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例2 利用根与系数的关系,求一元二次方程$2x^2+3x-1=0$的两个根的:
(1)平方和;(2)倒数和.
解:设方程的两个根分别为$x_1,x_2$,那么
$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_,x_1x_2=\_\_\_\_\_\_.$
(1)$\because (x_1+x_2)^2=x_1^2+2\_\_\_\_\_\_+x_2^2,$
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{x_1x_2}=\_\_\_\_\_\_.$
注意:求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式,再整体代入.
(1)平方和;(2)倒数和.
解:设方程的两个根分别为$x_1,x_2$,那么
$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_,x_1x_2=\_\_\_\_\_\_.$
(1)$\because (x_1+x_2)^2=x_1^2+2\_\_\_\_\_\_+x_2^2,$
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{x_1x_2}=\_\_\_\_\_\_.$
注意:求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式,再整体代入.
答案
例2 $x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$
(1) $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{13}{4}$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=3$
(1) $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{13}{4}$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=3$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：①先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先确定本题方程的$a、b、c$取值，计算得到两根和与两根积的结果；②求两根平方和时，利用完全平方公式变形，将平方和转化为用两根和、两根积表示的形式，代入数值计算即可；③求倒数和时，先对分式通分化简，同样转化为含两根和、两根积的形式，整体代入求值即可，无需计算方程的具体根，可简化计算过程。
【解析】
设方程$2x^2+3x-1=0$的两个根为$x_1,x_2$，其中$a=2，b=3，c=-1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
(1) 根据完全平方公式展开得：$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，
移项变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入数值计算：$x_1^2+x_2^2=(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$。
(2) 对倒数和通分化简：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
代入数值计算：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=3$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$；$-\frac{1}{2}$
(1)$x_1x_2$；$x_1x_2$；$\frac{13}{4}$
(2)$x_1+x_2$；$3$
【知识点】
根与系数的关系；完全平方公式；分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心解题方法是将所求代数式变形为只含两根之和、两根之积的形式，再整体代入计算，避免了求解方程根的繁琐，是该模块的典型基础题。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：①先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先确定本题方程的$a、b、c$取值，计算得到两根和与两根积的结果；②求两根平方和时，利用完全平方公式变形，将平方和转化为用两根和、两根积表示的形式，代入数值计算即可；③求倒数和时，先对分式通分化简，同样转化为含两根和、两根积的形式，整体代入求值即可，无需计算方程的具体根，可简化计算过程。
【解析】
设方程$2x^2+3x-1=0$的两个根为$x_1,x_2$，其中$a=2，b=3，c=-1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
(1) 根据完全平方公式展开得：$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，
移项变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入数值计算：$x_1^2+x_2^2=(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$。
(2) 对倒数和通分化简：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
代入数值计算：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=3$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$；$-\frac{1}{2}$
(1)$x_1x_2$；$x_1x_2$；$\frac{13}{4}$
(2)$x_1+x_2$；$3$
【知识点】
根与系数的关系；完全平方公式；分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心解题方法是将所求代数式变形为只含两根之和、两根之积的形式，再整体代入计算，避免了求解方程根的繁琐，是该模块的典型基础题。
【难度系数】
0.85
1. 下列一元二次方程两实数根的和为-4的是(
A.$x^2 + 2x -4 =0$
B.$x^2 -4x +4=0$
C.$x^2 +4x +10=0$
D.$x^2 +4x -5=0$
D
)A.$x^2 + 2x -4 =0$
B.$x^2 -4x +4=0$
C.$x^2 +4x +10=0$
D.$x^2 +4x -5=0$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合两个知识点判断：一是一元二次方程有两个实数根的前提是判别式Δ≥0，二是对于有实根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时先逐个验证选项中方程的判别式，排除无实根的选项，再计算剩余选项的两根之和，选出和为-4的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
1. 判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根；
2. 若方程有两个实根，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
我们逐个分析选项：
