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1. 说明有理数的加减混合运算.
2. 在加减混合运算中，能灵活运用运算律简化运算，提高运算效率.
电子错题本
1. 说明有理数的加减混合运算.
2. 在加减混合运算中，能灵活运用运算律简化运算，提高运算效率.
电子错题本
答案
解：
1. 有理数的加减混合运算：
根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将算式中所有减法运算转化为加法运算，把加减混合运算统一为加法运算，得到代数和的形式。之后可以省略代数和中各个加数的括号和它前面的加号，写成省略加号的和的形式，再按照有理数加法法则计算得到最终结果。
2. 利用运算律简化加减混合运算的常用方法：
① 相反数优先结合：互为相反数的两个数相加得0，优先计算可消去对应项，简化运算；
② 同号优先结合：将所有正数归为一组相加，所有负数归为一组相加，再将两组的和相加，减少符号运算错误；
③ 同分母优先结合：分母相同或容易通分的分数优先相加，避免复杂通分步骤；
④ 凑整优先结合：将相加后结果为整数的数优先组合计算，降低运算量。
运算示例：计算 $(-3\frac{2}{3})-(-2\frac{3}{4})-(-1\frac{2}{3})-(+1.75)$
原式$=(-3\frac{2}{3})+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}+(-1\frac{3}{4})$
$=-3\frac{2}{3}+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}-1\frac{3}{4}$
$=(-3\frac{2}{3}+1\frac{2}{3})+(2\frac{3}{4}-1\frac{3}{4})$
$=-2+1$
$=-1$
1. 有理数的加减混合运算：
根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将算式中所有减法运算转化为加法运算，把加减混合运算统一为加法运算，得到代数和的形式。之后可以省略代数和中各个加数的括号和它前面的加号，写成省略加号的和的形式，再按照有理数加法法则计算得到最终结果。
2. 利用运算律简化加减混合运算的常用方法：
① 相反数优先结合：互为相反数的两个数相加得0，优先计算可消去对应项，简化运算；
② 同号优先结合：将所有正数归为一组相加，所有负数归为一组相加，再将两组的和相加，减少符号运算错误；
③ 同分母优先结合：分母相同或容易通分的分数优先相加，避免复杂通分步骤；
④ 凑整优先结合：将相加后结果为整数的数优先组合计算，降低运算量。
运算示例：计算 $(-3\frac{2}{3})-(-2\frac{3}{4})-(-1\frac{2}{3})-(+1.75)$
原式$=(-3\frac{2}{3})+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}+(-1\frac{3}{4})$
$=-3\frac{2}{3}+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}-1\frac{3}{4}$
$=(-3\frac{2}{3}+1\frac{2}{3})+(2\frac{3}{4}-1\frac{3}{4})$
$=-2+1$
$=-1$
解析
【分析】
解决有理数加减混合运算问题，需遵循“减法转加法→用运算律简化→按加法法则计算”的思路：首先根据有理数减法法则，将所有减法转化为加法，统一成代数和形式；其次利用运算律，通过“相反数优先结合、同号优先结合、同分母优先结合、凑整优先结合”四种常用方法简化运算，减少计算量与错误；最后按有理数加法法则计算结果，结合示例可更清晰掌握这些技巧。
【解析】
1. 有理数的加减混合运算：根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将算式中所有减法运算转化为加法运算，把加减混合运算统一为加法运算，得到代数和的形式。之后可以省略代数和中各个加数的括号和它前面的加号，写成省略加号的和的形式，再按照有理数加法法则计算得到最终结果。
2. 利用运算律简化加减混合运算的常用方法：
① 相反数优先结合：互为相反数的两个数相加得0，优先计算可消去对应项，简化运算；
② 同号优先结合：将所有正数归为一组相加，所有负数归为一组相加，再将两组的和相加，减少符号运算错误；
③ 同分母优先结合：分母相同或容易通分的分数优先相加，避免复杂通分步骤；
④ 凑整优先结合：将相加后结果为整数的数优先组合计算，降低运算量。
运算示例：计算 $(-3\frac{2}{3})-(-2\frac{3}{4})-(-1\frac{2}{3})-(+1.75)$
原式$=(-3\frac{2}{3})+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}+(-1\frac{3}{4})$
$=-3\frac{2}{3}+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}-1\frac{3}{4}$
$=(-3\frac{2}{3}+1\frac{2}{3})+(2\frac{3}{4}-1\frac{3}{4})$
$=-2+1$
$=-1$
【答案】
解：
1. 有理数的加减混合运算：
