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1. (1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BC=5$，$AC=4$，则$△ ABC$中最短边与最长边的比值为
(2) 在比例尺$1:60\,000\,000$的地图上量得北京与杭州的距离为$2\ \mathrm{cm}$，则杭州与北京的实际距离为
$\frac{3}{5}$
。(2) 在比例尺$1:60\,000\,000$的地图上量得北京与杭州的距离为$2\ \mathrm{cm}$，则杭州与北京的实际距离为
1 200
$\mathrm{km}$。答案
1. (1) $\frac{3}{5}$ (2) 1 200
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先明确直角三角形中直角所对的斜边是最长边，先确定最长边长度；再利用勾股定理求出未知直角边的长度，比较三条边长度找到最短边，最后计算两者的比值即可。
(2) 解决第二问首先回忆比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，据此公式推导实际距离的计算方法，算出结果后注意按照要求换算为千米单位。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，所以斜边$BC$为最长边，长度为$5$。
根据勾股定理：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
比较三边长度：$3＜4＜5$，所以最短边为$AB=3$。
则最短边与最长边的比值为$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$。
(2) 已知比例尺为$1:60000000$，图上距离为$2\mathrm{cm}$，根据$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，可得：
$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}=2÷\frac{1}{60000000}=120000000\mathrm{cm}$。
因为$1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$，所以$120000000\mathrm{cm}=120000000÷100000=1200\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{5}$；(2) $1200$
【知识点】
勾股定理，比例尺应用，长度单位换算
【点评】
本题属于基础题型，分别考查直角三角形的相关计算和比例尺的实际应用，解题时注意第一问要先明确长短边再求比值，第二问要注意单位换算的正确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问首先明确直角三角形中直角所对的斜边是最长边，先确定最长边长度；再利用勾股定理求出未知直角边的长度，比较三条边长度找到最短边，最后计算两者的比值即可。
(2) 解决第二问首先回忆比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，据此公式推导实际距离的计算方法，算出结果后注意按照要求换算为千米单位。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，所以斜边$BC$为最长边，长度为$5$。
根据勾股定理：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
比较三边长度：$3＜4＜5$，所以最短边为$AB=3$。
则最短边与最长边的比值为$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$。
(2) 已知比例尺为$1:60000000$，图上距离为$2\mathrm{cm}$，根据$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，可得：
$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}=2÷\frac{1}{60000000}=120000000\mathrm{cm}$。
因为$1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$，所以$120000000\mathrm{cm}=120000000÷100000=1200\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{5}$；(2) $1200$
【知识点】
勾股定理，比例尺应用，长度单位换算
【点评】
本题属于基础题型，分别考查直角三角形的相关计算和比例尺的实际应用，解题时注意第一问要先明确长短边再求比值，第二问要注意单位换算的正确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在数轴上点A，B，C，D，O分别表示数2，-1，5，1，0。请写出一组比例线段。
答案
答案不唯一,如 $BO:BD=OA:DC$
解析
【分析】
解题时先明确两个核心基础：①比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d满足$a:b=c:d$，则这四条线段为比例线段；②数轴上两点间的线段长度等于两点所表示数的差的绝对值（数轴右侧点表示的数减去左侧点表示的数即可得到两点间线段长度）。解题步骤为：首先计算出图中各条线段的长度，再从中找出两组比值相等的线段，即可得到符合要求的比例线段。
【解析】
先计算各线段的长度：
$BO = 0 - (-1) = 1$，
$BD = 1 - (-1) = 2$，
$OA = 2 - 0 = 2$，
$DC = 5 - 1 = 4$，
计算两组线段的比值：$\frac{BO}{BD}=\frac{1}{2}$，$\frac{OA}{DC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
可得$\frac{BO}{BD}=\frac{OA}{DC}$，即$BO:BD=OA:DC$为一组比例线段。
【答案】
答案不唯一,如 $BO:BD=OA:DC$
【知识点】
数轴上两点距离计算，比例线段的定义
【点评】
本题难度较低，解题核心是正确计算数轴上线段的长度，再结合比例线段的定义匹配比值相等的两组线段即可，答案不唯一，只要满足比例线段定义均正确。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心基础：①比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d满足$a:b=c:d$，则这四条线段为比例线段；②数轴上两点间的线段长度等于两点所表示数的差的绝对值（数轴右侧点表示的数减去左侧点表示的数即可得到两点间线段长度）。解题步骤为：首先计算出图中各条线段的长度，再从中找出两组比值相等的线段，即可得到符合要求的比例线段。
【解析】
先计算各线段的长度：
$BO = 0 - (-1) = 1$，
$BD = 1 - (-1) = 2$，
$OA = 2 - 0 = 2$，
$DC = 5 - 1 = 4$，
计算两组线段的比值：$\frac{BO}{BD}=\frac{1}{2}$，$\frac{OA}{DC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
