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1. 在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是 （）
A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 - 16m$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 16$
A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 - 16m$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 16$
答案
D
解析
平方差公式分解因式要求多项式满足：为两项，两项均为平方形式，且符号相反。
1. 选项A：$a^2 + b^2$是两项的和，符号均为正，不符合特征；
2. 选项B：$4m^2 - 16m$的第二项是一次项，不是平方项，不符合特征；
3. 选项C：$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，两项符号均为负，是和的形式，不符合特征；
4. 选项D：$-x^2 + 16 = 4^2 - x^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4+x)(4-x)$。
1. 选项A：$a^2 + b^2$是两项的和，符号均为正，不符合特征；
2. 选项B：$4m^2 - 16m$的第二项是一次项，不是平方项，不符合特征；
3. 选项C：$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，两项符号均为负，是和的形式，不符合特征；
4. 选项D：$-x^2 + 16 = 4^2 - x^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4+x)(4-x)$。
2. 已知$m + n = 2$，则$m^2 - n^2 + 4n$的值是（）
A.2
B.6
C.4
D.8
A.2
B.6
C.4
D.8
答案
C
解析
利用平方差公式对原式因式分解：$m^2 - n^2 + 4n=(m-n)(m+n)+4n$，将已知条件$m+n=2$代入式子，得$2(m-n)+4n=2m-2n+4n=2m+2n=2(m+n)$，再将$m+n=2$代入$2(m+n)$，计算得$2×2=4$。
3. 对于任何整数 $ a \ (a ≠ 0) $，多项式 $ (3a + 5)^2 - 4 $ 都能 （）
A.被9整除
B.被 $ a $ 整除
C.被3整除
D.被 $ a - 1 $ 整除
A.被9整除
B.被 $ a $ 整除
C.被3整除
D.被 $ a - 1 $ 整除
答案
C
解析
先利用平方差公式对多项式因式分解：
$(3a+5)^2 -4=(3a+5+2)(3a+5-2)=(3a+7)(3a+3)=3(a+1)(3a+7)$
可见多项式恒含有因数3，因此对任意非零整数a，该式都能被3整除。
验证其余选项：取a=1，原式=60，60不能被9整除，排除A；取a=2，原式=117，117不能被2整除，排除B；取a=10，原式=1221，a-1=9，1221不能被9整除，排除D。
$(3a+5)^2 -4=(3a+5+2)(3a+5-2)=(3a+7)(3a+3)=3(a+1)(3a+7)$
可见多项式恒含有因数3，因此对任意非零整数a，该式都能被3整除。
验证其余选项：取a=1，原式=60，60不能被9整除，排除A；取a=2，原式=117，117不能被2整除，排除B；取a=10，原式=1221，a-1=9，1221不能被9整除，排除D。
4. 分解因式：(1) $(x-1)^2 -9$；
(2) $16(a-b)^2 -9(a+b)^2$。
(2) $16(a-b)^2 -9(a+b)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(x-1)^2 - 3^2$
$=(x-1+3)(x-1-3)$
$=(x+2)(x-4)$
(2) 原式$=[4(a-b)]^2 - [3(a+b)]^2$
$=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]$
$=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)$
$=(7a - b)(a - 7b)$
(1) 原式$=(x-1)^2 - 3^2$
$=(x-1+3)(x-1-3)$
$=(x+2)(x-4)$
(2) 原式$=[4(a-b)]^2 - [3(a+b)]^2$
$=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]$
$=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)$
$=(7a - b)(a - 7b)$
5. 已知 $ x - y = 3 $，$ y - z = 3 $，$ x + z = 14 $，求 $ x^2 - z^2 $ 的值。
答案
解：
∵ $x - y = 3$，$y - z = 3$，
