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5. 在同一时刻两物体的物高与影长成比例。如果某一时刻，古塔在地面上的影长为50 m，高为1.5 m的测杆的影长为2.5 m，试求出古塔的高。
答案
设古塔高为 $x(\mathrm{m})$,由 $1.5:2.5=x:50$,得 $x=30$。
解析
【分析】
题目明确说明同一时刻两物体的物高与影长成比例，即此时物体实际高度和对应影长的比值是定值。已知测杆的高度、测杆的影长、古塔的影长，未知量为古塔高度，我们可以通过设未知数，根据物高和影长的对应比例关系列等式，再利用比例的基本性质求解，列比例式时需注意物高和影长的对应关系，避免对应项错位。
【解析】
解：设古塔的高为$x\ \mathrm{m}$。
根据同一时刻物高与影长成比例，可列比例式：
$1.5:2.5 = x:50$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，得：
$2.5x = 1.5×50$
计算得：$2.5x=75$
系数化为1，得：$x=30$
【答案】
古塔的高为$\boxed{30\ \mathrm{m}}$
【知识点】
比例的基本性质，平行投影的特征
【点评】
本题是比例知识在实际生活中的基础应用，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律，准确匹配物高和影长的对应关系列出比例式，计算难度低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
题目明确说明同一时刻两物体的物高与影长成比例，即此时物体实际高度和对应影长的比值是定值。已知测杆的高度、测杆的影长、古塔的影长，未知量为古塔高度，我们可以通过设未知数，根据物高和影长的对应比例关系列等式，再利用比例的基本性质求解，列比例式时需注意物高和影长的对应关系，避免对应项错位。
【解析】
解：设古塔的高为$x\ \mathrm{m}$。
根据同一时刻物高与影长成比例，可列比例式：
$1.5:2.5 = x:50$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，得：
$2.5x = 1.5×50$
计算得：$2.5x=75$
系数化为1，得：$x=30$
【答案】
古塔的高为$\boxed{30\ \mathrm{m}}$
【知识点】
比例的基本性质，平行投影的特征
【点评】
本题是比例知识在实际生活中的基础应用，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律，准确匹配物高和影长的对应关系列出比例式，计算难度低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 我们把长与宽之比为$\sqrt{2}$的矩形纸片称为标准纸。如图，将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对折，得到矩形纸片EFGH。判断图中两个矩形的长与宽是否成比例，并说明理由。
答案
成比例。$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{FG}=\sqrt{2}$。
解析
【分析】
要判断两个矩形的长与宽是否成比例，可按以下思路推导：首先根据“标准纸”的定义明确原矩形ABCD长和宽的数量关系，再结合对折的性质得到新矩形EFGH的长、宽长度，最后分别计算两个矩形长与宽的比值，若两个比值相等则说明长与宽成比例。
【解析】
设矩形ABCD的宽$AB=a$，
∵矩形ABCD是标准纸，且$AB＜BC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\sqrt{2}$，即$AD=\sqrt{2}a$，
由对折的性质可得：$EF=AB=a$，$FG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
计算矩形EFGH长与宽的比值：$\frac{EF}{FG}=\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
因此$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{FG}=\sqrt{2}$，即两个矩形的长与宽成比例。
【答案】
成比例。$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{FG}=\sqrt{2}$。
【知识点】
比例线段，矩形的性质，比例的判定
【点评】
本题结合“标准纸”的新定义考查成比例线段的判断，解题关键是理清对折前后矩形各边的数量关系，通过计算边长比值即可得到结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断两个矩形的长与宽是否成比例，可按以下思路推导：首先根据“标准纸”的定义明确原矩形ABCD长和宽的数量关系，再结合对折的性质得到新矩形EFGH的长、宽长度，最后分别计算两个矩形长与宽的比值，若两个比值相等则说明长与宽成比例。
【解析】
设矩形ABCD的宽$AB=a$，
∵矩形ABCD是标准纸，且$AB＜BC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\sqrt{2}$，即$AD=\sqrt{2}a$，
由对折的性质可得：$EF=AB=a$，$FG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
计算矩形EFGH长与宽的比值：$\frac{EF}{FG}=\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
因此$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{FG}=\sqrt{2}$，即两个矩形的长与宽成比例。
【答案】
成比例。$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{FG}=\sqrt{2}$。
【知识点】
比例线段，矩形的性质，比例的判定
【点评】