根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将算式中所有减法运算转化为加法运算，把加减混合运算统一为加法运算，得到代数和的形式。之后可以省略代数和中各个加数的括号和它前面的加号，写成省略加号的和的形式，再按照有理数加法法则计算得到最终结果。
2. 利用运算律简化加减混合运算的常用方法：
① 相反数优先结合：互为相反数的两个数相加得0，优先计算可消去对应项，简化运算；
② 同号优先结合：将所有正数归为一组相加，所有负数归为一组相加，再将两组的和相加，减少符号运算错误；
③ 同分母优先结合：分母相同或容易通分的分数优先相加，避免复杂通分步骤；
④ 凑整优先结合：将相加后结果为整数的数优先组合计算，降低运算量。
运算示例：计算 $(-3\frac{2}{3})-(-2\frac{3}{4})-(-1\frac{2}{3})-(+1.75)$
原式$=(-3\frac{2}{3})+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}+(-1\frac{3}{4})$
$=-3\frac{2}{3}+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}-1\frac{3}{4}$
$=(-3\frac{2}{3}+1\frac{2}{3})+(2\frac{3}{4}-1\frac{3}{4})$
$=-2+1$
$=-1$
【知识点】
有理数加减混合运算、运算律的应用
【点评】
本题围绕有理数加减混合运算的核心方法与简化技巧展开，通过具体示例帮助学生理解运算律的灵活运用，是提升有理数运算效率的重要提优内容，需熟练掌握转化思想与运算律的使用。
【难度系数】
0.5
解决有理数加减混合运算问题，需遵循“减法转加法→用运算律简化→按加法法则计算”的思路：首先根据有理数减法法则，将所有减法转化为加法，统一成代数和形式；其次利用运算律，通过“相反数优先结合、同号优先结合、同分母优先结合、凑整优先结合”四种常用方法简化运算，减少计算量与错误；最后按有理数加法法则计算结果，结合示例可更清晰掌握这些技巧。
【解析】
1. 有理数的加减混合运算：根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将算式中所有减法运算转化为加法运算，把加减混合运算统一为加法运算，得到代数和的形式。之后可以省略代数和中各个加数的括号和它前面的加号，写成省略加号的和的形式，再按照有理数加法法则计算得到最终结果。
2. 利用运算律简化加减混合运算的常用方法：
① 相反数优先结合：互为相反数的两个数相加得0，优先计算可消去对应项，简化运算；
② 同号优先结合：将所有正数归为一组相加，所有负数归为一组相加，再将两组的和相加，减少符号运算错误；
③ 同分母优先结合：分母相同或容易通分的分数优先相加，避免复杂通分步骤；
④ 凑整优先结合：将相加后结果为整数的数优先组合计算，降低运算量。
运算示例：计算 $(-3\frac{2}{3})-(-2\frac{3}{4})-(-1\frac{2}{3})-(+1.75)$
原式$=(-3\frac{2}{3})+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}+(-1\frac{3}{4})$
$=-3\frac{2}{3}+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}-1\frac{3}{4}$
$=(-3\frac{2}{3}+1\frac{2}{3})+(2\frac{3}{4}-1\frac{3}{4})$
$=-2+1$
$=-1$
【答案】
解：
1. 有理数的加减混合运算：
根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将算式中所有减法运算转化为加法运算，把加减混合运算统一为加法运算，得到代数和的形式。之后可以省略代数和中各个加数的括号和它前面的加号，写成省略加号的和的形式，再按照有理数加法法则计算得到最终结果。
2. 利用运算律简化加减混合运算的常用方法：
① 相反数优先结合：互为相反数的两个数相加得0，优先计算可消去对应项，简化运算；
② 同号优先结合：将所有正数归为一组相加，所有负数归为一组相加，再将两组的和相加，减少符号运算错误；
③ 同分母优先结合：分母相同或容易通分的分数优先相加，避免复杂通分步骤；
④ 凑整优先结合：将相加后结果为整数的数优先组合计算，降低运算量。
运算示例：计算 $(-3\frac{2}{3})-(-2\frac{3}{4})-(-1\frac{2}{3})-(+1.75)$
原式$=(-3\frac{2}{3})+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}+(-1\frac{3}{4})$
$=-3\frac{2}{3}+2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}-1\frac{3}{4}$
$=(-3\frac{2}{3}+1\frac{2}{3})+(2\frac{3}{4}-1\frac{3}{4})$
$=-2+1$
$=-1$
【知识点】
有理数加减混合运算、运算律的应用
【点评】
本题围绕有理数加减混合运算的核心方法与简化技巧展开，通过具体示例帮助学生理解运算律的灵活运用，是提升有理数运算效率的重要提优内容，需熟练掌握转化思想与运算律的使用。
【难度系数】
0.5
1. (2025·浙江杭州滨江区期中)下列交换加数位置的变形,正确的是(
