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5. (2024·随州)已知关于$x$的方程$x^2 - (k+4)x +4k=0(k≠0)$的两实数根为$x_1,x_2$.
若$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=3$,则$k=$
若$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=3$,则$k=$
$\frac{4}{5}$
.答案
5. $\frac{4}{5}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先根据给定的一元二次方程，利用韦达定理写出两根之和、两根之积的含k表达式；再将已知的分式等式$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=3$通分变形，转化为含有两根和、两根积的形式；最后将韦达定理的结果代入变形后的等式求解k，同时验证方程有两实根的条件和题目k≠0的限制即可。
【解析】
对于方程$x^2 - (k+4)x +4k=0(k≠0)$，其中$a=1$，$b=-(k+4)$，$c=4k$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = k+4$，$x_1x_2=4k$。
对$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$通分化简：
$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2(x_1+x_2)}{x_1x_2}$，
结合已知$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=3$，代入得：
$\frac{2(k+4)}{4k}=3$，
化简得：$\frac{k+4}{2k}=3$，
两边同乘$2k$（$k≠0$）得：$k+4=6k$，
移项解得：$k=\frac{4}{5}$。
验证根的判别式：$\Delta=[-(k+4)]^2-4×1×4k=(k-4)^2≥0$，恒满足方程有两实数根，且$\frac{4}{5}≠0$，符合题意。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
韦达定理，分式化简，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将分式式转化为用两根和、两根积表示的形式，求解参数后要注意验证是否满足方程有实根及题目给出的参数限制，避免出现增根。
【难度系数】
0.75
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先根据给定的一元二次方程，利用韦达定理写出两根之和、两根之积的含k表达式；再将已知的分式等式$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=3$通分变形，转化为含有两根和、两根积的形式；最后将韦达定理的结果代入变形后的等式求解k，同时验证方程有两实根的条件和题目k≠0的限制即可。
【解析】
对于方程$x^2 - (k+4)x +4k=0(k≠0)$，其中$a=1$，$b=-(k+4)$，$c=4k$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = k+4$，$x_1x_2=4k$。
对$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$通分化简：
$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2(x_1+x_2)}{x_1x_2}$，
结合已知$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=3$，代入得：
$\frac{2(k+4)}{4k}=3$，
化简得：$\frac{k+4}{2k}=3$，
两边同乘$2k$（$k≠0$）得：$k+4=6k$，
移项解得：$k=\frac{4}{5}$。
验证根的判别式：$\Delta=[-(k+4)]^2-4×1×4k=(k-4)^2≥0$，恒满足方程有两实数根，且$\frac{4}{5}≠0$，符合题意。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
韦达定理，分式化简，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将分式式转化为用两根和、两根积表示的形式，求解参数后要注意验证是否满足方程有实根及题目给出的参数限制，避免出现增根。
【难度系数】
0.75
6. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + m -1 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$.
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 若$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$, 求$m$的值.
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 若$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$, 求$m$的值.
答案
6. (1)$m ≤ \frac{13}{4}$;(2)$m =- 3$.
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，当方程有两个实数根时判别式$\Delta ≥ 0$，代入方程对应系数即可求出$m$的取值范围。
(2) 题中等式包含两根之和、两根之积，可先通过一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再代入已知等式求解$m$，最后验证所得$m$是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 + 3x + m -1 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=m-1$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
代入系数得：$3^2 - 4×1×(m-1) ≥ 0$，
计算得：$9 - 4m + 4 ≥ 0$，
整理得：$13 - 4m ≥ 0$，
解得：$m ≤ \frac{13}{4}$。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m-1$，
将上述结果代入$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$，得：
$2×(-3) + (m-1) + 10 = 0$，
化简计算：$-6 + m -1 + 10 = m + 3 = 0$，
解得$m=-3$。
验证：$-3 ≤ \frac{13}{4}$，符合(1)中$m$的取值范围，结果有效。
【答案】
(1)$m ≤ \frac{13}{4}$;(2)$m =- 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题核心是熟练掌握根的判别式的意义以及根与系数的关系，求解参数后要注意验证参数是否符合判别式的取值要求，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，当方程有两个实数根时判别式$\Delta ≥ 0$，代入方程对应系数即可求出$m$的取值范围。
(2) 题中等式包含两根之和、两根之积，可先通过一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再代入已知等式求解$m$，最后验证所得$m$是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 + 3x + m -1 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=m-1$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
代入系数得：$3^2 - 4×1×(m-1) ≥ 0$，
计算得：$9 - 4m + 4 ≥ 0$，
整理得：$13 - 4m ≥ 0$，
解得：$m ≤ \frac{13}{4}$。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m-1$，
将上述结果代入$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$，得：
$2×(-3) + (m-1) + 10 = 0$，
化简计算：$-6 + m -1 + 10 = m + 3 = 0$，
解得$m=-3$。
验证：$-3 ≤ \frac{13}{4}$，符合(1)中$m$的取值范围，结果有效。
【答案】
(1)$m ≤ \frac{13}{4}$;(2)$m =- 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题核心是熟练掌握根的判别式的意义以及根与系数的关系，求解参数后要注意验证参数是否符合判别式的取值要求，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
例1 用直接开平方法解下列方程：
(1) $9(x-1)^2 - 4 = 0$；
(2) $(2x-1)^2 = 5$。
(1) $9(x-1)^2 - 4 = 0$；
(2) $(2x-1)^2 = 5$。
答案
1. 解：移项，得$9(x-1)^2=4$，两边同时除以9，得$(x-1)^2=\frac{4}{9}$，直接开平方，得$x-1=\pm\frac{2}{3}$，解得$x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{1}{3}$。
2. 解：直接开平方，得$2x-1=\pm\sqrt{5}$，移项得$2x=1\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
2. 解：直接开平方，得$2x-1=\pm\sqrt{5}$，移项得$2x=1\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
直接开平方法的核心是将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义开方转化为一元一次方程求解。
对于(1)：先把常数项移到等号右侧，再将完全平方式的系数化为1，得到标准形式后开平方求解；
对于(2)：方程已经符合直接开平方的标准形式，直接开平方后转化为一元一次方程求解即可，注意开平方后要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得$9(x-1)^2=4$，
两边同时除以9，得$(x-1)^2=\frac{4}{9}$，
直接开平方，得$x-1=\pm\frac{2}{3}$，
即$x-1=\frac{2}{3}$或$x-1=-\frac{2}{3}$，
解得$x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(2) 直接开平方，得$2x-1=\pm\sqrt{5}$，
移项得$2x=1\pm\sqrt{5}$，
两边同时除以2，得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{1}{3}$；
(2) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，开平方时注意正数有两个互为相反数的平方根，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.8
直接开平方法的核心是将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义开方转化为一元一次方程求解。
对于(1)：先把常数项移到等号右侧，再将完全平方式的系数化为1，得到标准形式后开平方求解；
对于(2)：方程已经符合直接开平方的标准形式，直接开平方后转化为一元一次方程求解即可，注意开平方后要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得$9(x-1)^2=4$，
两边同时除以9，得$(x-1)^2=\frac{4}{9}$，
直接开平方，得$x-1=\pm\frac{2}{3}$，
即$x-1=\frac{2}{3}$或$x-1=-\frac{2}{3}$，
解得$x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(2) 直接开平方，得$2x-1=\pm\sqrt{5}$，
移项得$2x=1\pm\sqrt{5}$，
两边同时除以2，得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{1}{3}$；
(2) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，开平方时注意正数有两个互为相反数的平方根，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.8
