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6. 如右图,小林在一个无盖的长方体玻璃容器中摆了若干个1立方分米的正方体。这个玻璃容器的容积是(
72
)立方分米;做这个玻璃容器至少需要玻璃(84
)平方分米。答案
6. 72 84
解析
【分析】
这道题的核心是先通过摆放的1立方分米小正方体确定无盖长方体容器的长、宽、高。首先1立方分米的小正方体棱长为1分米，我们分别沿着容器的长、宽、高三个方向数最多能摆放的小正方体数量，就能得到容器内部的长、宽、高数值。第一步求容积，直接代入长方体容积公式长×宽×高计算即可；第二步求无盖容器需要的玻璃面积，注意无盖意味着不需要计算顶面的面积，只需要计算底面加其余四个侧面共5个面的总面积就能得到结果。
【解析】
1. 确定容器的长宽高：
1立方分米的小正方体棱长为1分米，观察图形可得：
沿长方向最多可摆放6个小正方体，容器长=6分米
沿宽方向最多可摆放4个小正方体，容器宽=4分米
沿高方向最多可摆放3层小正方体，容器高=3分米
2. 计算容器容积：
根据长方体容积公式$V=长×宽×高$，代入数值：
$V=6×4×3=72$（立方分米）
3. 计算无盖容器的玻璃总面积：
无盖长方体仅需计算5个面的面积和，公式为$S=长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高$，代入数值：
$S=6×4 + 2×6×3 + 2×4×3=24+36+24=84$（平方分米）
【答案】72；84
【知识点】长方体容积计算，无盖长方体表面积计算
【点评】本题的易错点一是容易数错长宽高的数值，二是计算表面积时忽略容器无盖的条件，多算一个顶面的面积，解题时先通过小正方体棱长对应得到容器的长宽高是核心突破口。
【难度系数】0.7
这道题的核心是先通过摆放的1立方分米小正方体确定无盖长方体容器的长、宽、高。首先1立方分米的小正方体棱长为1分米，我们分别沿着容器的长、宽、高三个方向数最多能摆放的小正方体数量，就能得到容器内部的长、宽、高数值。第一步求容积，直接代入长方体容积公式长×宽×高计算即可；第二步求无盖容器需要的玻璃面积，注意无盖意味着不需要计算顶面的面积，只需要计算底面加其余四个侧面共5个面的总面积就能得到结果。
【解析】
1. 确定容器的长宽高：
1立方分米的小正方体棱长为1分米，观察图形可得：
沿长方向最多可摆放6个小正方体，容器长=6分米
沿宽方向最多可摆放4个小正方体，容器宽=4分米
沿高方向最多可摆放3层小正方体，容器高=3分米
2. 计算容器容积：
根据长方体容积公式$V=长×宽×高$，代入数值：
$V=6×4×3=72$（立方分米）
3. 计算无盖容器的玻璃总面积：
无盖长方体仅需计算5个面的面积和，公式为$S=长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高$，代入数值：
$S=6×4 + 2×6×3 + 2×4×3=24+36+24=84$（平方分米）
【答案】72；84
【知识点】长方体容积计算，无盖长方体表面积计算
【点评】本题的易错点一是容易数错长宽高的数值，二是计算表面积时忽略容器无盖的条件，多算一个顶面的面积，解题时先通过小正方体棱长对应得到容器的长宽高是核心突破口。
【难度系数】0.7
7. 5G技术打破了信息传输的空间限制,具有更高速率、更大容量、更低时延的特征。经测试现用5G下载的时间约是用4G下载时间的1%。爸爸用5G下载一部电影需要4.2秒,如果仍用4G下载,需要(
7
)分钟。答案
7. 7
解析
【分析】
首先梳理题目给出的数量关系：已知5G下载时间约是4G下载时间的1%，也就是5G下载时间 = 4G下载时间 × 1%。我们已知5G下载该电影的时间是4.2秒，首先可以通过除法反推出4G下载该电影的总秒数，之后注意题目最终要求的单位是分钟，需要把计算得到的秒数按照1分钟=60秒的换算关系转换为分钟，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：计算4G下载电影的总秒数