选项A：$a=1,b=2,c=-4$，$\Delta=2^2-4×1×(-4)=20＞0$，有实根，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求；
选项B：$a=1,b=-4,c=4$，$\Delta=(-4)^2-4×1×4=0$，有两个相等实根，两根之和为$-\frac{(-4)}{1}=4≠-4$，不符合要求；
选项C：$a=1,b=4,c=10$，$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，无实数根，直接排除；
选项D：$a=1,b=4,c=-5$，$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，有实根，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程判别式
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是基础易错题，解题时需注意不要直接用韦达定理计算两根之和，要先判断方程是否存在两个实数根，否则容易误选无实根的选项C。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合两个知识点判断：一是一元二次方程有两个实数根的前提是判别式Δ≥0，二是对于有实根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时先逐个验证选项中方程的判别式，排除无实根的选项，再计算剩余选项的两根之和，选出和为-4的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
1. 判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根；
2. 若方程有两个实根，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
我们逐个分析选项：
选项A：$a=1,b=2,c=-4$，$\Delta=2^2-4×1×(-4)=20＞0$，有实根，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求；
选项B：$a=1,b=-4,c=4$，$\Delta=(-4)^2-4×1×4=0$，有两个相等实根，两根之和为$-\frac{(-4)}{1}=4≠-4$，不符合要求；
选项C：$a=1,b=4,c=10$，$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，无实数根，直接排除；
选项D：$a=1,b=4,c=-5$，$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，有实根，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程判别式
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是基础易错题，解题时需注意不要直接用韦达定理计算两根之和，要先判断方程是否存在两个实数根，否则容易误选无实根的选项C。
【难度系数】
0.7
2. 方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两个根分别为 $x_1$，$x_2$，则 $x_1 + x_2 - x_1x_2$ 的值为
$2$
。答案
2. 2
解析
【分析】
本题要求计算关于一元二次方程两根的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再根据韦达定理分别求出两根之和与两根之积，最后代入目标代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
将上述结果代入代数式$x_1 + x_2 - x_1x_2$计算：
原式$=1 - (-1)=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查韦达定理的掌握情况，无需解方程即可快速得出结果，熟练记忆公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题要求计算关于一元二次方程两根的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再根据韦达定理分别求出两根之和与两根之积，最后代入目标代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
将上述结果代入代数式$x_1 + x_2 - x_1x_2$计算：
原式$=1 - (-1)=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查韦达定理的掌握情况，无需解方程即可快速得出结果，熟练记忆公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3.若$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=7,x_1x_2=8$,则下列方程中以$x_1,x_2$为根的一元二次方程是（
A.$x^2+7x+8=0$
B.$x^2-7x+8=0$
C.$x^2-7x-8=0$
D.$x^2+7x-8=0$
B
）A.$x^2+7x+8=0$
B.$x^2-7x+8=0$
C.$x^2-7x-8=0$
D.$x^2+7x-8=0$
答案
3. B
解析
【分析】
本题要求根据两根的和与积构造对应的一元二次方程，解题思路如下：首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-b$、$x_1x_2=c$。我们只需要将已知的两根和、两根积代入关系式，求出系数b、c的值，再代入一般式就能得到所求方程，最后匹配选项即可。
【解析】
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$
将已知条件$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=8$代入上式：
由$-b=7$得$b=-7$，由$x_1x_2=8$得$c=8$
将b、c代入所设方程，得到所求方程为$x^2 -7x +8=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是掌握二次项系数为1时，方程系数与两根的对应关系，注意不要弄错一次项系数的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题要求根据两根的和与积构造对应的一元二次方程，解题思路如下：首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-b$、$x_1x_2=c$。我们只需要将已知的两根和、两根积代入关系式，求出系数b、c的值，再代入一般式就能得到所求方程，最后匹配选项即可。
【解析】
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$
将已知条件$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=8$代入上式：
由$-b=7$得$b=-7$，由$x_1x_2=8$得$c=8$
将b、c代入所设方程，得到所求方程为$x^2 -7x +8=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是掌握二次项系数为1时，方程系数与两根的对应关系，注意不要弄错一次项系数的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1.已知方程$3x^2 -19x +m=0$的一个根是1，求它的另一个根及$m$的值.
