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3.如图,请作出$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转$60°$后得到的图形.
答案
3. 【解】如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
解析
【分析】
要作出△ABC绕点O顺时针旋转60°后的图形，只需先确定△ABC三个顶点旋转后的对应点即可。根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，且本题旋转方向为顺时针、旋转角为60°，我们可先找到A、B、C三点旋转后的对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点，即可得到旋转后的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接OA、OB、OC；
2. 分别以点O为顶点，OA、OB、OC为一边，沿顺时针方向作∠AOA₁=60°，∠BOB₁=60°，∠COC₁=60°；
3. 分别在射线OA₁、OB₁、OC₁上截取线段OA₁=OA，OB₁=OB，OC₁=OC；
4. 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求图形。
【答案】
如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
【知识点】
旋转的性质，旋转变换作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），准确找到各顶点的对应点，作图时要注意角度、距离的准确性。
【难度系数】
0.8
要作出△ABC绕点O顺时针旋转60°后的图形，只需先确定△ABC三个顶点旋转后的对应点即可。根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，且本题旋转方向为顺时针、旋转角为60°，我们可先找到A、B、C三点旋转后的对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点，即可得到旋转后的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接OA、OB、OC；
2. 分别以点O为顶点，OA、OB、OC为一边，沿顺时针方向作∠AOA₁=60°，∠BOB₁=60°，∠COC₁=60°；
3. 分别在射线OA₁、OB₁、OC₁上截取线段OA₁=OA，OB₁=OB，OC₁=OC；
4. 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求图形。
【答案】
如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
【知识点】
旋转的性质，旋转变换作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），准确找到各顶点的对应点，作图时要注意角度、距离的准确性。
【难度系数】
0.8
【典型例题3】下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （）
A
B
C D
【解析】A选项中的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；B选项中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C，D选项中的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意。故选B。
【答案】B
A
B
C D
【解析】A选项中的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；B选项中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C，D选项中的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意。故选B。
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的判定标准：轴对称图形需存在一条直线，沿直线折叠后图形两部分能完全重合；中心对称图形需绕中心点旋转180°后，旋转得到的图形与原图形完全重合。接下来按照这两个标准逐一验证四个选项：先判断每个选项是否满足轴对称的要求，再判断是否满足中心对称的要求，最终筛选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
根据定义判断：
1. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某点旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合。
2. 分析各选项：
A选项：绕中心旋转180°后与原图重合，是中心对称图形，但不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B选项：沿水平或竖直中线折叠，直线两旁部分完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形，符合题意；
C选项：沿对角线折叠可重合，是轴对称图形，但旋转180°后与原图不一致，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：沿竖直中线折叠可重合，是轴对称图形，但旋转180°后与原图不一致，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形判定、中心对称图形判定
【点评】
本题是图形对称性判定的基础题型，核心考查对两种对称图形概念的掌握程度，解题时只需紧扣定义逐一排查即可，注意不要混淆两种对称的判断方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的判定标准：轴对称图形需存在一条直线，沿直线折叠后图形两部分能完全重合；中心对称图形需绕中心点旋转180°后，旋转得到的图形与原图形完全重合。接下来按照这两个标准逐一验证四个选项：先判断每个选项是否满足轴对称的要求，再判断是否满足中心对称的要求，最终筛选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
根据定义判断：
1. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某点旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合。
2. 分析各选项：
A选项：绕中心旋转180°后与原图重合，是中心对称图形，但不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B选项：沿水平或竖直中线折叠，直线两旁部分完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形，符合题意；
C选项：沿对角线折叠可重合，是轴对称图形，但旋转180°后与原图不一致，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：沿竖直中线折叠可重合，是轴对称图形，但旋转180°后与原图不一致，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形判定、中心对称图形判定