由题意可知5G下载时间是4G的1%，因此4G下载时间 = 5G下载时间 ÷ 1%，代入已知的5G下载时间4.2秒：
$4.2 ÷ 1\% = 420$（秒）
第二步：将秒换算为分钟
根据时间单位换算规则1分钟=60秒，可得：
$420 ÷ 60 = 7$（分钟）
【答案】
7
【知识点】
百分数应用，时间单位换算
【点评】
本题是结合5G实际应用场景的基础百分数应用题，核心易错点是容易忽略题目最终要求的单位是分钟，直接将算出的420秒作为答案，解题时要注意审题，确认所求量的单位后再完成单位换算步骤。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目给出的数量关系：已知5G下载时间约是4G下载时间的1%，也就是5G下载时间 = 4G下载时间 × 1%。我们已知5G下载该电影的时间是4.2秒，首先可以通过除法反推出4G下载该电影的总秒数，之后注意题目最终要求的单位是分钟，需要把计算得到的秒数按照1分钟=60秒的换算关系转换为分钟，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：计算4G下载电影的总秒数
由题意可知5G下载时间是4G的1%，因此4G下载时间 = 5G下载时间 ÷ 1%，代入已知的5G下载时间4.2秒：
$4.2 ÷ 1\% = 420$（秒）
第二步：将秒换算为分钟
根据时间单位换算规则1分钟=60秒，可得：
$420 ÷ 60 = 7$（分钟）
【答案】
7
【知识点】
百分数应用，时间单位换算
【点评】
本题是结合5G实际应用场景的基础百分数应用题，核心易错点是容易忽略题目最终要求的单位是分钟，直接将算出的420秒作为答案，解题时要注意审题，确认所求量的单位后再完成单位换算步骤。
【难度系数】
0.7
8. 如图,按这样的规律,第四个图形中有(
40
)个白色三角形。答案
8. 40
解析
【分析】
我们可以通过先统计前3个图形的白色三角形数量，找到递推规律后再计算第四个图形的结果：首先数第一个图形，仅存在1个白色三角形；观察第二个图形，会发现第一个图里的3个灰色三角形，每个都分割出了1个新的白色三角形，因此白色总数在1的基础上新增3个，得到总数为4；再观察第三个图形，第二个图里新增的3组灰色三角形，每组3个，共9个灰色三角形，每个又各自分割出1个新的白色三角形，新增9个白色三角形，总数变为13；由此可以发现每次新增的白色三角形数量是前一次新增数量的3倍，按照这个规律就能算出第四个图形的白色三角形总数。
【解析】
1. 第1个图形：白色三角形数量为 $a_1=1$
2. 第2个图形：相比第1个图形，新增3个白色三角形，总数 $a_2=1+3=4$
3. 第3个图形：相比第2个图形，新增 $3×3=9$ 个白色三角形，总数 $a_3=4+9=13$
4. 第4个图形：相比第3个图形，新增 $9×3=27$ 个白色三角形，总数 $a_4=13+27=40$
【答案】
40
【知识点】
图形规律探索，等比数列求和
【点评】
本题属于谢尔宾斯基三角形的分形规律探究题，不需要逐个计数第四个图形的所有白色三角形，只需要抓住每次迭代后新增白色三角形的数量是3的幂次这一核心规律，通过递推就能快速得到结果，能锻炼学生的归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
我们可以通过先统计前3个图形的白色三角形数量，找到递推规律后再计算第四个图形的结果：首先数第一个图形，仅存在1个白色三角形；观察第二个图形，会发现第一个图里的3个灰色三角形，每个都分割出了1个新的白色三角形，因此白色总数在1的基础上新增3个，得到总数为4；再观察第三个图形，第二个图里新增的3组灰色三角形，每组3个，共9个灰色三角形，每个又各自分割出1个新的白色三角形，新增9个白色三角形，总数变为13；由此可以发现每次新增的白色三角形数量是前一次新增数量的3倍，按照这个规律就能算出第四个图形的白色三角形总数。
【解析】
1. 第1个图形：白色三角形数量为 $a_1=1$
