基础知识·预习
问题1 请你从几何直观的角度用图形的面积解释完全平方公式.
问题2 请你说一说完全平方公式的结构特征.

解：
1. 完全平方公式的几何面积解释：
① 对于和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
作边长为$a+b$的大正方形，将其分割为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形，以及2个长为$a$、宽为$b$的长方形。大正方形的总面积等于这四个部分的面积之和，因此可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
② 对于差的完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
作边长为$a$的大正方形，在它相邻的两条边上分别截去长度为$b$的部分，得到边长为$a-b$的小正方形。通过面积割补可得，该小正方形的面积等于边长为$a$的正方形面积减去2个长为$a$宽为$b$的长方形面积，再加上多减去的边长为$b$的小正方形面积，因此可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
2. 完全平方公式的结构特征：
① 公式左边是两个完全相同的二项式相乘，也就是两个数的和（或差）的平方；
② 公式右边是二次三项式：首尾两项分别是这两个数的平方，中间项是这两个数乘积的2倍，中间项的符号与左边二项式的运算符号一致，可简记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央”。

【典型例题 1】运用完全平方公式计算：
(1)$(4x - 5y)^2$；
(2)$(-3a + 2)^2$；
(3)$(-2a - b)^2$。
思路导引 运用完全平方公式进行计算时，先确定好公式中的$a$与$b$及运算符号，然后再套公式进行计算。注意：$(-a - b)^2$与$(a + b)^2$相等；$(b - a)^2$与$(a - b)^2$相等。
【解】(1)原式$=(4x)^2 - 2 · 4x · 5y + (5y)^2 = 16x^2 - 40xy + 25y^2$。
(2)原式$=(-3a)^2 + 2 · (-3a) · 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$。
(3)$(-2a - b)^2 = (2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 · 2a · b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$。
规律方法 完全平方公式的结构特征：等式左边是$a$，$b$两数和(或差)的平方，右边为三项之和，即“首平方、尾平方、2倍乘积在中央，符号确定看前方”。

解：
(1) 原式$=(4x)^2 - 2· 4x· 5y + (5y)^2$
$=16x^2 - 40xy + 25y^2$
(2) 原式$=(-3a)^2 + 2· (-3a)· 2 + 2^2$
$=9a^2 - 12a + 4$
(3) 原式$=(2a + b)^2$
$=(2a)^2 + 2· 2a· b + b^2$
$=4a^2 + 4ab + b^2$

1. 下列计算正确的是 （）

A.$(m-n)^2 = m^2 - n^2$
B.$(m-n)(m+n) = m^2 + n^2$
C.$(m - \frac{1}{2})^2 = m^2 - m + \frac{1}{4}$
D.$(m+n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

1.C 【解析】$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2,(m-n)(m+n)=m^2-n^2,(m-\frac{1}{2})^2=m^2-m+\frac{1}{4},(m+n)^2=m^2+2mn+n^2,$只有选项C正确.