1. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC.若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC,得到如下结论:①∠AEB=90°;②BC+AD=AB;③BE=$\frac{1}{2}$CD;④BC=CE;⑤若AB=x,则BE的取值范围为0＜BE＜x.那么以上结论正确的是 ()

A.①②③
B.②③④
C.①④⑤
D.①②⑤

＞＞ 对点专练 P8

D

2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD$是高,$E$是$△ ABC$外一点,$BE=BA$,$∠ E=∠ C$,若$DE=\dfrac{2}{5}BD$,$AD=16$,$BD=20$,则$△ BDE$的面积为________.

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3. 如图,在$△ ABC$中,以$AB,AC$为边向外作等腰三角形$ABD$和等腰三角形$ACE$,且$AB=AD,AC=AE,F$为$BC$中点,$∠ DAB=∠ CAE=α$.连接$DE,DC,BE,AF$.
(1)证明:$△ ADC≌△ ABE$;
(2)当$DE=2AF$时,①求$α$的大小;②判断$△ ABC$与$△ ADE$面积之间的关系,并说明理由.

(1)
∵ ∠DAB=∠CAE=α，
∴ ∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC = ∠EAB. 在△DAC和△BAE中，$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠DAC=∠BAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴ △ADC≌△ABE(SAS).
(2)①如图①，延长AF至G，使得GF=AF，连接BG.
∵ F为BC中点，
∴ BF = CF = $\frac{1}{2}$BC. 在△GFB和△AFC中，$\begin{cases} GF=AF, \\ ∠BFG=∠CFA, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴ △GFB≌△AFC(SAS)，
∴ AC = BG，∠1 = ∠G.
∵ DE = 2AF，
∴ DE = AG.
∵ AC = AE，
∴ BG = AE. 在△ABG和△DAE中，$\begin{cases} AG=DE, \\ AB=DA, \\ BG=AE, \end{cases}$
∴ △ABG≌△DAE(SSS)，
∴ ∠2 = ∠ABG.
∵ ∠ABG+∠BAG+∠G=180°，
∴ ∠2+∠BAG+∠1=180°，
∴ ∠DAB+∠EAC = 360°-(∠2+∠BAG+∠1)=180°，
∴ 2α=180°，则α=90°.
②△ABC与△ADE面积相等. 理由:如图②，过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥DA交DA延长线于N，
∵ α = 90°，
∴ △ABD和△ACE都是等腰直角三角形.
∵ ∠BAC+∠DAE = 180°，∠DAE+∠EAN = 180°，
∴ ∠BAC = ∠EAN. 在△ACM和△AEN中，$\begin{cases} ∠MAC=∠NAE, \\ ∠AMC=∠ANE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴ △ACM≌△AEN(AAS)，
∴ CM=EN.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CM$，$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AD·EN$，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$.

4. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D点出发,以每秒1个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位长度的速度沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止移动.
(1)证明:AD//BC.
(2)在移动过程中,小明发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,会出现△DEG与△BFG全等的情况.

＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习

(1)在△ABD和△CDB中，$\begin{cases} AD=BC, \\ AB=CD, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CDB(SSS)，
∴ ∠ADB=∠CBD，
∴ AD//BC.
(2)设运动时间为t秒，点G的运动速度为v个单位长度/秒，当$0＜ t ≤ \frac{4}{3}$时，若△DEG ≌ △BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
∵ $\begin{cases} t=4-3t, \\ 6-BG=BG, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} t=1, \\ BG=3, \end{cases}$
∴ v = 3；若△DEG ≌ △BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} t=BG, \\ 6-BG=4-3t, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} t=-1, \\ BG=-1 \end{cases}$(舍去). 当$\frac{4}{3}＜ t ≤ \frac{8}{3}$时，若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} t=3t-4, \\ 6-BG=BG, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} t=2, \\ BG=3, \end{cases}$
∴ $v=\frac{3}{2}$；若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} t=BG, \\ 6-BG=3t-4, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} t=\frac{5}{2}, \\ BG=\frac{5}{2}, \end{cases}$
∴ v=1.
综上所述，当点G的速度为3个单位长度/秒或$\frac{3}{2}$个单位长度/秒或1个单位长度/秒时，会出现△DEG与△BFG全等的情况。