2. 第2个图形：相比第1个图形，新增3个白色三角形，总数 $a_2=1+3=4$
3. 第3个图形：相比第2个图形，新增 $3×3=9$ 个白色三角形，总数 $a_3=4+9=13$
4. 第4个图形：相比第3个图形，新增 $9×3=27$ 个白色三角形，总数 $a_4=13+27=40$
【答案】
40
【知识点】
图形规律探索，等比数列求和
【点评】
本题属于谢尔宾斯基三角形的分形规律探究题，不需要逐个计数第四个图形的所有白色三角形，只需要抓住每次迭代后新增白色三角形的数量是3的幂次这一核心规律，通过递推就能快速得到结果，能锻炼学生的归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图,有三条彩带,根据三条彩带的长度关系,在方框中填入合适的数。
答案
9. $\frac{3}{5}$ 15
解析
【分析】
我们首先要找到数轴单位长度和实际长度的对应关系：观察图中红彩带的实际长度是5m，它的右端点刚好对齐数轴上刻度1的位置，说明数轴上1个单位长度对应的实际长度就是5m。接下来求左侧方框的数：左侧方框对齐黄彩带的右端点，黄彩带实际长3m，求它对应的数轴刻度，就是求3m是5m的几分之几，用除法计算即可。再求右侧方框的数：右侧方框标注蓝彩带的实际长度，蓝彩带右端点对齐数轴刻度3，用数轴刻度乘单位长度对应的实际长度，就能得到蓝彩带的总长度。
【解析】
1. 确定换算关系：红彩带长5m，对应数轴上0到1的区间，因此数轴上1个单位长度代表的实际长度为5m。
2. 计算左侧方框的数值：黄彩带长3m，它对应的数轴刻度为 $ 3÷5 = \frac{3}{5} $。
3. 计算右侧方框的数值：蓝彩带右端点对应数轴刻度3，因此蓝彩带的实际长度为 $ 3×5 = 15 \, \mathrm{m} $。
【答案】
$\frac{3}{5}$、15
【知识点】
分数的意义，数轴应用
【点评】
本题结合数轴和实物长度的对应关系，考察分数的实际应用，解题核心是先通过已知的红彩带长度建立数轴刻度和实际长度的换算关系，再分别求解两个未知量，能够锻炼学生的对应逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
我们首先要找到数轴单位长度和实际长度的对应关系：观察图中红彩带的实际长度是5m，它的右端点刚好对齐数轴上刻度1的位置，说明数轴上1个单位长度对应的实际长度就是5m。接下来求左侧方框的数：左侧方框对齐黄彩带的右端点，黄彩带实际长3m，求它对应的数轴刻度，就是求3m是5m的几分之几，用除法计算即可。再求右侧方框的数：右侧方框标注蓝彩带的实际长度，蓝彩带右端点对齐数轴刻度3，用数轴刻度乘单位长度对应的实际长度，就能得到蓝彩带的总长度。
【解析】
1. 确定换算关系：红彩带长5m，对应数轴上0到1的区间，因此数轴上1个单位长度代表的实际长度为5m。
2. 计算左侧方框的数值：黄彩带长3m，它对应的数轴刻度为 $ 3÷5 = \frac{3}{5} $。
3. 计算右侧方框的数值：蓝彩带右端点对应数轴刻度3，因此蓝彩带的实际长度为 $ 3×5 = 15 \, \mathrm{m} $。
【答案】
$\frac{3}{5}$、15
【知识点】
分数的意义，数轴应用
【点评】
本题结合数轴和实物长度的对应关系，考察分数的实际应用，解题核心是先通过已知的红彩带长度建立数轴刻度和实际长度的换算关系，再分别求解两个未知量，能够锻炼学生的对应逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
10. 我国是乒乓球运动的强国,中国乒乓球队在奥运会等世界顶级赛事中连续多年占据领先地位。一张合格的乒乓球桌要求桌面的反弹率在$\frac{3}{4}$到$\frac{9}{10}$之间,也就是在自然条件下,乒乓球垂直落下后反弹高度是落下高度的$\frac{3}{4}$到$\frac{9}{10}$之间。
小明做了一次试验,将乒乓球从离桌面30厘米处垂直自然落下,测得反弹高度是25厘米,这张乒乓球桌桌面的反弹率(