可得$\frac{BO}{BD}=\frac{OA}{DC}$，即$BO:BD=OA:DC$为一组比例线段。
【答案】
答案不唯一,如 $BO:BD=OA:DC$
【知识点】
数轴上两点距离计算，比例线段的定义
【点评】
本题难度较低，解题核心是正确计算数轴上线段的长度，再结合比例线段的定义匹配比值相等的两组线段即可，答案不唯一，只要满足比例线段定义均正确。
【难度系数】
0.8
3. 已知线段$a$，$b$，$c$，$d$是成比例线段，满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，其中$a=12\ \mathrm{cm}$，$b=4\ \mathrm{cm}$，$c=6\ \mathrm{cm}$。求线段$d$的长度。
答案
$d=2\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题已知四条线段成比例且给出了对应的比例式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，解题思路清晰：首先将已知的a、b、c的长度代入比例式，再利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）将比例式转化为一元一次方程，最后解方程即可求出d的长度。
【解析】
解：
∵线段$a$，$b$，$c$，$d$是成比例线段，满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
将$a=12\ \mathrm{cm}$，$b=4\ \mathrm{cm}$，$c=6\ \mathrm{cm}$代入上述比例式，得：
$\frac{12}{4}=\frac{6}{d}$
根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可得：
$12d=4×6$
整理得$12d=24$
解得$d=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
$d=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 成比例线段
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查成比例线段相关概念的理解和比例基本性质的应用，解题时只需准确代入已知数值，正确计算即可。
【难度系数】
0.9
本题已知四条线段成比例且给出了对应的比例式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，解题思路清晰：首先将已知的a、b、c的长度代入比例式，再利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）将比例式转化为一元一次方程，最后解方程即可求出d的长度。
【解析】
解：
∵线段$a$，$b$，$c$，$d$是成比例线段，满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
将$a=12\ \mathrm{cm}$，$b=4\ \mathrm{cm}$，$c=6\ \mathrm{cm}$代入上述比例式，得：
$\frac{12}{4}=\frac{6}{d}$
根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可得：
$12d=4×6$
整理得$12d=24$
解得$d=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
$d=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 成比例线段
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查成比例线段相关概念的理解和比例基本性质的应用，解题时只需准确代入已知数值，正确计算即可。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC。试判断线段AD,BE,AC,BC是否成比例,并说明理由。
答案
成比例。由 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AC· BE$,可得$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$。
解析
【分析】
要判断四条线段是否成比例，需验证是否能得到对应线段比值相等的式子。观察图形可知AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，我们可以借助△ABC面积的两种不同表示方法列等式，再对等式变形推导比例关系，即可判断四条线段是否成比例。
【解析】
线段AD,BE,AC,BC成比例，理由如下：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AD是△ABC的BC边上的高，BE是△ABC的AC边上的高。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE$，
∴$\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AC· BE$，
化简得$BC· AD=AC· BE$，
根据比例的基本性质，将等式变形为比例式可得：$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
因此线段AD,BE,AC,BC成比例。
【答案】
成比例，$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$
【知识点】
三角形面积计算，比例的基本性质，比例线段判定
【点评】
本题考查线段成比例的判断，利用同一个三角形面积的不同表示方法建立等量关系是解题的关键，面积法是解决几何中线段关系问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否成比例，需验证是否能得到对应线段比值相等的式子。观察图形可知AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，我们可以借助△ABC面积的两种不同表示方法列等式，再对等式变形推导比例关系，即可判断四条线段是否成比例。
【解析】
线段AD,BE,AC,BC成比例，理由如下：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AD是△ABC的BC边上的高，BE是△ABC的AC边上的高。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE$，
∴$\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AC· BE$，
化简得$BC· AD=AC· BE$，
根据比例的基本性质，将等式变形为比例式可得：$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
因此线段AD,BE,AC,BC成比例。
【答案】
成比例，$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$
【知识点】
三角形面积计算，比例的基本性质，比例线段判定
【点评】
本题考查线段成比例的判断，利用同一个三角形面积的不同表示方法建立等量关系是解题的关键，面积法是解决几何中线段关系问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
