知识点一 运用平方差公式分解因式
把整式乘法的平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$ 的等号两边互换，就得到 $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即两个数的 ，等于这两个数的和与这两个数的差的 。

解：
第一空：平方差
第二空：积

例1 分解因式：$(2n+3)^2 -1.$
解 $(2n+3)^2 -1 = (2n+3+1)(2n+3-1) = (2n+4)·(2n+2) = 4(n+2)(n+1).$

解：
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=2n+3$，$b=1$，则
$\begin{aligned}(2n+3)^2 - 1&=(2n+3+1)(2n+3-1)\\&=(2n+4)(2n+2)\\&=2(n+2)· 2(n+1)\\&=4(n+2)(n+1)\end{aligned}$

知识点二 运用完全平方公式分解因式
1. 把整式乘法的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的等号两边互换，就得到$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
即两个数的加上（或减去）这两个数的积的，等于这两个数的和（或差）的。
2. 运用公式把多项式分解因式的方法叫作。
3. 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再为止。

解：
1. 平方和；2倍；平方
2. 公式法
3. 分解

例2 如果多项式$x^2 +1$加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么加上的单项式不可以是 （）

A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
解析 $x^2 +2x +1=(x+1)^2$，A项不符合题意. $x^2 -2x +1=(x-1)^2$，B项不符合题意. $\frac{1}{4}x^4 +x^2 +1=(\frac{1}{2}x^2 +1)^2$，C项不符合题意. $x^2 +1$加上$-\frac{1}{4}x^4$，无法构成完全平方式，D项符合题意.
答案 D
例3 分解因式：$(x+y)^2 -6(x+y -1)+3$.
解 原式$=(x+y)^2 -6(x+y)+9=(x+y -3)^2$.

例2.D 例3.$(x+y-3)^2$

例2：根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$逐一验证选项：
1. 加上$2x$后，式子为$x^2+2x+1=(x+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解；
2. 加上$-2x$后，式子为$x^2-2x+1=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解；
3. 加上$\frac{1}{4}x^4$后，式子为$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解；
4. 加上$-\frac{1}{4}x^4$后，式子为$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，不符合完全平方公式的结构，无法用完全平方公式因式分解。
例3：先对原式变形，展开括号得原式$=(x+y)^2-6(x+y)+6+3=(x+y)^2-6(x+y)+9$，将$x+y$看作整体，套用完全平方公式可得结果。