小明做了一次试验,将乒乓球从离桌面30厘米处垂直自然落下,测得反弹高度是25厘米,这张乒乓球桌桌面的反弹率(
符合
)要求(填"符合"或"不符合")。我是这样想的:$25÷30=\frac{5}{6}$,$\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{9}{10}$,反弹率符合要求
答案
10. 符合 $25÷30=\frac{5}{6}$,$\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{9}{10}$,反弹率符合要求
解析
【分析】
这道题的核心是先算出本次试验的实际反弹率，再将它和合格反弹率的范围做比对。首先我们明确反弹率的定义：反弹高度÷落下高度，第一步先代入已知的反弹高度25厘米、落下高度30厘米，计算出实际反弹率；第二步把算出的结果和给定的合格区间上下限$\frac{3}{4}$、$\frac{9}{10}$比较大小，判断实际反弹率是否落在区间内，就能得出是否符合要求的结论。
【解析】
1. 计算本次试验的实际反弹率：
已知落下高度为30厘米，反弹高度为25厘米，根据反弹率定义可得：
$25÷30=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$
2. 比较三个分数的大小：
对$\frac{3}{4}$、$\frac{5}{6}$、$\frac{9}{10}$通分，取分母最小公倍数60：
$\frac{3}{4}=\frac{45}{60}$，$\frac{5}{6}=\frac{50}{60}$，$\frac{9}{10}=\frac{54}{60}$
可得$\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{9}{10}$，说明实际反弹率处于合格的反弹率区间内。
因此这张乒乓球桌桌面的反弹率符合要求。
【答案】
符合；$25÷30=\frac{5}{6}$，$\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{9}{10}$，反弹率在规定的合格区间内，满足要求
【知识点】
分数除法计算，异分母分数比较，实际数值判定
【点评】
本题结合乒乓球运动的生活实际场景出题，将分数运算的知识点融入应用场景，解题逻辑清晰，既考察了分数除法、异分母分数比大小的基础知识点，也能让学生体会到数学知识在日常生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是先算出本次试验的实际反弹率，再将它和合格反弹率的范围做比对。首先我们明确反弹率的定义：反弹高度÷落下高度，第一步先代入已知的反弹高度25厘米、落下高度30厘米，计算出实际反弹率；第二步把算出的结果和给定的合格区间上下限$\frac{3}{4}$、$\frac{9}{10}$比较大小，判断实际反弹率是否落在区间内，就能得出是否符合要求的结论。
【解析】
1. 计算本次试验的实际反弹率：
已知落下高度为30厘米，反弹高度为25厘米，根据反弹率定义可得：
$25÷30=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$
2. 比较三个分数的大小：
对$\frac{3}{4}$、$\frac{5}{6}$、$\frac{9}{10}$通分，取分母最小公倍数60：
$\frac{3}{4}=\frac{45}{60}$，$\frac{5}{6}=\frac{50}{60}$，$\frac{9}{10}=\frac{54}{60}$
可得$\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{9}{10}$，说明实际反弹率处于合格的反弹率区间内。
因此这张乒乓球桌桌面的反弹率符合要求。
【答案】
符合；$25÷30=\frac{5}{6}$，$\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{9}{10}$，反弹率在规定的合格区间内，满足要求
