；第二步根据“高比宽多6尺8寸”的数量关系，用含高x的式子表示出门宽；最后将高、宽、对角线的长度代入勾股定理公式即可得到方程。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
设门高AB为x尺，已知高比宽多6.8尺，则门宽为$(x-6.8)$尺。
门为矩形，高、宽和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，长度为10尺，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(x-6.8)^2 + x^2 = 10^2$
【答案】
$(x-6.8)^2+x^2=10^2$
【知识点】
勾股定理，单位换算，列方程解实际问题
【点评】
本题以我国古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是正确梳理各数量间的关系，统一单位后结合直角三角形的三边关系列方程，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确门为矩形，其高、宽与对角线构成直角三角形，可结合勾股定理列方程。第一步先统一单位，将题目中的长度单位均换算为尺；第二步根据“高比宽多6尺8寸”的数量关系，用含高x的式子表示出门宽；最后将高、宽、对角线的长度代入勾股定理公式即可得到方程。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
设门高AB为x尺，已知高比宽多6.8尺，则门宽为$(x-6.8)$尺。
门为矩形，高、宽和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，长度为10尺，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(x-6.8)^2 + x^2 = 10^2$
【答案】
$(x-6.8)^2+x^2=10^2$
【知识点】
勾股定理，单位换算，列方程解实际问题
【点评】
本题以我国古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是正确梳理各数量间的关系，统一单位后结合直角三角形的三边关系列方程，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
