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(4)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=3\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，将$△ ABC$折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则$△ ABE$的周长为
7
cm.答案
2. (4) 7
解析
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质得到相等的边：折叠后点C与A重合，故AE=CE；接着将△ABE的周长进行转化，△ABE的周长=AB+BE+AE，把AE替换为CE后，周长可变为AB+(BE+CE)=AB+BC，最后用勾股定理求出BC的长度即可算出结果。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据勾股定理：$AB^2+BC^2=AC^2$。
已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，代入得：
$3^2+BC^2=5^2$，解得$BC^2=25-9=16$，故$BC=4\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负值）。
2. 由折叠的性质可知，折叠后点C与点A重合，因此$AE=CE$。
3. $△ ABE$的周长为：$AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC$，代入数值得$3+4=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用折叠的性质对三角形周长进行转化，无需单独计算各边长度，简化了计算过程，是勾股定理和折叠性质结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用折叠的性质得到相等的边：折叠后点C与A重合，故AE=CE；接着将△ABE的周长进行转化，△ABE的周长=AB+BE+AE，把AE替换为CE后，周长可变为AB+(BE+CE)=AB+BC，最后用勾股定理求出BC的长度即可算出结果。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据勾股定理：$AB^2+BC^2=AC^2$。
已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，代入得：
$3^2+BC^2=5^2$，解得$BC^2=25-9=16$，故$BC=4\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负值）。
2. 由折叠的性质可知，折叠后点C与点A重合，因此$AE=CE$。
3. $△ ABE$的周长为：$AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC$，代入数值得$3+4=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用折叠的性质对三角形周长进行转化，无需单独计算各边长度，简化了计算过程，是勾股定理和折叠性质结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
(5)实数$m$，$n$满足$|m-3|+\sqrt{n-4}=0$，且$m$，$n$恰好是$\mathrm{Rt}△ ABC$两条边的长，则$\mathrm{Rt}△ ABC$第三条边的长为
5 或√7
。答案
2. (5) 5 或√7
解析
【分析】
首先，绝对值和算术平方根都属于非负数，两个非负数相加得0时，每个非负数的值都为0，据此可先求出m、n的具体数值。接下来题目仅说明m、n是直角三角形的两条边长，并未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：一是3和4均为直角边，二是长度为4的边是斜边、长度为3的边是直角边，再分别用勾股定理计算第三条边的长度即可。
【解析】
解：
∵ $|m-3|≥0$，$\sqrt{n-4}≥0$，且$|m-3|+\sqrt{n-4}=0$
∴ $\begin{cases}m-3=0 \\ n-4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=3 \\ n=4\end{cases}$
分两种情况计算$\mathrm{Rt}△ ABC$第三条边的长：
①当3和4都为直角边长时，第三条边为斜边，由勾股定理得：
第三条边长=$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
②当4为斜边长，3为直角边长时，第三条边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三条边长=$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
综上，$\mathrm{Rt}△ ABC$第三条边的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题容易出错的地方是忽略未明确直角边和斜边时需要分类讨论，解题时要注意不要漏解，同时可结合三角形三边关系验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
首先，绝对值和算术平方根都属于非负数，两个非负数相加得0时，每个非负数的值都为0，据此可先求出m、n的具体数值。接下来题目仅说明m、n是直角三角形的两条边长，并未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：一是3和4均为直角边，二是长度为4的边是斜边、长度为3的边是直角边，再分别用勾股定理计算第三条边的长度即可。
【解析】
解：
∵ $|m-3|≥0$，$\sqrt{n-4}≥0$，且$|m-3|+\sqrt{n-4}=0$
∴ $\begin{cases}m-3=0 \\ n-4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=3 \\ n=4\end{cases}$
分两种情况计算$\mathrm{Rt}△ ABC$第三条边的长：
①当3和4都为直角边长时，第三条边为斜边，由勾股定理得：
第三条边长=$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
②当4为斜边长，3为直角边长时，第三条边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三条边长=$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
综上，$\mathrm{Rt}△ ABC$第三条边的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题容易出错的地方是忽略未明确直角边和斜边时需要分类讨论，解题时要注意不要漏解，同时可结合三角形三边关系验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AC=4$.
(1)若 $BC=2$，求 $AB$ 的长.
(2)若 $BC=a$，$AB=c$，求代数式 $(c-2)^2-(a+4)^2+4(c+2a+3)$ 的值.
(1)若 $BC=2$，求 $AB$ 的长.
(2)若 $BC=a$，$AB=c$，求代数式 $(c-2)^2-(a+4)^2+4(c+2a+3)$ 的值.
答案
3. 解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=4，BC=2，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(4²+2²)=2√5.
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，
AB=c，AC=4，
∴c²−a²=16.
∴(c−2)²−(a+4)²+4(c+2a+3)
=c²−4c+4−(a²+8a+16)+4c+8a+12
=c²−4c+4−a²−8a−16+4c+8a+12
=c²−a²
=16.
