1. 如图，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上的一点，$AB=AD$，$AE=AF$，$AF ⊥ BE$.
(1)求证：$BF=DE$；
(2)若$CE=BC+BF$，$∠ ADC=110°$，求$∠ BCE$的度数.

1. (1)
∵ AF ⊥ BE,
∴ ∠BAF = ∠DAE = 90°.在△ABF与△ADE中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAF=∠DAE, \\ AF=AE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△ADE(SAS),
∴ BF=DE.
(2)如图,连接AC,
∵ BF=DE,CE=BC+BF,
∴ BC=DC.在△ABC和△ADC中, $\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC (SSS),
∴ ∠ABC=∠ADC = 110°, ∠BAC = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAF = 45°,
∠ACB=∠ACD=180°-∠ABC-∠BAC=25°,
∴ ∠BCE=50°.

2. (2025·扬州月考)如图,在$△ ABC$中,点$D$为$AB$中点,$DE ⊥ AB$,$∠ ACE+∠ BCE=180°$,$EF ⊥ BC$交$BC$于点$F$,$AC=8$,$BC=12$,求$BF$的长.

2. 如图,连接AE,过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G.
∵ 点D为AB中点,DE⊥AB,
∴ BD=AD,∠EDB=∠EDA=90°.
在△EDB和△EDA中, $\begin{cases} BD=AD, \\ ∠EDB=∠EDA, \\ ED=ED, \end{cases}$
∴ △EDB≌△EDA
(SAS),
∴ EA=EB.
∵ ∠ACE+∠BCE=180°,∠ACE+∠ECG=
180°,
∴ ∠ECG=∠BCE.
∵ EF⊥BC,EG⊥AC,
∴ ∠EFC=
∠EGC = 90°. 在 △EFC 和 △EGC 中, $\begin{cases} ∠ECF=∠ECG, \\ ∠EFC=∠EGC, \\ EC=EC, \end{cases}$
∴ △EFC≌△EGC(AAS),
∴ CF=CG.在Rt△EFB和Rt△EGA
中,$\begin{cases} EF=EG, \\ EB=EA, \end{cases}$
∴ Rt△EFB≌Rt△EGA(HL),
∴ BF=AG,
∴ 12-
CF=8+CF,解得 CF=2,
∴ BF=10.

3. （2025·上海期末）如图,在四边形ABCD中,BC＞CD,CA平分∠BCD,∠B+∠D=180°.过点A作AE⊥BC,垂足为点E.
(1)求证:AB=AD;
(2)探究线段CE,CD和BE的数量关系并证明你的结论.

3. (1)如图,在CE上截取FE=BE,连接AF,
∵ AE⊥BC于点
E,
∴ ∠AEB = ∠AEF = 90°. 在 △ABE 与 △AFE 中,
$\begin{cases} BE=FE, \\ ∠AEB=∠AEF, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△AFE(SAS),
∴ AF=AB,∠B=
∠AFB.
∵ ∠AFB+∠AFC=180°,∠B+∠D=180°,
∴ ∠AFC=
∠D.
∵ CA平分∠BCD,
∴ ∠ACF=∠ACD.在△ACF和△ACD
中,$\begin{cases} ∠ACF=∠ACD, \\ ∠AFC=∠D, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ACF≌△ACD(AAS),
∴ AF=AD,
∴ AB=AD.
(2) CE = CD+BE.证明:由(1)得 FE = BE,△ACF≌△ACD,
∴ CF=CD.
∵ CE=CF+FE,且 CF+FE=CD+BE,
∴ CE=CD+BE.