答案
m = 16,$x_2 = \frac{16}{3}$
解析
【分析】
解题可采用两种符合学段要求的思路：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出参数m的值，再代入方程求解得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根和、两根积的公式，同时求出另一个根和m的值，其中韦达定理解题更快捷。
【解析】
方法一（利用根的定义求解）：
∵x=1是方程$3x^2 -19x +m=0$的根，
∴将x=1代入方程得：$3×1^2 -19×1 +m=0$，
计算得$3-19+m=0$，解得$m=16$。
将$m=16$代入原方程得：$3x^2 -19x +16=0$，
因式分解得$(x-1)(3x-16)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{16}{3}$。
方法二（利用根与系数的关系求解）：
设方程的两个根为$x_1=1$，$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=3$，$b=-19$，$c=m$，
∴$1+x_2=\frac{19}{3}$，解得$x_2=\frac{19}{3}-1=\frac{16}{3}$，
又$1×\frac{16}{3}=\frac{m}{3}$，解得$m=16$。
【答案】
$m=16$，$x_2=\frac{16}{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用题型，两种解题方法均围绕根的相关性质设计，核心考察对基础概念的掌握，熟练运用韦达定理可大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
解题可采用两种符合学段要求的思路：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出参数m的值，再代入方程求解得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根和、两根积的公式，同时求出另一个根和m的值，其中韦达定理解题更快捷。
【解析】
方法一（利用根的定义求解）：
∵x=1是方程$3x^2 -19x +m=0$的根，
∴将x=1代入方程得：$3×1^2 -19×1 +m=0$，
计算得$3-19+m=0$，解得$m=16$。
将$m=16$代入原方程得：$3x^2 -19x +16=0$，
因式分解得$(x-1)(3x-16)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{16}{3}$。
方法二（利用根与系数的关系求解）：
设方程的两个根为$x_1=1$，$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=3$，$b=-19$，$c=m$，
∴$1+x_2=\frac{19}{3}$，解得$x_2=\frac{19}{3}-1=\frac{16}{3}$，
又$1×\frac{16}{3}=\frac{m}{3}$，解得$m=16$。
【答案】
$m=16$，$x_2=\frac{16}{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用题型，两种解题方法均围绕根的相关性质设计，核心考察对基础概念的掌握，熟练运用韦达定理可大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
2. 设$x_1,x_2$是方程$3x^2 +4x -3=0$的两个根，利用根与系数之间的关系，求$(x_1 +1)·(x_2 +1),\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$的值。
答案
$-\frac{4}{3}, -\frac{34}{9}$
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题不需要求解两根的具体值，只需先根据方程求出两根之和与两根之积，再将待求的两个代数式变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，代入数值计算即可。第一步先确定方程的$a、b、c$，计算$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第二步展开第一个代数式直接代值计算；第三步对第二个代数式通分后利用完全平方公式变形，再代值计算。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$3x^2 +4x -3=0$的两个根
∴根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，$x_1x_2=\frac{-3}{3}=-1$
1. 计算$(x_1 +1)·(x_2 +1)$：
展开原式得：
$(x_1 +1)·(x_2 +1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1$
将$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，$x_1x_2=-1$代入得：
原式$=-1 + (-\frac{4}{3}) +1=-\frac{4}{3}$
2. 计算$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$：
先通分变形得：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2 +x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，$x_1x_2=-1$代入得：
原式$=\frac{(-\frac{4}{3})^2 -2×(-1)}{-1}=\frac{\frac{16}{9}+2}{-1}=\frac{\frac{34}{9}}{-1}=-\frac{34}{9}$
【答案】
$-\frac{4}{3}, -\frac{34}{9}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式化简
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，核心思路是通过代数式变形将待求式转化为含两根之和、两根之积的形式，避免了求解方程根的繁琐计算，要求熟练掌握韦达定理和常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题不需要求解两根的具体值，只需先根据方程求出两根之和与两根之积，再将待求的两个代数式变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，代入数值计算即可。第一步先确定方程的$a、b、c$，计算$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第二步展开第一个代数式直接代值计算；第三步对第二个代数式通分后利用完全平方公式变形，再代值计算。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$3x^2 +4x -3=0$的两个根
∴根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，$x_1x_2=\frac{-3}{3}=-1$
1. 计算$(x_1 +1)·(x_2 +1)$：
展开原式得：
$(x_1 +1)·(x_2 +1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1$
将$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，$x_1x_2=-1$代入得：
原式$=-1 + (-\frac{4}{3}) +1=-\frac{4}{3}$
2. 计算$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$：
先通分变形得：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2 +x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，$x_1x_2=-1$代入得：
原式$=\frac{(-\frac{4}{3})^2 -2×(-1)}{-1}=\frac{\frac{16}{9}+2}{-1}=\frac{\frac{34}{9}}{-1}=-\frac{34}{9}$
【答案】
$-\frac{4}{3}, -\frac{34}{9}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式化简
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，核心思路是通过代数式变形将待求式转化为含两根之和、两根之积的形式，避免了求解方程根的繁琐计算，要求熟练掌握韦达定理和常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.7
3.若关于$x$的方程$x^2 + (k - 2)x + k^2 = 0$的两个根互为倒数，则$k=$
-1
.答案
3. - 1
解析
【分析】解题时首先明确两个隐含条件：一是方程有两个根，说明是一元二次方程且判别式非负；二是两根互为倒数，说明两根乘积为1。先利用一元二次方程根与系数的关系，结合两根乘积为1列方程求出k的可能值，再代入判别式验证，舍去使方程无实根的k值即可得到正确结果。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实根，则判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，且两根之积为$\frac{c}{a}$。
已知方程两根互为倒数，因此两根乘积为1。
在方程$x^2 + (k - 2)x + k^2 = 0$中，$a=1$，$b=k-2$，$c=k^2$，根据根与系数的关系可得：
$k^2=1$
解得$k=1$或$k=-1$。
接下来代入判别式验证：
$\Delta=(k-2)^2-4×1× k^2=-3k^2-4k+4$
当$k=1$时，$\Delta=-3×1 -4×1 +4=-3＜0$，方程无实根，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=-3×1 -4×(-1)+4=5＞0$，方程有两个实根，符合题意。
综上，$k=-1$。
【答案】-1
【知识点】根与系数的关系；根的判别式；倒数的性质
【点评】本题的易错点是忽略方程有两个实根的前提，未验证判别式直接得到$k=\pm1$，解题时要注意对所求参数的合理性进行检验。
【难度系数】0.65
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实根，则判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，且两根之积为$\frac{c}{a}$。
已知方程两根互为倒数，因此两根乘积为1。
在方程$x^2 + (k - 2)x + k^2 = 0$中，$a=1$，$b=k-2$，$c=k^2$，根据根与系数的关系可得：
$k^2=1$
解得$k=1$或$k=-1$。
接下来代入判别式验证：
$\Delta=(k-2)^2-4×1× k^2=-3k^2-4k+4$
当$k=1$时，$\Delta=-3×1 -4×1 +4=-3＜0$，方程无实根，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=-3×1 -4×(-1)+4=5＞0$，方程有两个实根，符合题意。
综上，$k=-1$。
【答案】-1
【知识点】根与系数的关系；根的判别式；倒数的性质
【点评】本题的易错点是忽略方程有两个实根的前提，未验证判别式直接得到$k=\pm1$，解题时要注意对所求参数的合理性进行检验。
【难度系数】0.65
4.已知$x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根，且$(x_1+1)(x_2+1)=4$.
