(3)如图，小华先将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，再将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，此时绳子末端距离地面2 m，则绳子的长为 m.

第2(3)题

(3) 17

【分析】
解题时首先抓住绳子长度不变这一核心条件，我们可以设绳子长度为未知数，结合题意构造直角三角形：绳子长度为直角三角形的斜边，水平方向距离旗杆8m为一条直角边，竖直方向上旗杆高度减去绳子末端离地高度2m为另一条直角边，再利用勾股定理列方程求解即可。首先明确：绳子拉到旗杆底端时刚好接触地面，说明旗杆高度和绳子长度相等。拉到距离旗杆8m处时，绳子、水平距离8m、（旗杆高度-2m）三条线段刚好构成直角三角形，符合勾股定理的使用条件。
【解析】
解：设绳子的长度为$ x $ m，由题意可知旗杆的高度也为$ x $ m。
将绳子拉到距离旗杆8m处时，可得到直角三角形，其斜边长为绳子长$ x $ m，一条直角边长为水平距离8m，另一条直角边长为$ (x-2) $ m。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(x-2)^2 + 8^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 -4x +4 +64 = x^2$
消去$ x^2 $得：
$-4x + 68 = 0$
解得：$ x=17 $
【答案】
17
【知识点】
勾股定理应用；一元一次方程求解；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型习题，解题的关键是找到长度不变的量（绳子长度），将实际场景转化为直角三角形的几何模型，再利用勾股定理建立等量关系求解，能够很好地锻炼学生的转化思维。
【难度系数】
0.7

(4)如图，一棵高为5 m的树AB被台风吹斜，与地面BC形成$60°$的角，之后又被强台风在点D处吹断，点A恰好落在BC边上的点E处. 若$BE=2$ m，则BD的长为m.

第2(4)题

(4) $\frac{21}{8}$

【分析】
本题是断折类实际问题结合勾股定理的应用，解题思路如下：1. 先明确断折前后线段的等量关系：点A落在E处，所以DE=AD=AB-BD，AB总长为5m；2. 已知∠B=60°，过D作BC的垂线构造直角三角形，利用直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半的性质，结合勾股定理表示出直角三角形各边的长度；3. 设BD的长为未知数，在包含DE的直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于点F，设$BD=x \ \mathrm{m}$。
∵ 树AB总长为5 m，
∴ $AD = AB - BD = (5 - x) \ \mathrm{m}$，由断折后A落在E处的性质可知$DE = AD = (5 - x) \ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ B=60°$，
∴ $∠ BDF=90° - 60°=30°$，
∴ $BF = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}x \ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DF = \sqrt{BD^2 - BF^2} = \sqrt{x^2 - (\frac{1}{2}x)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x \ \mathrm{m}$。
∵ $BE=2 \ \mathrm{m}$，
∴ $EF = BE - BF = (2 - \frac{1}{2}x) \ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，由勾股定理得：$DF^2 + EF^2 = DE^2$，
代入各线段长度得：
$(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (2 - \frac{1}{2}x)^2 = (5 - x)^2$
展开计算：
$\frac{3}{4}x^2 + 4 - 2x + \frac{1}{4}x^2 = 25 - 10x + x^2$
合并同类项得：
$x^2 - 2x + 4 = x^2 - 10x + 25$
消去$x^2$，移项整理得$8x=21$，解得$x=\frac{21}{8}$。
【答案】
$\frac{21}{8}$
【知识点】
勾股定理的应用，直角三角形的性质，方程法解几何题
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的核心是抓住断折前后线段长度相等的隐含条件，通过作辅助线构造直角三角形建立方程求解，能较好地锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.65

3. 如图，当秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.5 m；当秋千荡到AC位置时，下端C距离地面2.5 m，与秋千静止时位置的水平距离为4 m，即$CD = 4$ m。请计算秋千AB的长。

3. 解：$\because AD=AB-(2.5-0.5)=AB-2$，
$AB=AC$，$CD=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$(AB-2)^2+4^2=AB^2$。
解得$AB=5(\mathrm{m})$。
$\therefore$秋千$AB$的长为$5\ \mathrm{m}$。

【分析】
首先明确秋千在摆动过程中长度不变，即$AB=AC$；再计算C、B两点的竖直高度差为$2.5-0.5=2\ \mathrm{m}$，因此直角三角形$ADC$中直角边$AD=AB-2$；已知水平距离$CD=4\ \mathrm{m}$，可利用勾股定理列出关于$AB$的方程，解方程即可求出秋千$AB$的长度。
【解析】
设秋千$AB$的长为$x\ \mathrm{m}$，由秋千长度不变可知$AC=AB=x\ \mathrm{m}$。
由题意得C点与B点的竖直高度差为$2.5-0.5=2\ \mathrm{m}$，因此$AD=AB-2=(x-2)\ \mathrm{m}$。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore △ ADC$是直角三角形，
根据勾股定理可得$AD^2+CD^2=AC^2$，
代入数据得：$(x-2)^2+4^2=x^2$，
展开得$x^2-4x+4+16=x^2$，
移项合并同类项得$-4x=-20$，
解得$x=5$。
【答案】
$\boxed{5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；实际问题建模
【点评】
本题将生活中的秋千问题转化为直角三角形数学问题，解题关键是挖掘秋千长度不变的隐含条件，结合勾股定理建立方程求解，有效考查了学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图，小亮家新装修的房子中有甲、乙、丙三个房间. 他将一个可伸缩的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作 MA. 如果梯子的底端 P 不动，顶端移动到对面的墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作 NB.
(1)当小亮在甲房间时，梯子移动到对面的墙上，顶端刚好落在对面墙角 B 处. 若 AM=1.6 m，AP=1.2 m，则甲房间的宽度 AB= m.
(2)当小亮在乙房间时，测得 AM=2.4 m，PM=2.5 m，且∠MPN=90°. 求乙房间的宽度 AB.
(3)当小亮在丙房间时，测得 AM=2.8 m，且∠APM=75°，∠BPN=45°.
①求∠MPN 的度数.
②求丙房间的宽度 AB.

