登录
1. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6，将△ABC绕点A逆时针旋转15°，得到△AB'C'，B'C'与AC相交于点D，则图中阴影部分的面积为
$6\sqrt{3}$
。答案
1. $6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质得到对应边、对应角的相等关系，再结合等腰直角三角形的内角特征，求出阴影部分所在直角三角形的锐角度数，最后利用特殊角的三角函数值求出未知直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可。具体思路：1. 先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC的度数和AB的长度；2. 结合旋转角的度数，求出阴影三角形的锐角∠B'AD的大小；3. 确定阴影部分为直角三角形，已知一条直角边长度，用三角函数求出另一条直角边；4. 代入面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=6，
∴∠B=90°，∠BAC=45°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，
∴由旋转的性质可得：AB'=AB=6，∠AB'D=∠B=90°，旋转角∠BAB'=15°，
∴∠B'AD=∠BAC - ∠BAB' = 45° - 15° = 30°，
在Rt△AB'D中，$\tan∠ B'AD=\frac{B'D}{AB'}$，
∴$B'D=AB'·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积$S_{阴影}=\frac{1}{2}× AB'× B'D=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是利用旋转的不变性得到边和角的对应关系，再结合特殊角的三角函数值求出线段长度，进而求得阴影面积，熟练掌握旋转的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质得到对应边、对应角的相等关系，再结合等腰直角三角形的内角特征，求出阴影部分所在直角三角形的锐角度数，最后利用特殊角的三角函数值求出未知直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可。具体思路：1. 先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC的度数和AB的长度；2. 结合旋转角的度数，求出阴影三角形的锐角∠B'AD的大小；3. 确定阴影部分为直角三角形，已知一条直角边长度，用三角函数求出另一条直角边；4. 代入面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=6，
∴∠B=90°，∠BAC=45°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，
∴由旋转的性质可得：AB'=AB=6，∠AB'D=∠B=90°，旋转角∠BAB'=15°，
∴∠B'AD=∠BAC - ∠BAB' = 45° - 15° = 30°，
在Rt△AB'D中，$\tan∠ B'AD=\frac{B'D}{AB'}$，
∴$B'D=AB'·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积$S_{阴影}=\frac{1}{2}× AB'× B'D=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是利用旋转的不变性得到边和角的对应关系，再结合特殊角的三角函数值求出线段长度，进而求得阴影面积，熟练掌握旋转的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 在$△ ABC$中，已知$AB=AC$，$D$是$BC$边上的动点，连接$AD$，设$∠ BAC$的度数为$n$，将$AD$绕点$A$逆时针旋转$n$，得到$AE$，连接$DE$，$CE$.
(1)如图1，当$n=60°$时，$∠ AED$的度数为________.
(2)如图2，当$n=90°$时，求证：$BD^2 + CD^2 = 2AD^2$.
(1)如图1，当$n=60°$时，$∠ AED$的度数为________.
(2)如图2，当$n=90°$时，求证：$BD^2 + CD^2 = 2AD^2$.
答案
2. 【解】(1) $60°$
(2) 证明: $\because AB=AC$, 将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$, 得到 $AE$,
$\therefore AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=90°$.
$\therefore △ ABC$ 和 $△ ADE$ 都是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°$.
$\because ∠ BAD+∠ DAC=90°,∠ CAE+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore CE=BD,∠ ACE=∠ ABD=45°$.
$\therefore ∠ DCE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中, 根据勾股定理, 得 $CD^2 + CE^2=DE^2$.
$\therefore CD^2+BD^2=DE^2$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, 根据勾股定理, 得 $AD^2 + AE^2=DE^2$.
又 $AD=AE$,
$\therefore AD^2+AD^2=DE^2$, 即 $2AD^2=DE^2$.
$\therefore BD^2+CD^2=2AD^2$.
(2) 证明: $\because AB=AC$, 将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$, 得到 $AE$,
$\therefore AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=90°$.
$\therefore △ ABC$ 和 $△ ADE$ 都是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°$.
$\because ∠ BAD+∠ DAC=90°,∠ CAE+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore CE=BD,∠ ACE=∠ ABD=45°$.
$\therefore ∠ DCE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中, 根据勾股定理, 得 $CD^2 + CE^2=DE^2$.
$\therefore CD^2+BD^2=DE^2$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, 根据勾股定理, 得 $AD^2 + AE^2=DE^2$.
又 $AD=AE$,
$\therefore AD^2+AD^2=DE^2$, 即 $2AD^2=DE^2$.
$\therefore BD^2+CD^2=2AD^2$.