AC=4，BC=2，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(4²+2²)=2√5.
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，
AB=c，AC=4，
∴c²−a²=16.
∴(c−2)²−(a+4)²+4(c+2a+3)
=c²−4c+4−(a²+8a+16)+4c+8a+12
=c²−4c+4−a²−8a−16+4c+8a+12
=c²−a²
=16.
解析
【分析】
(1) 已知Rt△ABC中∠C是直角，AC、BC为两条直角边，求斜边AB，直接运用勾股定理，代入两条直角边的数值计算即可得到AB的长度。
(2) 先根据整式运算法则将所求代数式展开、合并同类项，化简后可得到代数式为$c^2-a^2$的形式，再结合勾股定理得到$c^2-a^2=AC^2=16$，整体代入即可求出结果，不需要单独求解a、c的具体数值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=a$，$AB=c$，$AC=4$，
由勾股定理可得：$c^2=a^2+4^2$，即$c^2-a^2=16$。
化简代数式：
$\begin{aligned}&(c-2)^2-(a+4)^2+4(c+2a+3)\\=&c^2-4c+4-(a^2+8a+16)+4c+8a+12\\=&c^2-4c+4-a^2-8a-16+4c+8a+12\\=&c^2-a^2\end{aligned}$
将$c^2-a^2=16$代入，可得原式的值为16。
【答案】
(1) $AB=2\sqrt{5}$；(2) 代数式的值为$\boxed{16}$
【知识点】
勾股定理；整式化简；整体代入
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用和整式混合运算能力，第二问利用整体代入思想求解，简化了计算过程，是勾股定理结合代数运算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知Rt△ABC中∠C是直角，AC、BC为两条直角边，求斜边AB，直接运用勾股定理，代入两条直角边的数值计算即可得到AB的长度。
(2) 先根据整式运算法则将所求代数式展开、合并同类项，化简后可得到代数式为$c^2-a^2$的形式，再结合勾股定理得到$c^2-a^2=AC^2=16$，整体代入即可求出结果，不需要单独求解a、c的具体数值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=a$，$AB=c$，$AC=4$，
由勾股定理可得：$c^2=a^2+4^2$，即$c^2-a^2=16$。
化简代数式：
$\begin{aligned}&(c-2)^2-(a+4)^2+4(c+2a+3)\\=&c^2-4c+4-(a^2+8a+16)+4c+8a+12\\=&c^2-4c+4-a^2-8a-16+4c+8a+12\\=&c^2-a^2\end{aligned}$
将$c^2-a^2=16$代入，可得原式的值为16。
【答案】
(1) $AB=2\sqrt{5}$；(2) 代数式的值为$\boxed{16}$
【知识点】
勾股定理；整式化简；整体代入
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用和整式混合运算能力，第二问利用整体代入思想求解，简化了计算过程，是勾股定理结合代数运算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4. 如图为某市的一块三角形空地. 在旧城改造中，该市计划在此空地上种植草皮美化环境. 已知草皮的售价为80元/平方米，那么购买草皮需要多少元？
答案
4. 解：如图，作BA边的高CD，与BA的延长线交于点D.
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°.
∵CD⊥BD，AC=60 m，
∴CD=30 m.
∵AB=40 m，
∴S△ABC=1/2 AB · CD = 1/2 × 40 × 30 = 600(m²).
600×80=48 000(元)，
答：购买草皮需要48 000元.
解析
【分析】
要计算购买草皮的总费用，需先求出三角形空地的面积，再用面积乘草皮单价即可。已知△ABC中AB=40m，AC=60m，∠BAC=150°为钝角，我们可以通过作辅助线求高：延长BA，过点C作BA延长线的垂线CD，CD即为AB边上的高；先由∠BAC=150°得出其邻补角∠DAC=30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出高CD的长度，接着利用三角形面积公式计算面积，最后乘草皮单价就能得到总费用。
【解析】
解：如图，作BA边的高CD，与BA的延长线交于点D。
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=180°-150°=30°，
∵CD⊥BD，AC=60 m，
∴在Rt△ACD中，CD=½AC=30 m，
∵AB=40 m，
∴S△ABC=½·AB·CD = ½×40×30 = 600(m²)，
购买草皮的总费用为600×80=48000(元)。
【答案】
购买草皮需要48000元。
【知识点】
1. 直角三角形30°角的性质
2. 三角形面积计算
3. 钝角三角形高的作法
【点评】
本题结合实际生活场景考查三角形相关知识的应用，解题的核心是正确作出钝角三角形对应边上的高，利用特殊直角三角形的性质求出高的长度，再结合面积公式求解，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算购买草皮的总费用，需先求出三角形空地的面积，再用面积乘草皮单价即可。已知△ABC中AB=40m，AC=60m，∠BAC=150°为钝角，我们可以通过作辅助线求高：延长BA，过点C作BA延长线的垂线CD，CD即为AB边上的高；先由∠BAC=150°得出其邻补角∠DAC=30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出高CD的长度，接着利用三角形面积公式计算面积，最后乘草皮单价就能得到总费用。
【解析】
解：如图，作BA边的高CD，与BA的延长线交于点D。
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=180°-150°=30°，
∵CD⊥BD，AC=60 m，
∴在Rt△ACD中，CD=½AC=30 m，
∵AB=40 m，
∴S△ABC=½·AB·CD = ½×40×30 = 600(m²)，
购买草皮的总费用为600×80=48000(元)。
【答案】
购买草皮需要48000元。
【知识点】
1. 直角三角形30°角的性质
2. 三角形面积计算
3. 钝角三角形高的作法
【点评】
本题结合实际生活场景考查三角形相关知识的应用，解题的核心是正确作出钝角三角形对应边上的高，利用特殊直角三角形的性质求出高的长度，再结合面积公式求解，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在直线$l$上依次摆放着七个正方形. 已知斜着放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正着放置的四个正方形的面积依次为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$. 求$S_1+S_2+S_3+S_4$的值.