(1)求$k$的值；
(2)求$(x_1-x_2)^2$的值.
(1)求$k$的值；
(2)求$(x_1-x_2)^2$的值.
答案
4. (1) - 7;(2)65.
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：
1. 求解k值时，先将已知条件$(x_1+1)(x_2+1)=4$展开，得到含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子，再结合韦达定理用含k的代数式表示两根之和、两根之积，代入展开式即可得到关于k的方程，解出k后需验证判别式，确保方程有两个实根；
2. 求解$(x_1-x_2)^2$时，利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入第一问求得的k值对应的两根和、两根积即可计算出结果。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2+2kx+k-1=0$，其中$a=2$，$b=2k$，$c=k-1$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-k$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{k-1}{2}$
将$(x_1+1)(x_2+1)=4$展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 +1 =4$
把$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$代入上式：
$\frac{k-1}{2} -k +1 =4$
两边同乘2消去分母：
$k-1 -2k +2 =8$
合并同类项得：
$-k +1 =8$
解得$k=-7$
验证判别式：$\Delta =b^2-4ac=(2k)^2-4×2×(k-1)$，代入$k=-7$得：
$\Delta=(-14)^2 -8×(-8)=196+64=260＞0$，符合方程有两个实根的条件，故$k=-7$成立。
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
把$k=-7$代入得：$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=\frac{-7-1}{2}=-4$
代入上式得：
$(x_1-x_2)^2=7^2 -4×(-4)=49+16=65$
【答案】
(1)$-7$；(2)$65$
【知识点】
1. 根与系数关系
2. 完全平方公式
3. 根的判别式
【点评】
本题重点考查韦达定理的应用，解题核心是熟练掌握一元二次方程两根之和、两根之积与系数的关系，以及代数式的恒等变形，需注意求出参数后要验证判别式，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：
1. 求解k值时，先将已知条件$(x_1+1)(x_2+1)=4$展开，得到含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子，再结合韦达定理用含k的代数式表示两根之和、两根之积，代入展开式即可得到关于k的方程，解出k后需验证判别式，确保方程有两个实根；
2. 求解$(x_1-x_2)^2$时，利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入第一问求得的k值对应的两根和、两根积即可计算出结果。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2+2kx+k-1=0$，其中$a=2$，$b=2k$，$c=k-1$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-k$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{k-1}{2}$
将$(x_1+1)(x_2+1)=4$展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 +1 =4$
把$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$代入上式：
$\frac{k-1}{2} -k +1 =4$
两边同乘2消去分母：
$k-1 -2k +2 =8$
合并同类项得：
$-k +1 =8$
解得$k=-7$
验证判别式：$\Delta =b^2-4ac=(2k)^2-4×2×(k-1)$，代入$k=-7$得：
$\Delta=(-14)^2 -8×(-8)=196+64=260＞0$，符合方程有两个实根的条件，故$k=-7$成立。
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
把$k=-7$代入得：$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=\frac{-7-1}{2}=-4$
代入上式得：
$(x_1-x_2)^2=7^2 -4×(-4)=49+16=65$
【答案】
(1)$-7$；(2)$65$
【知识点】
1. 根与系数关系
2. 完全平方公式
3. 根的判别式
【点评】
本题重点考查韦达定理的应用，解题核心是熟练掌握一元二次方程两根之和、两根之积与系数的关系，以及代数式的恒等变形，需注意求出参数后要验证判别式，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