两式相加得：$(x - y) + (y - z) = 3 + 3$，
化简得 $x - z = 6$。
由平方差公式可得：
$x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)$，
将$x - z = 6$，$x + z = 14$代入上式，
得$x^2 - z^2 = 6 × 14 = 84$。
∵ $x - y = 3$，$y - z = 3$，
两式相加得：$(x - y) + (y - z) = 3 + 3$，
化简得 $x - z = 6$。
由平方差公式可得：
$x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)$，
将$x - z = 6$，$x + z = 14$代入上式，
得$x^2 - z^2 = 6 × 14 = 84$。
6. 在下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A.$x^2+2x-1$
B.$x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$
C.$x^2+2x+4$
D.$x^2-6x+9$
A.$x^2+2x-1$
B.$x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$
C.$x^2+2x+4$
D.$x^2-6x+9$
答案
D
解析
完全平方公式因式分解的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需满足首项为平方项、尾项为平方项，中间项为首尾两项乘积的2倍，据此逐一判断：
A选项：常数项为-1，不是非负平方数，不符合完全平方公式结构；
B选项：若首项为$x^2$，尾项为$(\frac{1}{2})^2$，则中间项应为$2· x·\frac{1}{2}=x$，与给出的中间项$\frac{1}{4}x$不符，不符合要求；
C选项：若首项为$x^2$，尾项为$2^2$，则中间项应为$2· x·2=4x$，与给出的中间项$2x$不符，不符合要求；
D选项：$x^2-6x+9=x^2-2· x·3+3^2$，符合完全平方差公式，可分解为$(x-3)^2$，符合要求。
A选项：常数项为-1，不是非负平方数，不符合完全平方公式结构；
B选项：若首项为$x^2$，尾项为$(\frac{1}{2})^2$，则中间项应为$2· x·\frac{1}{2}=x$，与给出的中间项$\frac{1}{4}x$不符，不符合要求；
C选项：若首项为$x^2$，尾项为$2^2$，则中间项应为$2· x·2=4x$，与给出的中间项$2x$不符，不符合要求；
D选项：$x^2-6x+9=x^2-2· x·3+3^2$，符合完全平方差公式，可分解为$(x-3)^2$，符合要求。
7. 小明运用完全平方公式对“$x^2$ 
$+4y^2$”进行因式分解时，墨迹将其中的一项染黑了，已知最后结果为$(x+2y)^2$，则墨迹覆盖的这一部分是（）
A.$+4xy$
B.$+2xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
$+4y^2$”进行因式分解时，墨迹将其中的一项染黑了，已知最后结果为$(x+2y)^2$，则墨迹覆盖的这一部分是（）A.$+4xy$
B.$+2xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
答案
A
解析
根据完全平方公式展开已知的因式分解结果：$(x+2y)^2=x^2+2· x·2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，对比原式$x^2■+4y^2$，可得墨迹覆盖的部分是$+4xy$。
8. 分解因式：
(1) $(a-b)^2 - 2(a-b)b + b^2$；
(2) $(x+y)^2 - 4xy$。
(1) $(a-b)^2 - 2(a-b)b + b^2$；
(2) $(x+y)^2 - 4xy$。
答案
解：
(1) 原式$=[(a-b)-b]^2$
$=(a-2b)^2$
(2) 原式$=x^2 + 2xy + y^2 - 4xy$
$=x^2 - 2xy + y^2$
$=(x-y)^2$
(1) 原式$=[(a-b)-b]^2$
$=(a-2b)^2$
(2) 原式$=x^2 + 2xy + y^2 - 4xy$
$=x^2 - 2xy + y^2$
$=(x-y)^2$
9. 利用因式分解计算：
(1) $224^2 - 222^2$；
(2) $99^2 + 202 × 99 + 101^2$。
(1) $224^2 - 222^2$；
(2) $99^2 + 202 × 99 + 101^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(224+222)(224-222)$
$=446×2$
$=892$
(2) 原式$=99^2 + 2×101×99 + 101^2$
$=(99+101)^2$
$=200^2$
$=40000$
(1) 原式$=(224+222)(224-222)$
$=446×2$
$=892$
(2) 原式$=99^2 + 2×101×99 + 101^2$
$=(99+101)^2$
$=200^2$
$=40000$