4. 解：(1) 3.2
(2) $\because ∠ MPN=90°$，
$\therefore ∠ APM+∠ BPN=90°$。
$\because ∠ APM+∠ AMP=90°$，
$\therefore ∠ AMP=∠ BPN$。
在$△ AMP$和$△ BPN$中，
$\because \begin{cases}∠ AMP=∠ BPN, \\∠ MAP=∠ PBN, \\MP=PN,\end{cases}$
$\therefore △ AMP ≌ △ BPN(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AM=PB=2.4\ \mathrm{m}$。
$\therefore AP=\sqrt{PM^2-AM^2}=0.7(\mathrm{m})$。
$\therefore$乙房间的宽度$AB=AP+PB=0.7+2.4=3.1(\mathrm{m})$。
(3) ① $∠ MPN = 180° - ∠ APM - ∠ BPN=60°$。
② 如图，过点$N$作$MA$的垂线，垂足为$D$，连接$NM$。

设$AB=x$，则$DN=AB=x$。
$\because ∠ MPN=60°$，$MP=PN$，
$\therefore △ PNM$为等边三角形。
$\therefore ∠ MNP=60°$，$MP=MN$。
$\because ND// AB$，
$\therefore ∠ DNP=45°$。
$\therefore ∠ DNM=60°-45°=15°$。
$\because ∠ APM=75°$，
$\therefore ∠ AMP=15°$。
$\therefore ∠ DNM=∠ AMP$。
在$△ AMP$和$△ DNM$中，
$\because \begin{cases}∠ AMP=∠ DNM, \\∠ MAP=∠ NDM, \\MP=NM,\end{cases}$
$\therefore △ AMP ≌ △ DNM(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AM=DN$。
$\therefore AB=DN=AM=2.8\ \mathrm{m}$，即丙房间的宽度$AB$为$2.8\ \mathrm{m}$。

【分析】
(1) 首先在$Rt△ AMP$中利用勾股定理求出梯子$PM$的长度，由于梯子长度不变，故$PB=PM$，房间宽度$AB=AP+PB$，代入数值计算即可。
(2) 先根据$∠ MPN=90°$和直角三角形两锐角互余的性质，推导得到$∠ AMP=∠ BPN$，结合梯子长度相等$PM=PN$、$∠ MAP=∠ PBN=90°$，可证明$△ AMP≌△ BPN$，得到$PB=AM$，再用勾股定理求出$AP$的长度，相加即可得到$AB$的长度。
(3) ①根据平角为$180°$，用$180°$减去两个已知角的度数即可求出$∠ MPN$；②作辅助线$ND⊥ MA$、连接$MN$，先由$PM=PN$、$∠ MPN=60°$证明$△ MNP$是等边三角形，再推导角相等证明$△ AMP≌△ DNM$，得到$AM=DN$，而$DN=AB$，即可求出$AB$的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ AMP$中，由勾股定理得：
$PM=\sqrt{AM^2+AP^2}=\sqrt{1.6^2+1.2^2}=2(\mathrm{m})$
因为梯子长度不变，所以$PB=PM=2\mathrm{m}$，则$AB=AP+PB=1.2+2=3.2\mathrm{m}$。
(2) $\because ∠ MPN=90°$，
$\therefore ∠ APM+∠ BPN=90°$。
$\because ∠ APM+∠ AMP=90°$，
$\therefore ∠ AMP=∠ BPN$。
在$△ AMP$和$△ BPN$中，
$\because \begin{cases}∠ AMP=∠ BPN, \\∠ MAP=∠ PBN=90°, \\MP=PN,\end{cases}$
$\therefore △ AMP ≌ △ BPN(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AM=PB=2.4\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ AMP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{PM^2-AM^2}=\sqrt{2.5^2-2.4^2}=0.7(\mathrm{m})$
$\therefore$乙房间的宽度$AB=AP+PB=0.7+2.4=3.1(\mathrm{m})$。
(3) ① $\because$点A、P、B在同一直线上，$∠ APB=180°$
$\therefore ∠ MPN = 180° - ∠ APM - ∠ BPN=180°-75°-45°=60°$。
② 如图，过点$N$作$MA$的垂线，垂足为$D$，连接$NM$。

$\because ∠ MPN=60°$，$MP=PN$（梯子长度不变），
$\therefore △ PNM$为等边三角形。
$\therefore ∠ MNP=60°$，$MP=MN$。
$\because ND// AB$，
$\therefore ∠ DNP=∠ BPN=45°$。
$\therefore ∠ DNM=∠ MNP - ∠ DNP=60°-45°=15°$。
$\because ∠ APM=75°$，$∠ MAP=90°$，
$\therefore ∠ AMP=90°-75°=15°$。
$\therefore ∠ DNM=∠ AMP$。
在$△ AMP$和$△ DNM$中，
$\because \begin{cases}∠ AMP=∠ DNM, \\∠ MAP=∠ NDM=90°, \\MP=NM,\end{cases}$
$\therefore △ AMP ≌ △ DNM(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AM=DN$，又$\because DN=AB$，
$\therefore AB=AM=2.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{3.2}$
(2) $\boxed{3.1\ \mathrm{m}}$
(3) ① $\boxed{60°}$；② $\boxed{2.8\ \mathrm{m}}$

【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的综合运用，解题的核心是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，结合角的互余、相等关系推导全等判定条件，能够有效考查学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6