【点评】
本题是图形对称性判定的基础题型，核心考查对两种对称图形概念的掌握程度，解题时只需紧扣定义逐一排查即可，注意不要混淆两种对称的判断方法。
【难度系数】
0.8
4.已知点A(2,y)与点B(x,−4)关于原点对称，则xy的立方根是
$-2$
。答案
4. $-2$
解析
【分析】
解题时先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以根据这个性质先求出x、y的值，再计算xy的乘积，最后求出该乘积的立方根即可得到结果。
【解析】
∵ 点A(2,y)与点B(x,−4)关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：两点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ x = -2，y = 4，
∴ xy = (-2)×4 = -8，
∵ (-2)³ = -8，
∴ -8的立方根是-2，即xy的立方根为-2。
【答案】
-2
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；立方根的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，牢记原点对称的坐标规律和立方根的定义即可快速解题，运算量小，易错点为混淆对称点的坐标规律或者符号计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以根据这个性质先求出x、y的值，再计算xy的乘积，最后求出该乘积的立方根即可得到结果。
【解析】
∵ 点A(2,y)与点B(x,−4)关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：两点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ x = -2，y = 4，
∴ xy = (-2)×4 = -8，
∵ (-2)³ = -8，
∴ -8的立方根是-2，即xy的立方根为-2。
【答案】
-2
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；立方根的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，牢记原点对称的坐标规律和立方根的定义即可快速解题，运算量小，易错点为混淆对称点的坐标规律或者符号计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 如图，等边三角形ABC的边长为6，O为BC的中点，△BPQ与△BAO关于点B对称，连接CP，则△QCP的面积为
$\frac{27\sqrt{3}}{2}$
。答案
5. $\frac{27\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形条件入手：①先利用等边三角形的性质求出BC的长度、BC边上的高AO的长度，以及O点分BC的线段长度；②再根据中心对称的性质，得到△BPQ和△BAO的对应边、对应角的关系，确定△QCP是直角三角形，同时得到两条直角边的长度；③最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵等边三角形ABC的边长为6，O为BC的中点
∴$BC=6$，$BO=OC=\frac{1}{2}BC=3$，$AO⊥ BC$
由勾股定理得等边三角形的高$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，$∠ AOB=90°$
∵$△ BPQ$与$△ BAO$关于点B对称
∴$△ BPQ≌△ BAO$
∴$BQ=BO=3$，$PQ=AO=3\sqrt{3}$，$∠ Q=∠ AOB=90°$，即$PQ⊥ QC$
∴$QC=BQ+BC=3+6=9$
∴$S_{△ QCP}=\frac{1}{2}× QC× PQ=\frac{1}{2}×9×3\sqrt{3}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质，中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将等边三角形、中心对称和面积计算结合考查，解题核心是通过对称性质转化得到所求三角形的边长和垂直关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形条件入手：①先利用等边三角形的性质求出BC的长度、BC边上的高AO的长度，以及O点分BC的线段长度；②再根据中心对称的性质，得到△BPQ和△BAO的对应边、对应角的关系，确定△QCP是直角三角形，同时得到两条直角边的长度；③最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵等边三角形ABC的边长为6，O为BC的中点
∴$BC=6$，$BO=OC=\frac{1}{2}BC=3$，$AO⊥ BC$
由勾股定理得等边三角形的高$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，$∠ AOB=90°$
∵$△ BPQ$与$△ BAO$关于点B对称
∴$△ BPQ≌△ BAO$
∴$BQ=BO=3$，$PQ=AO=3\sqrt{3}$，$∠ Q=∠ AOB=90°$，即$PQ⊥ QC$
∴$QC=BQ+BC=3+6=9$
∴$S_{△ QCP}=\frac{1}{2}× QC× PQ=\frac{1}{2}×9×3\sqrt{3}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质，中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将等边三角形、中心对称和面积计算结合考查，解题核心是通过对称性质转化得到所求三角形的边长和垂直关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
观察图形,运用所学知识解答问题.
(1)如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且$PA=2$,$PB=\sqrt{3}$,$PC=1$.把$△ BPC$绕点B逆时针旋转$60°$,得到$△ BP'A$,连接$PP'$,求$∠ BPC$的度数和$PP'$的长.
(2)如图2,在等腰直角三角形ABC内有一点P,且$∠ ABC=90°$,$PA=6$,$PB=4$,$PC=2$,求$∠ BPC$的度数.
(1)如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且$PA=2$,$PB=\sqrt{3}$,$PC=1$.把$△ BPC$绕点B逆时针旋转$60°$,得到$△ BP'A$,连接$PP'$,求$∠ BPC$的度数和$PP'$的长.
(2)如图2,在等腰直角三角形ABC内有一点P,且$∠ ABC=90°$,$PA=6$,$PB=4$,$PC=2$,求$∠ BPC$的度数.
答案
1. 解:
∵把△BPC绕点B逆时针旋转60°,得到△BP'A,
∴P'A=PC=1,P'B=PB=√3,∠PBP'=60°.
∴△PBP'是等边三角形.
∴PP'=PB=√3,∠BP'P=60°.
∵P'A²+PP'²=1²+(√3)²=4,PA²=2²=4.
∴P'A²+PP'²=PA².
∴△AP'P是直角三角形,且∠AP'P=90°.
∴∠BPC=∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=150°.