本题结合“标准纸”的新定义考查成比例线段的判断，解题关键是理清对折前后矩形各边的数量关系，通过计算边长比值即可得到结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7.（多选题）$△ ABC$与$△ DEF$在网格中的位置如图
所示，三角形的顶点都在小正方形的格点上，每个小正方形的边长都是1。在AB，BC，AC，DE，EF，DF这六条线段中，成比例的线段是（
A.$AB:BC=DE:EF$
B.$AC:BC=EF:DF$
C.$AB:AC=DE:DF$
D.$AB:AC=EF:DF$
所示，三角形的顶点都在小正方形的格点上，每个小正方形的边长都是1。在AB，BC，AC，DE，EF，DF这六条线段中，成比例的线段是（AC
）。A.$AB:BC=DE:EF$
B.$AC:BC=EF:DF$
C.$AB:AC=DE:DF$
D.$AB:AC=EF:DF$
答案
AC
解析
【分析】
要判断哪组线段成比例，核心思路是先求出所有线段的长度，再分别计算每个选项中等号两侧的比值，对比比值是否相等即可。第一步：利用勾股定理，结合格点的边长为1，分别计算AB、BC、AC、DE、EF、DF六条线段的长度；第二步：对四个选项逐一计算左右两边的比值，判断是否相等，相等则为成比例线段。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段的长度：
$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=6$；
$DE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$EF=3$。
逐一验证选项：
A. $AB:BC=4\sqrt{2}:6=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$DE:EF=2\sqrt{2}:3=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，比值相等，故A正确；
B. $AC:BC=2\sqrt{5}:6=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$EF:DF=3:\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，比值不相等，故B错误；
C. $AB:AC=4\sqrt{2}:2\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$DE:DF=2\sqrt{2}:\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，比值相等，故C正确；
D. $AB:AC=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$EF:DF=3:\sqrt{5}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，比值不相等，故D错误。
综上，选AC。
【答案】
AC
【知识点】
勾股定理，比例线段的判定
【点评】
本题考查格点图形中线段长度的计算与比例线段的判断，解题的关键是准确运用勾股定理求出各线段长度，再通过计算比值验证是否成比例，计算时注意二次根式的化简，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
要判断哪组线段成比例，核心思路是先求出所有线段的长度，再分别计算每个选项中等号两侧的比值，对比比值是否相等即可。第一步：利用勾股定理，结合格点的边长为1，分别计算AB、BC、AC、DE、EF、DF六条线段的长度；第二步：对四个选项逐一计算左右两边的比值，判断是否相等，相等则为成比例线段。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段的长度：
$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=6$；
$DE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$EF=3$。
逐一验证选项：
A. $AB:BC=4\sqrt{2}:6=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$DE:EF=2\sqrt{2}:3=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，比值相等，故A正确；
B. $AC:BC=2\sqrt{5}:6=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$EF:DF=3:\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，比值不相等，故B错误；
C. $AB:AC=4\sqrt{2}:2\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$DE:DF=2\sqrt{2}:\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，比值相等，故C正确；
D. $AB:AC=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$EF:DF=3:\sqrt{5}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，比值不相等，故D错误。
综上，选AC。
【答案】
AC
【知识点】
勾股定理，比例线段的判定
【点评】
本题考查格点图形中线段长度的计算与比例线段的判断，解题的关键是准确运用勾股定理求出各线段长度，再通过计算比值验证是否成比例，计算时注意二次根式的化简，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点$D$。
（1）若$AB=8$，$AC=6$，求$AD$的长。
（2）请判断$\frac{BD}{AD}\_\_\_\_\_\_\frac{AD}{CD}$（填“＜”“=”或“＞”），并说明理由。
（1）若$AB=8$，$AC=6$，求$AD$的长。