解析
【分析】
(1) 当n=60°时，已知AB=AC且顶角∠BAC=60°，可判断△ABC为等边三角形；再结合旋转的性质，可得AD=AE、旋转角∠DAE=∠BAC=60°，因此△ADE也是等边三角形，根据等边三角形内角为60°即可求出∠AED的度数。
(2) 要证明BD²+CD²=2AD²，可结合勾股定理的结构思考：首先由旋转性质得AD=AE、∠DAE=90°，因此等腰直角△ADE中DE²=2AD²，只需证BD²+CD²=DE²即可；通过证明△BAD≌△CAE将BD转化为CE，再推导∠DCE=90°，在Rt△DCE中利用勾股定理即可得到CD²+CE²=DE²，代换后即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，∠BAC=n=60°，
∴△ABC是等边三角形，
由旋转的性质可知：AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°。
(2) 证明: $\because AB=AC$, 将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$, 得到 $AE$,
$\therefore AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=90°$.
$\therefore △ ABC$ 和 $△ ADE$ 都是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°$.
$\because ∠ BAD+∠ DAC=90°,∠ CAE+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore CE=BD,∠ ACE=∠ ABD=45°$.
$\therefore ∠ DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中, 根据勾股定理, 得 $CD^2 + CE^2=DE^2$.
$\therefore CD^2+BD^2=DE^2$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, 根据勾股定理, 得 $AD^2 + AE^2=DE^2$.
又 $AD=AE$,
$\therefore AD^2+AD^2=DE^2$, 即 $2AD^2=DE^2$.
$\therefore BD^2+CD^2=2AD^2$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $BD^2 + CD^2 = 2AD^2$成立，证明如上。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心考查旋转与全等、勾股定理的结合运用，解题关键是通过旋转的性质构造全等三角形，实现线段的等量转移，把分散的线段集中到直角三角形中利用勾股定理建立等量关系，是几何证明的常见考法。
【难度系数】
0.65
(1) 当n=60°时，已知AB=AC且顶角∠BAC=60°，可判断△ABC为等边三角形；再结合旋转的性质，可得AD=AE、旋转角∠DAE=∠BAC=60°，因此△ADE也是等边三角形，根据等边三角形内角为60°即可求出∠AED的度数。
(2) 要证明BD²+CD²=2AD²，可结合勾股定理的结构思考：首先由旋转性质得AD=AE、∠DAE=90°，因此等腰直角△ADE中DE²=2AD²，只需证BD²+CD²=DE²即可；通过证明△BAD≌△CAE将BD转化为CE，再推导∠DCE=90°，在Rt△DCE中利用勾股定理即可得到CD²+CE²=DE²，代换后即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，∠BAC=n=60°，
∴△ABC是等边三角形，
由旋转的性质可知：AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°。
(2) 证明: $\because AB=AC$, 将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$, 得到 $AE$,
$\therefore AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=90°$.
$\therefore △ ABC$ 和 $△ ADE$ 都是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°$.
$\because ∠ BAD+∠ DAC=90°,∠ CAE+∠ DAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore CE=BD,∠ ACE=∠ ABD=45°$.
$\therefore ∠ DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中, 根据勾股定理, 得 $CD^2 + CE^2=DE^2$.
$\therefore CD^2+BD^2=DE^2$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, 根据勾股定理, 得 $AD^2 + AE^2=DE^2$.
又 $AD=AE$,
$\therefore AD^2+AD^2=DE^2$, 即 $2AD^2=DE^2$.
$\therefore BD^2+CD^2=2AD^2$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $BD^2 + CD^2 = 2AD^2$成立，证明如上。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心考查旋转与全等、勾股定理的结合运用，解题关键是通过旋转的性质构造全等三角形，实现线段的等量转移，把分散的线段集中到直角三角形中利用勾股定理建立等量关系，是几何证明的常见考法。
【难度系数】
0.65
【典型例题2】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点均在格点上,在方格纸中建立平面直角坐标系后,点C的坐标为(4,-1).
(1)作出与△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁.
(2)把△ABC绕点C顺时针旋转90°,得到△A₂B₂C,画出△A₂B₂C.
(3)若把△A₂B₂C绕点D顺时针旋转一定的角度,得到△A₁B₁C₁,请确定点D的坐标以及旋转角的度数.
【解】(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C即为所求.
(3)如图,连接A₁A₂,C₁C,分别作线段A₁A₂,C₁C的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点D,则由图可知,将△A₂B₂C绕点D顺时针旋转90°,得到△A₁B₁C₁.
故点D的坐标为(1,4),旋转角的度数为90°.
规律方法 旋转作图时要抓住旋转的三要素:旋转中心、旋转方向和旋转角.
(1)作出与△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁.
(2)把△ABC绕点C顺时针旋转90°,得到△A₂B₂C,画出△A₂B₂C.