【知识点】
分数除法计算，异分母分数比较，实际数值判定
【点评】
本题结合乒乓球运动的生活实际场景出题，将分数运算的知识点融入应用场景，解题逻辑清晰，既考察了分数除法、异分母分数比大小的基础知识点，也能让学生体会到数学知识在日常生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
四、操作题。(共9分)
下图中,每个小方格都表示1平方厘米。
1. 把上图中的长方形绕点N顺时针旋转$90°$,画出旋转后的图形;在旋转后的图形上标出点M的对应点$M_{1}$;点$M_{1}$的位置可以用数对( , )表示。(3分)
2. 画一个梯形,使它的面积与上图中的平行四边形面积相等。(3分)
3. 以点O为圆心,按$1:2$的比画出图中的圆缩小后的图形。缩小前与缩小后两个圆的面积比是(
下图中,每个小方格都表示1平方厘米。
1. 把上图中的长方形绕点N顺时针旋转$90°$,画出旋转后的图形;在旋转后的图形上标出点M的对应点$M_{1}$;点$M_{1}$的位置可以用数对( , )表示。(3分)
2. 画一个梯形,使它的面积与上图中的平行四边形面积相等。(3分)
3. 以点O为圆心,按$1:2$的比画出图中的圆缩小后的图形。缩小前与缩小后两个圆的面积比是(
$4:1$
),它们所组成的圆环面积是(37.68
)平方厘米。(3分)答案
1. 数对答案：$\boldsymbol{(1,4)}$
画图说明：先找到长方形除N外的三个顶点，分别绕点N顺时针旋转$90°$，依次连接四个顶点得到旋转后的长方形，原来点M的对应点就是$M_1$，位置为$(1,4)$。
2. 画图说明：
平行四边形面积为$5×2=10$平方厘米，画梯形满足（上底+下底）×高$÷2=10$即可，例如上底2厘米、下底3厘米、高4厘米的梯形。
3. 答案：$\boldsymbol{4:1}$；$\boldsymbol{37.68}$
---
注：需要画图的部分按照上述说明在方格中绘制即可。
画图说明：先找到长方形除N外的三个顶点，分别绕点N顺时针旋转$90°$，依次连接四个顶点得到旋转后的长方形，原来点M的对应点就是$M_1$，位置为$(1,4)$。
2. 画图说明：
平行四边形面积为$5×2=10$平方厘米，画梯形满足（上底+下底）×高$÷2=10$即可，例如上底2厘米、下底3厘米、高4厘米的梯形。
3. 答案：$\boldsymbol{4:1}$；$\boldsymbol{37.68}$
---
注：需要画图的部分按照上述说明在方格中绘制即可。
解析
【分析】
我们可以分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问先确定点N的数对，再明确长方形所有顶点相对点N的位置，按照顺时针旋转90°的坐标变换规则，依次得到所有顶点旋转后的位置，连接得到旋转图形，最终确定M₁的数对。
2. 第二问先计算出图中平行四边形的面积，再根据梯形的面积公式，选取合适的上底、下底和高，画出符合面积要求的梯形即可，画法不唯一。
3. 第三问先观察原圆的半径，根据1:2的缩放比例得到缩小后圆的半径，再利用圆的面积比等于半径比的平方的性质，得到两个圆的面积比，最后用大圆面积减去小圆面积算出圆环的面积。
【解析】
1. 首先确定点N的位置为(2,7)，原长方形的点M初始位置为(5,6)。点绕定点顺时针旋转90°的坐标变换规则为：若定点坐标为(a,b)，原点点坐标为(x,y)，旋转后新坐标为(a+(y-b), b-(x-a))。代入数值计算M旋转后的坐标：a=2，b=7，x=5，y=6，可得新坐标为2+(6-7)=1，7-(5-2)=4，即M₁的位置为(1,4)。将长方形其余三个顶点绕N顺时针旋转90°后依次连接，即可得到旋转后的长方形。
2. 图中平行四边形的底为5厘米，高为2厘米，面积=底×高=5×2=10平方厘米。根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，只要满足(上底+下底)×高=20即可，例如取上底2厘米、下底3厘米、高4厘米，代入得面积为$\frac{(2+3)×4}{2}=10$平方厘米，符合要求，在方格中绘制该梯形即可，画法不唯一。