（2）请判断$\frac{BD}{AD}\_\_\_\_\_\_\frac{AD}{CD}$（填“＜”“=”或“＞”），并说明理由。
答案
（1）在Rt△ABC中$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$。由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$,可得$AD=\frac{24}{5}$。
（2）=。理由如下:因为$AD^2+BD^2=AB^2$,$AD^2+CD^2=AC^2$,所以$2AD^2+BD^2+CD^2=AB^2+AC^2=BC^2$。又因为$BC^2=(BD+CD)^2=BD^2+CD^2+2BD· CD$,所以$AD^2=BD· CD$,即$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$。
（2）=。理由如下:因为$AD^2+BD^2=AB^2$,$AD^2+CD^2=AC^2$,所以$2AD^2+BD^2+CD^2=AB^2+AC^2=BC^2$。又因为$BC^2=(BD+CD)^2=BD^2+CD^2+2BD· CD$,所以$AD^2=BD· CD$,即$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$。
解析
【分析】
（1）求斜边上的高AD，可先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，即可求解AD的长度。
（2）判断两个比例的大小关系，可根据比例的基本性质转化为判断$AD^2$与$BD·CD$是否相等。先分别在Rt△ABD、Rt△ACD中用勾股定理表示$AB^2$、$AC^2$，结合Rt△ABC中$AB^2+AC^2=BC^2$，再将BC替换为$BD+CD$展开化简，即可得到$AD^2$与$BD·CD$的关系，进而判断比例的大小。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
三角形面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，因此：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× AD$
解得$AD=\frac{24}{5}$。
（2）填$=$，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$；在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$。
两式相加得：$2AD^2+BD^2+CD^2=AB^2+AC^2$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中$AB^2+AC^2=BC^2$，因此$2AD^2+BD^2+CD^2=BC^2$。
又$BC=BD+CD$，故$BC^2=(BD+CD)^2=BD^2+2BD·CD+CD^2$。
代入上式得：$2AD^2+BD^2+CD^2=BD^2+CD^2+2BD·CD$，
化简得$AD^2=BD·CD$，根据比例的基本性质可得$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$；（2）$\boldsymbol{=}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，比例的基本性质
【点评】
本题考查直角三角形的计算与比例推导，第一小问的面积法是求直角三角形斜边上高的常用技巧，第二小问需要将比例式转化为乘积式，结合勾股定理和完全平方公式变形求解，掌握转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）求斜边上的高AD，可先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，即可求解AD的长度。
（2）判断两个比例的大小关系，可根据比例的基本性质转化为判断$AD^2$与$BD·CD$是否相等。先分别在Rt△ABD、Rt△ACD中用勾股定理表示$AB^2$、$AC^2$，结合Rt△ABC中$AB^2+AC^2=BC^2$，再将BC替换为$BD+CD$展开化简，即可得到$AD^2$与$BD·CD$的关系，进而判断比例的大小。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
三角形面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，因此：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× AD$
解得$AD=\frac{24}{5}$。
（2）填$=$，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$；在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$。
两式相加得：$2AD^2+BD^2+CD^2=AB^2+AC^2$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中$AB^2+AC^2=BC^2$，因此$2AD^2+BD^2+CD^2=BC^2$。
又$BC=BD+CD$，故$BC^2=(BD+CD)^2=BD^2+2BD·CD+CD^2$。
代入上式得：$2AD^2+BD^2+CD^2=BD^2+CD^2+2BD·CD$，
化简得$AD^2=BD·CD$，根据比例的基本性质可得$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$；（2）$\boldsymbol{=}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，比例的基本性质
【点评】
本题考查直角三角形的计算与比例推导，第一小问的面积法是求直角三角形斜边上高的常用技巧，第二小问需要将比例式转化为乘积式，结合勾股定理和完全平方公式变形求解，掌握转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
