5. 如图，图①是一辆重型卡车的立体图，图②是长方体木箱沿着坡面从重型卡车上被卸载的平面示意图. 重型卡车车身的高度$AC=4\ \mathrm{m}$，卡车卸货时后面支架$AB$弯折，点$A$落在地面上点$A'$处，经测量得$A'C=2\ \mathrm{m}$. 现有一个长方体木箱要被卸载，已知木箱的长$ED=5\ \mathrm{m}$，高$EF=2.5\ \mathrm{m}$，宽度小于卡车车身的宽度. 当木箱底部顶点$K$与坡面底部点$A'$重合时，木箱上部顶点$E$到地面$A'C$的距离为多少米？

5. 解：如图，作$EJ ⊥ A'C$于点$J$，$FH ⊥ A'C$于点$H$，与卡车车身下底交于点$G$，$FI ⊥ EJ$于点$I$。

$\because AC ⊥ A'C$，$GB ⊥ AC$，
$\therefore FH// EJ// AB$，$FI// BG// A'C$。
$\therefore IJ=FH$，$GH=BC$，$∠ EIF=∠ BGF=∠ CHG=∠ A'CB=90°$，$∠ FBG=∠ BA'C$。
设$A'B=AB=x\ \mathrm{m}$。
$\because A'C^2+BC^2=A'B^2$，且$AC=4\ \mathrm{m}$，$A'C=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore 2^2+(4-x)^2=x^2$。
解得$x=2.5$。
$\therefore A'B=2.5\ \mathrm{m}$，$GH=BC=4-2.5=1.5(\mathrm{m})$。
$\because$四边形$A'DEF$是长方形，$ED=5\ \mathrm{m}$，$EF=2.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore A'F=ED=5\ \mathrm{m}$。
$\therefore EF=BF=A'B=2.5\ \mathrm{m}$。
在$△ BGF$和$△ A'CB$中，
$\because \begin{cases}∠ BGF=∠ A'CB, \\BF=A'B, \\∠ FBG=∠ BA'C,\end{cases}$
$\therefore △ BGF ≌ △ A'CB(\mathrm{ASA})$。
$\therefore FG=BC=1.5\ \mathrm{m}$，$BG=A'C=2\ \mathrm{m}$。
$\therefore IJ=FH=FG+GH=1.5+1.5=3(\mathrm{m})$。
$\because ∠ BFE=90°$，$∠ IFH=180°-∠ CHG=90°$，
$\therefore ∠ EFI=90°-∠ BFI=∠ BFG$。
在$△ EIF$和$△ BGF$中，
$\because \begin{cases}∠ EIF=∠ BGF, \\∠ EFI=∠ BFG, \\EF=BF,\end{cases}$
$\therefore △ EIF ≌ △ BGF(\mathrm{AAS})$。
$\therefore EI=BG=2\ \mathrm{m}$。
$\therefore EJ=EI+IJ=2+3=5(\mathrm{m})$。
$\therefore$木箱上部顶点$E$到地面$A'C$的距离为$5\ \mathrm{m}$。

【分析】
要计算顶点E到地面的距离，首先利用折叠的性质可得AB=A'B，结合已知AC、A'C的长度，可通过勾股定理先求出A'B、BC的长度；接下来作EJ⊥A'C、FH⊥A'C、FI⊥EJ构造直角三角形和矩形，利用长方体的性质得到相等的边，再通过证明两次三角形全等得到对应线段的长度，最后将E到地面的距离拆分为EI和IJ两段求和，即可得到结果。
【解析】
如图，作$EJ ⊥ A'C$于点$J$，$FH ⊥ A'C$于点$H$，与卡车车身下底交于点$G$，$FI ⊥ EJ$于点$I$。
$\because AC ⊥ A'C$，$GB ⊥ AC$，
$\therefore FH// EJ// AB$，$FI// BG// A'C$。
$\therefore IJ=FH$，$GH=BC$，$∠ EIF=∠ BGF=∠ CHG=∠ A'CB=90°$，$∠ FBG=∠ BA'C$。
设$A'B=AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(4-x)\mathrm{m}$。
在$Rt△ A'CB$中，由勾股定理得$A'C^2+BC^2=A'B^2$，已知$AC=4\ \mathrm{m}$，$A'C=2\ \mathrm{m}$，代入得：
$2^2+(4-x)^2=x^2$
解得$x=2.5$。
$\therefore A'B=2.5\ \mathrm{m}$，$GH=BC=4-2.5=1.5(\mathrm{m})$。
$\because$四边形$A'DEF$是长方形，$ED=5\ \mathrm{m}$，$EF=2.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore A'F=ED=5\ \mathrm{m}$，$\therefore EF=BF=A'B=2.5\ \mathrm{m}$。
在$△ BGF$和$△ A'CB$中，
$\because \begin{cases}∠ BGF=∠ A'CB, \\BF=A'B, \\∠ FBG=∠ BA'C,\end{cases}$
$\therefore △ BGF ≌ △ A'CB(\mathrm{ASA})$。
$\therefore FG=BC=1.5\ \mathrm{m}$，$BG=A'C=2\ \mathrm{m}$。
$\therefore IJ=FH=FG+GH=1.5+1.5=3(\mathrm{m})$。
$\because ∠ BFE=90°$，$∠ IFH=180°-∠ CHG=90°$，
$\therefore ∠ EFI=90°-∠ BFI=∠ BFG$。
在$△ EIF$和$△ BGF$中，
$\because \begin{cases}∠ EIF=∠ BGF, \\∠ EFI=∠ BFG, \\EF=BF,\end{cases}$
$\therefore △ EIF ≌ △ BGF(\mathrm{AAS})$。
$\therefore EI=BG=2\ \mathrm{m}$。
$\therefore EJ=EI+IJ=2+3=5(\mathrm{m})$。
【答案】

木箱上部顶点$E$到地面$A'C$的距离为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理的应用；全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【点评】
本题结合实际卸货场景考查几何知识的综合运用，解题的关键是利用折叠性质找到相等线段，通过作辅助线构造全等三角形实现线段长度的转化，既考查了基础几何定理的掌握情况，也锻炼了将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6