登录
8. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，点E是边AB的中点，$DE ⊥ AC$，垂足为点G，则$\sin∠ ACE$的值是(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
A
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
答案
8. A 解析
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠DAE=∠CBE=90°,AD=BC,CD//AB,CD=AB.
∵点 E 是边 AB 的中点,
∴AE=BE,
∴△DAE≌△CBE(SAS),
∴DE=CE.
∵CD//AB,
∴△CDG∽△AEG,
∴AE/CD=EG/DG. 又
∵点 E 是边 AB 的中点,
∴AE/CD=EG/DG=1/2,
∴GE/DE=1/3,
∴GE/CE=1/3,即sin∠ACE=GE/CE=1/3,故选 A.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠DAE=∠CBE=90°,AD=BC,CD//AB,CD=AB.
∵点 E 是边 AB 的中点,
∴AE=BE,
∴△DAE≌△CBE(SAS),
∴DE=CE.
∵CD//AB,
∴△CDG∽△AEG,
∴AE/CD=EG/DG. 又
∵点 E 是边 AB 的中点,
∴AE/CD=EG/DG=1/2,
∴GE/DE=1/3,
∴GE/CE=1/3,即sin∠ACE=GE/CE=1/3,故选 A.
二、填空题(每题4分，共24分)
9. 已知α为锐角，且$\sinα=\frac{1}{3}$，则$\cos(90°-α)=$
9. 已知α为锐角，且$\sinα=\frac{1}{3}$，则$\cos(90°-α)=$
$\frac{1}{3}$
。答案
9. 1/3
10. 如图所示，$∠ AOB$ 是放置在正方形网格中的一个角，则 $\sin∠ AOB$ 的值是
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
10. √2/2
11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$∠ A=30°$，则$BC=$
$\frac{4}{3}\sqrt{3}$
.答案
11. 4/3 √3
12.如图，$∠ MON=60°$，以$O$为圆心，2为半径画弧，分别交射线$OM$，$ON$于$A$，$B$两点，再分别以$A$，$B$为圆心，3为半径画弧，两弧在$∠ MON$内部交于点$C$，作射线$OC$，连接$AC$，$BC$，则$\tan∠ ACO=$
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
.答案
12. √2/4 解析 如图,连接AB,交OC于点D.由题意得OA=OB=2,AC=BC=3,
∴OC垂直平分AB,
∴OC⊥AB,AD=1/2 AB.
∵∠MON=60°,OA=OB=2,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=2,
∴AD=1/2 AB=1,
∴CD=√(AC²-AD²)=√(3²-1²)=2√2,
∴tan∠ACO=AD/CD=1/(2√2)=√2/4.
13. 如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面 30 m 的点 P 处,测得教学楼底端点 A 的俯角为 $37°$,再将无人机沿教学楼方向水平飞行 26.6 m 至点 Q 处,测得教学楼顶端点 B 的俯角为 $45°$,则教学楼 AB 的高度约为
17
m.(精确到 1 m,参考数据:$\sin 37° \approx 0.60,\cos 37° \approx 0.80,\tan 37° \approx 0.75$)答案
13. 17 解析 如图,令 AB 的延长线与 PQ 的延长线交于点C,由题意,知 AC=30 m,PQ=26.6 m,∠APC=37°,∠BQC=45°. 在 Rt△APC 中,PC=AC/tan37°≈30/0.75=40(m),
∴QC=PC-PQ=40-26.6=13.4(m). 在 Rt△BQC 中,BC=QC=13.4 m,
∴AB=AC-BC=30-13.4=16.6≈17(m). 故答案为 17.
14. 如图，$△ AOD$和$△ COB$关于点$O$中心对称，$∠ AOD=60°$，$∠ ADO=90°$，$BD=12$，$P$是$AO$上一动点，$Q$是$OC$上一动点（点$P$，$Q$不与端点重合），且$AP=OQ$。连接$BQ$，$DP$，则$DP+BQ$的最小值是
12
。答案
14. 12 解析
∵△AOD 和△COB 关于点 O 中心对称,
∴BO=DO=6,AO=OC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠AOD=60°,∠ADO=90°,
∴∠DAO=30°,
∴AO=2DO=12.
∵AP=OQ,
∴PQ=AO=12. 如图,作 DK//AC,使得 DK=PQ=12,连接 BK 交 AC 于点 Q,此时 DP+BQ=KQ+BQ=BK 的值最小,作 BH⊥DK 于点 H,则 DH=6,BH=6√3.
∵DK=12,
∴KH=DK-DH=6,
∴BK=√(KH²+BH²)=√(36+108)=12,
∴DP+BQ 的最小值为 12.
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(共52分)
15.(6分)计算.
(1)$\sqrt{2}(2\cos45° - \sin60°) + \frac{\sqrt{24}}{4}$
(2)$\tan30°\sin60° - \sin^245°\tan45°$
15.(6分)计算.
(1)$\sqrt{2}(2\cos45° - \sin60°) + \frac{\sqrt{24}}{4}$
(2)$\tan30°\sin60° - \sin^245°\tan45°$
答案
15. 解:(1)原式=√2×(2×√2/2 - √3/2)+2√6/4=2.
(2)原式=√3/3 × √3/2 - (√2/2)² ×1=0.
(2)原式=√3/3 × √3/2 - (√2/2)² ×1=0.