答案
5. 解：由题意可知
∠ECD+∠ACB=90°，
∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠ECD=∠CAB.
在△CDE 和△ABC 中，
∵$\begin{cases} ∠EDC=∠CBA, \\ ∠ECD=∠CAB, \\ EC=CA, \end{cases}$
∴△CDE≌△ABC(AAS).
∴AB=CD.
∴AB²+DE²=CD²+DE²=CE²=3.
同理，得FG²+LK²=HL²=1.
∴S₁+S₂+S₃+S₄=HL²+CE²=1+3=4.
∠ECD+∠ACB=90°，
∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠ECD=∠CAB.
在△CDE 和△ABC 中，
∵$\begin{cases} ∠EDC=∠CBA, \\ ∠ECD=∠CAB, \\ EC=CA, \end{cases}$
∴△CDE≌△ABC(AAS).
∴AB=CD.
∴AB²+DE²=CD²+DE²=CE²=3.
同理，得FG²+LK²=HL²=1.
∴S₁+S₂+S₃+S₄=HL²+CE²=1+3=4.
解析
【分析】
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，因此求$S_1+S_2+S_3+S_4$等价于求四个正放正方形边长的平方和。观察图形可知，每个斜放正方形的两侧各有一个直角三角形，我们可以先通过“同角的余角相等”推导直角三角形的锐角相等，结合正方形边长相等、直角相等的性质，用AAS证明两个直角三角形全等，得到直角边的等量关系，再结合勾股定理，就能得出相邻两个正放正方形的面积和等于它们之间斜放正方形的面积，最后将对应面积和相加即可得到结果。
【解析】
由题意可知：
$∠ ECD+∠ ACB=90°$，$∠ ACB+∠ CAB=90°$，
$\therefore ∠ ECD=∠ CAB$。
在$△ CDE$和$△ ABC$中，
$\begin{cases} ∠ EDC=∠ CBA, \\ ∠ ECD=∠ CAB, \\ EC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ ABC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AB=CD$。
$\therefore AB^2+DE^2=CD^2+DE^2=CE^2=3$，即$S_3+S_4=3$。
同理，可得$S_1+S_2=1$。
$\therefore S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理与全等三角形结合的典型图形题，解题的核心是发现相邻正放正方形的面积和等于中间斜放正方形的面积，需要熟练运用同角的余角相等证明角相等，结合全等三角形的判定得到边的等量关系，再借助勾股定理建立面积的等量关系。
【难度系数】
0.7
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，因此求$S_1+S_2+S_3+S_4$等价于求四个正放正方形边长的平方和。观察图形可知，每个斜放正方形的两侧各有一个直角三角形，我们可以先通过“同角的余角相等”推导直角三角形的锐角相等，结合正方形边长相等、直角相等的性质，用AAS证明两个直角三角形全等，得到直角边的等量关系，再结合勾股定理，就能得出相邻两个正放正方形的面积和等于它们之间斜放正方形的面积，最后将对应面积和相加即可得到结果。
【解析】
由题意可知：
$∠ ECD+∠ ACB=90°$，$∠ ACB+∠ CAB=90°$，
$\therefore ∠ ECD=∠ CAB$。
在$△ CDE$和$△ ABC$中，
$\begin{cases} ∠ EDC=∠ CBA, \\ ∠ ECD=∠ CAB, \\ EC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ ABC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AB=CD$。
$\therefore AB^2+DE^2=CD^2+DE^2=CE^2=3$，即$S_3+S_4=3$。
同理，可得$S_1+S_2=1$。
$\therefore S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理与全等三角形结合的典型图形题，解题的核心是发现相邻正放正方形的面积和等于中间斜放正方形的面积，需要熟练运用同角的余角相等证明角相等，结合全等三角形的判定得到边的等量关系，再借助勾股定理建立面积的等量关系。
【难度系数】
0.7