故∠BPC的度数是150°,PP'的长是√3.
2. 解:如图,把△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP'.
根据旋转的性质,得P'B=PB=4,P'A=PC=2,∠P'BP=90°.
∴△PBP'是等腰直角三角形,∠BP'P=∠BPP'=45°.
在Rt△PBP'中,PP' = √(P'B²+PB²) = √(4²+4²)=4√2.
∵PP'²+P'A²=(4√2)²+2²=36,PA²=6²=36.
∴PP'²+P'A²=PA².
∴△AP'P是直角三角形,且∠AP'P=90°.
∴∠BPC=∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=135°.
故∠BPC的度数是135°.
解析
【分析】
本题考查旋转法在几何角度求解中的应用，解题思路如下：
(1) 等边三角形背景下，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，利用旋转性质得到相等的边与角，先判定△PBP'为等边三角形，求得PP'的长度和∠BP'P的度数，再通过勾股定理逆定理判断△AP'P为直角三角形，合并两个角的度数即可得到∠BPC的度数；
(2) 等腰直角三角形背景下，类比第一问的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，构造等腰直角△PBP'，再用勾股定理逆定理判定△AP'P为直角三角形，合并角度即可求出∠BPC的度数。
【解析】
(1)
∵把△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，
∴P'A=PC=1，P'B=PB=√3，∠PBP'=60°，
∴△PBP'是等边三角形，
∴PP'=PB=√3，∠BP'P=60°，
∵P'A²+PP'²=1²+(√3)²=4，PA²=2²=4，
∴P'A²+PP'²=PA²，
∴△AP'P是直角三角形，且∠AP'P=90°，
∴∠BPC=∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=60°+90°=150°。
(2) 如图，把△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'。
根据旋转的性质，得P'B=PB=4，P'A=PC=2，∠P'BP=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'P=45°，
在Rt△PBP'中，PP' = √(P'B²+PB²) = √(4²+4²)=4√2，
∵PP'²+P'A²=(4√2)²+2²=36，PA²=6²=36，
∴PP'²+P'A²=PA²，
∴△AP'P是直角三角形，且∠AP'P=90°，
∴∠BPC=∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=45°+90°=135°。
【答案】
(1) ∠BPC的度数为150°，PP'的长为√3；
(2) ∠BPC的度数为135°，辅助线如下图：
【知识点】
旋转的性质；勾股定理的逆定理；特殊三角形的判定与性质
【点评】
本题属于旋转的典型应用题型，核心是通过旋转将分散的线段条件集中，把未知角度转化为已知特殊角的和，体现了几何中的转化思想，熟练掌握旋转性质和特殊三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
本题考查旋转法在几何角度求解中的应用，解题思路如下：
(1) 等边三角形背景下，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，利用旋转性质得到相等的边与角，先判定△PBP'为等边三角形，求得PP'的长度和∠BP'P的度数，再通过勾股定理逆定理判断△AP'P为直角三角形，合并两个角的度数即可得到∠BPC的度数；
(2) 等腰直角三角形背景下，类比第一问的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，构造等腰直角△PBP'，再用勾股定理逆定理判定△AP'P为直角三角形，合并角度即可求出∠BPC的度数。
【解析】
(1)
∵把△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，
∴P'A=PC=1，P'B=PB=√3，∠PBP'=60°，
∴△PBP'是等边三角形，
∴PP'=PB=√3，∠BP'P=60°，
∵P'A²+PP'²=1²+(√3)²=4，PA²=2²=4，
∴P'A²+PP'²=PA²，
∴△AP'P是直角三角形，且∠AP'P=90°，
∴∠BPC=∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=60°+90°=150°。
(2) 如图，把△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'。
根据旋转的性质，得P'B=PB=4，P'A=PC=2，∠P'BP=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'P=45°，
在Rt△PBP'中，PP' = √(P'B²+PB²) = √(4²+4²)=4√2，
∵PP'²+P'A²=(4√2)²+2²=36，PA²=6²=36，
∴PP'²+P'A²=PA²，
∴△AP'P是直角三角形，且∠AP'P=90°，
∴∠BPC=∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=45°+90°=135°。
【答案】
(1) ∠BPC的度数为150°，PP'的长为√3；
(2) ∠BPC的度数为135°，辅助线如下图：
【知识点】
旋转的性质；勾股定理的逆定理；特殊三角形的判定与性质
【点评】
本题属于旋转的典型应用题型，核心是通过旋转将分散的线段条件集中，把未知角度转化为已知特殊角的和，体现了几何中的转化思想，熟练掌握旋转性质和特殊三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
