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例1 已知关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2 + 3x + k^2 - 4 = 0$的常数项为0，则$k$的值为 （）
A.$-2$
B.$2$
C.$2$或$-2$
D.$4$或$-2$
A.$-2$
B.$2$
C.$2$或$-2$
D.$4$或$-2$
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元二次方程的两个核心条件：一是常数项为0，二是二次项系数不为0。先根据常数项为0求出k的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合的k值，即可得到正确答案。
【解析】
解：已知方程$(k-2)x^2 + 3x + k^2 - 4 = 0$是一元二次方程，且常数项为0，因此需满足：
1. 常数项为0：$k^2 - 4 = 0$，解得$k = 2$或$k = -2$；
2. 一元二次方程的二次项系数不能为0：$k - 2 ≠ 0$，即$k ≠ 2$；
综上，$k = -2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、常数项的概念
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接取$k=2$或$k=-2$，导致错选C，属于基础题，需注意隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合一元二次方程的两个核心条件：一是常数项为0，二是二次项系数不为0。先根据常数项为0求出k的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合的k值，即可得到正确答案。
【解析】
解：已知方程$(k-2)x^2 + 3x + k^2 - 4 = 0$是一元二次方程，且常数项为0，因此需满足：
1. 常数项为0：$k^2 - 4 = 0$，解得$k = 2$或$k = -2$；
2. 一元二次方程的二次项系数不能为0：$k - 2 ≠ 0$，即$k ≠ 2$；
综上，$k = -2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、常数项的概念
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接取$k=2$或$k=-2$，导致错选C，属于基础题，需注意隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.6
练1-1 下列方程中,是一元二次方程的是 ()
A.$ x + 2y = 1 $
B.$ x^2 - 2xy = 0 $
C.$ x^2 - \frac{1}{2x} = 3 $
D.$ x^2 - 2x + 3 = 0 $
A.$ x + 2y = 1 $
B.$ x^2 - 2xy = 0 $
C.$ x^2 - \frac{1}{2x} = 3 $
D.$ x^2 - 2x + 3 = 0 $
答案
D
解析
【分析】判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需同时满足三个条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数为2。接下来逐一分析各选项是否符合上述条件。
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一分析选项：
选项A：方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程的定义；
选项B：方程含有x、y两个未知数，属于二元二次方程，不符合一元二次方程的定义；
选项C：方程的分母中含有未知数x，不是整式方程，属于分式方程，不符合一元二次方程的定义；
选项D：方程仅含未知数x，未知数的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的基本概念，解题关键是准确把握定义的三个核心要素，通过逐一排查选项即可快速得出答案，属于基础概念类题目，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一分析选项：
选项A：方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程的定义；
选项B：方程含有x、y两个未知数，属于二元二次方程，不符合一元二次方程的定义；
选项C：方程的分母中含有未知数x，不是整式方程，属于分式方程，不符合一元二次方程的定义；
选项D：方程仅含未知数x，未知数的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的基本概念，解题关键是准确把握定义的三个核心要素，通过逐一排查选项即可快速得出答案，属于基础概念类题目，难度较低。
【难度系数】0.8
练1-2 已知一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$可配成$(x - n)^2 = 1$，则$m + n$的值为 （）
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
答案
D
解析
【分析】要解决本题，需利用一元二次方程的配方法，将原方程配方后与已知的配方形式对比，求出n和m的值，进而计算m+n。配方法的核心是将二次项和一次项配成完全平方式，步骤为移项、配方（加一次项系数一半的平方）。
【解析】对一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2 - 4x = -m$；
2. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-4，一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，因此左边变为$x^2 -4x +4$，右边变为$-m +4$，即$(x - 2)^2 = 4 - m$；
3. 对比已知的配方形式$(x - n)^2 =1$，可得$n=2$，且$4 - m =1$，解得$m=3$；
4. 计算$m + n =3 +2=5$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的配方法，完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，属于基础题型，关键是掌握配方法的操作步骤，通过配方后的等式对应关系求出参数值，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】对一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2 - 4x = -m$；
2. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-4，一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，因此左边变为$x^2 -4x +4$，右边变为$-m +4$，即$(x - 2)^2 = 4 - m$；
3. 对比已知的配方形式$(x - n)^2 =1$，可得$n=2$，且$4 - m =1$，解得$m=3$；
4. 计算$m + n =3 +2=5$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的配方法，完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，属于基础题型，关键是掌握配方法的操作步骤，通过配方后的等式对应关系求出参数值，难度适中。
【难度系数】0.7
例2 用适当的方法解方程：
(1)$x^2 - 4x + 3 = 0$；
(2)$(x - 1)(x + 3) = -2(x + 3)$。
(1)$x^2 - 4x + 3 = 0$；
(2)$(x - 1)(x + 3) = -2(x + 3)$。
答案
解：
(1) 因式分解，得
$(x-1)(x-3)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=3$
(2) 移项，得
$(x-1)(x+3)+2(x+3)=0$
提取公因式，得
$(x+3)(x-1+2)=0$
即 $(x+3)(x+1)=0$
$\therefore x+3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=-3$，$x_2=-1$
(1) 因式分解，得
$(x-1)(x-3)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=3$
(2) 移项，得
$(x-1)(x+3)+2(x+3)=0$
提取公因式，得
$(x+3)(x-1+2)=0$
即 $(x+3)(x+1)=0$
$\therefore x+3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=-3$，$x_2=-1$
解析
【分析】
对于一元二次方程，优先选用简便的因式分解法求解。第(1)题是二次三项式，可通过十字相乘法因式分解；第(2)题移项后可提取公因式，转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而转化为一元一次方程求解，能简化计算，避免复杂运算。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x + 3 = 0$，用十字相乘法因式分解：
常数项3分解为$-1×(-3)$，且$-1+(-3)=-4$（一次项系数），因此得：
$(x-1)(x-3)=0$
根据“若两因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=3$
(2) 对$(x-1)(x+3) = -2(x+3)$，先移项使右边为0：
$(x-1)(x+3)+2(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(x-1+2)=0$
化简为：
$(x+3)(x+1)=0$
同理可得：
$x+3=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=-3$，$x_2=-1$
【答案】
$x_1=1$，$x_2=3$；$x_1=-3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，十字相乘法
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，分别考察十字相乘法分解二次三项式、提取公因式分解因式的应用，核心是将二次方程转化为一次方程求解，是解一元二次方程的常用简便方法，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
对于一元二次方程，优先选用简便的因式分解法求解。第(1)题是二次三项式，可通过十字相乘法因式分解；第(2)题移项后可提取公因式，转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而转化为一元一次方程求解，能简化计算，避免复杂运算。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x + 3 = 0$，用十字相乘法因式分解：
常数项3分解为$-1×(-3)$，且$-1+(-3)=-4$（一次项系数），因此得：
$(x-1)(x-3)=0$
根据“若两因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=3$
(2) 对$(x-1)(x+3) = -2(x+3)$，先移项使右边为0：
$(x-1)(x+3)+2(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(x-1+2)=0$
化简为：
$(x+3)(x+1)=0$
同理可得：
$x+3=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=-3$，$x_2=-1$
【答案】
$x_1=1$，$x_2=3$；$x_1=-3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，十字相乘法
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，分别考察十字相乘法分解二次三项式、提取公因式分解因式的应用，核心是将二次方程转化为一次方程求解，是解一元二次方程的常用简便方法，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