(3)若把△A₂B₂C绕点D顺时针旋转一定的角度,得到△A₁B₁C₁,请确定点D的坐标以及旋转角的度数.
【解】(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C即为所求.
(3)如图,连接A₁A₂,C₁C,分别作线段A₁A₂,C₁C的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点D,则由图可知,将△A₂B₂C绕点D顺时针旋转90°,得到△A₁B₁C₁.
故点D的坐标为(1,4),旋转角的度数为90°.
规律方法 旋转作图时要抓住旋转的三要素:旋转中心、旋转方向和旋转角.
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于原点对称的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 分别将点A、B绕点C顺时针旋转$90°$得到对应点$A_2$、$B_2$，顺次连接$A_2B_2$、$B_2C$、$CA_2$，$△ A_2B_2C$即为所求。
(3) 连接$A_1A_2$、$C_1C$，分别作线段$A_1A_2$、$C_1C$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心D。
可得点D的坐标为$(1,4)$，旋转角的度数为$90°$。
(1) 分别作出点A、B、C关于原点对称的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 分别将点A、B绕点C顺时针旋转$90°$得到对应点$A_2$、$B_2$，顺次连接$A_2B_2$、$B_2C$、$CA_2$，$△ A_2B_2C$即为所求。
(3) 连接$A_1A_2$、$C_1C$，分别作线段$A_1A_2$、$C_1C$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心D。
可得点D的坐标为$(1,4)$，旋转角的度数为$90°$。
解析
【分析】
(1) 作关于原点对称的三角形时，依据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的性质，先确定△ABC三个顶点的坐标，求出对应对称点坐标后描点，顺次连接即可得到目标图形。(2) 绕点C顺时针旋转90°作三角形时，根据旋转的性质，各点旋转中心均为C、旋转角为90°，结合网格的边长特征找到A、B旋转后的对应点A₂、B₂，再与点C顺次连接。(3) 确定旋转中心时，利用“旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点”的性质，选取A₁和A₂、C₁和C两组对应点，分别作连线的垂直平分线，交点即为旋转中心D，再观察对应点与D连线的夹角即可得到旋转角度。
【解析】
(1) 分别作出点A、B、C关于原点对称的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 分别将点A、B绕点C顺时针旋转$90°$得到对应点$A_2$、$B_2$，顺次连接$A_2B_2$、$B_2C$、$CA_2$，$△ A_2B_2C$即为所求。
(3) 连接$A_1A_2$、$C_1C$，分别作线段$A_1A_2$、$C_1C$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心D。可得点D的坐标为$(1,4)$，旋转角的度数为$90°$。
【答案】
(1) 所作△A₁B₁C₁见解析；
(2) 所作△A₂B₂C见解析；
(3) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$，旋转角的度数为$\boldsymbol{90°}$。
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，旋转作图，旋转中心的确定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的对称变换与旋转变换，核心是熟练掌握对称和旋转的性质，能结合网格特点准确找到对应点位置，旋转中心的确定是本题易错点，需牢记旋转中心为对应点连线垂直平分线的交点。
【难度系数】
0.7
(1) 作关于原点对称的三角形时，依据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的性质，先确定△ABC三个顶点的坐标，求出对应对称点坐标后描点，顺次连接即可得到目标图形。(2) 绕点C顺时针旋转90°作三角形时，根据旋转的性质，各点旋转中心均为C、旋转角为90°，结合网格的边长特征找到A、B旋转后的对应点A₂、B₂，再与点C顺次连接。(3) 确定旋转中心时，利用“旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点”的性质，选取A₁和A₂、C₁和C两组对应点，分别作连线的垂直平分线，交点即为旋转中心D，再观察对应点与D连线的夹角即可得到旋转角度。
【解析】
(1) 分别作出点A、B、C关于原点对称的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 分别将点A、B绕点C顺时针旋转$90°$得到对应点$A_2$、$B_2$，顺次连接$A_2B_2$、$B_2C$、$CA_2$，$△ A_2B_2C$即为所求。
(3) 连接$A_1A_2$、$C_1C$，分别作线段$A_1A_2$、$C_1C$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心D。可得点D的坐标为$(1,4)$，旋转角的度数为$90°$。
【答案】
(1) 所作△A₁B₁C₁见解析；
(2) 所作△A₂B₂C见解析；
(3) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$，旋转角的度数为$\boldsymbol{90°}$。
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，旋转作图，旋转中心的确定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的对称变换与旋转变换，核心是熟练掌握对称和旋转的性质，能结合网格特点准确找到对应点位置，旋转中心的确定是本题易错点，需牢记旋转中心为对应点连线垂直平分线的交点。
【难度系数】
0.7