3. 观察原图可知原圆的半径为4厘米，按1:2的比例缩小后，新圆的半径为4÷2=2厘米，以点O为圆心，2厘米为半径画出缩小后的圆。圆的面积比等于半径平方的比，因此缩小前与缩小后圆的面积比为$4^2:2^2=16:4=4:1$。圆环面积=大圆面积-小圆面积=$π×4^2 - π×2^2=12π\approx37.68$平方厘米。
【答案】
1. 数对为$\boldsymbol{(1,4)}$，按规则绘制旋转后的长方形并标注$M_1$即可；
2. 绘制面积为10平方厘米的梯形即可，画法不唯一；
3. 缩小前与缩小后两个圆的面积比是$\boldsymbol{4:1}$，圆环面积是$\boldsymbol{37.68}$平方厘米。
【知识点】
图形的旋转，平面图形面积计算，图形的缩放
【点评】
本题是小学几何综合操作题，融合了数对定位、图形旋转、常见平面图形面积计算、图形缩放的比例性质多个考点，既考察学生的动手绘图能力，也考察对缩放后面积比是边长比的平方这一性质的理解，学生容易出错的地方是旋转时点的坐标判断错误，混淆缩放的长度比和面积比。
【难度系数】
0.6
我们可以分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问先确定点N的数对，再明确长方形所有顶点相对点N的位置，按照顺时针旋转90°的坐标变换规则，依次得到所有顶点旋转后的位置，连接得到旋转图形，最终确定M₁的数对。
2. 第二问先计算出图中平行四边形的面积，再根据梯形的面积公式，选取合适的上底、下底和高，画出符合面积要求的梯形即可，画法不唯一。
3. 第三问先观察原圆的半径，根据1:2的缩放比例得到缩小后圆的半径，再利用圆的面积比等于半径比的平方的性质，得到两个圆的面积比，最后用大圆面积减去小圆面积算出圆环的面积。
【解析】
1. 首先确定点N的位置为(2,7)，原长方形的点M初始位置为(5,6)。点绕定点顺时针旋转90°的坐标变换规则为：若定点坐标为(a,b)，原点点坐标为(x,y)，旋转后新坐标为(a+(y-b), b-(x-a))。代入数值计算M旋转后的坐标：a=2，b=7，x=5，y=6，可得新坐标为2+(6-7)=1，7-(5-2)=4，即M₁的位置为(1,4)。将长方形其余三个顶点绕N顺时针旋转90°后依次连接，即可得到旋转后的长方形。
2. 图中平行四边形的底为5厘米，高为2厘米，面积=底×高=5×2=10平方厘米。根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，只要满足(上底+下底)×高=20即可，例如取上底2厘米、下底3厘米、高4厘米，代入得面积为$\frac{(2+3)×4}{2}=10$平方厘米，符合要求，在方格中绘制该梯形即可，画法不唯一。
3. 观察原图可知原圆的半径为4厘米，按1:2的比例缩小后，新圆的半径为4÷2=2厘米，以点O为圆心，2厘米为半径画出缩小后的圆。圆的面积比等于半径平方的比，因此缩小前与缩小后圆的面积比为$4^2:2^2=16:4=4:1$。圆环面积=大圆面积-小圆面积=$π×4^2 - π×2^2=12π\approx37.68$平方厘米。
【答案】
1. 数对为$\boldsymbol{(1,4)}$，按规则绘制旋转后的长方形并标注$M_1$即可；
2. 绘制面积为10平方厘米的梯形即可，画法不唯一；
3. 缩小前与缩小后两个圆的面积比是$\boldsymbol{4:1}$，圆环面积是$\boldsymbol{37.68}$平方厘米。
【知识点】
图形的旋转，平面图形面积计算，图形的缩放
【点评】
本题是小学几何综合操作题，融合了数对定位、图形旋转、常见平面图形面积计算、图形缩放的比例性质多个考点，既考察学生的动手绘图能力，也考察对缩放后面积比是边长比的平方这一性质的理解，学生容易出错的地方是旋转时点的坐标判断错误，混淆缩放的长度比和面积比。
【难度系数】
0.6