A.$-3+4-3=-3+3-4$
B.$-3+4-3=-4+3-3$
C.$\dfrac{6}{7}+1.5-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{7}+1.5$
D.$\dfrac{6}{7}+1.5-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{7}-1.5$
C
).A.$-3+4-3=-3+3-4$
B.$-3+4-3=-4+3-3$
C.$\dfrac{6}{7}+1.5-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{7}+1.5$
D.$\dfrac{6}{7}+1.5-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{7}-1.5$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断交换加数位置的变形是否正确，需牢记核心规则：交换加数位置时，每个加数必须连同它前面的符号一起移动，不能仅交换数字而改变符号。我们逐一分析选项，验证是否符合该规则。
【解析】
根据有理数加法交换律，交换加数位置时符号保持不变：
选项A：原式为$-3 + 4 - 3$，交换后应为$-3 - 3 + 4$，选项中变为$-3 + 3 - 4$，改变了数字符号，错误；
选项B：原式为$-3 + 4 - 3$，交换后应为$-3 - 3 + 4$，选项中把$4$的符号改为负，错误；
选项C：原式为$\dfrac{6}{7} + 1.5 - \dfrac{1}{7}$，交换后为$\dfrac{6}{7} - \dfrac{1}{7} + 1.5$，每个加数都带着自身符号移动，符合规则，正确；
选项D：原式为$\dfrac{6}{7} + 1.5 - \dfrac{1}{7}$，交换后应为$\dfrac{6}{7} - \dfrac{1}{7} + 1.5$，选项中把$1.5$的符号改为负，错误。
【答案】
C
【知识点】
有理数加法交换律
【点评】
本题考查有理数加法交换律的基础应用，关键是掌握“交换加数需连同符号一起移动”的要点，属于易得分的基础题，需避免符号处理错误。
【难度系数】
0.7
要判断交换加数位置的变形是否正确，需牢记核心规则：交换加数位置时，每个加数必须连同它前面的符号一起移动，不能仅交换数字而改变符号。我们逐一分析选项，验证是否符合该规则。
【解析】
根据有理数加法交换律，交换加数位置时符号保持不变：
选项A：原式为$-3 + 4 - 3$，交换后应为$-3 - 3 + 4$，选项中变为$-3 + 3 - 4$，改变了数字符号，错误；
选项B：原式为$-3 + 4 - 3$，交换后应为$-3 - 3 + 4$，选项中把$4$的符号改为负，错误；
选项C：原式为$\dfrac{6}{7} + 1.5 - \dfrac{1}{7}$，交换后为$\dfrac{6}{7} - \dfrac{1}{7} + 1.5$，每个加数都带着自身符号移动，符合规则，正确；
选项D：原式为$\dfrac{6}{7} + 1.5 - \dfrac{1}{7}$，交换后应为$\dfrac{6}{7} - \dfrac{1}{7} + 1.5$，选项中把$1.5$的符号改为负，错误。
【答案】
C
【知识点】
有理数加法交换律
【点评】
本题考查有理数加法交换律的基础应用，关键是掌握“交换加数需连同符号一起移动”的要点，属于易得分的基础题，需避免符号处理错误。
【难度系数】
0.7
2. (2025·河北石家庄裕华区期末)小明同学在解题时，将式子 $-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+(-\dfrac{2}{3})-(-\dfrac{3}{5})$ 变成 $[-\dfrac{1}{3}+(-\dfrac{2}{3})]+[\dfrac{2}{5}-(-\dfrac{3}{5})]$ 后再进行计算,该同学运用了(
A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律和结合律
D.分配律
C
).A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律和结合律
D.分配律
答案
2.C
解析
【分析】首先对比原式与变形后的式子，判断运算律的应用：原式为$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+(-\dfrac{2}{3})-(-\dfrac{3}{5})$，变形后为$[-\dfrac{1}{3}+(-\dfrac{2}{3})]+[\dfrac{2}{5}-(-\dfrac{3}{5})]$。第一步，原式中$\dfrac{2}{5}$与$-\dfrac{2}{3}$的位置发生了交换，符合加法交换律（两个数相加，交换加数的位置，和不变）；第二步，将同分母的$-\dfrac{1}{3}$与$-\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{2}{5}$与$-(-\dfrac{3}{5})$分别结合计算，符合加法结合律（三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变），因此该同学同时运用了两种运算律。
【解析】先明确运算律定义：加法交换律为$a+b=b+a$，加法结合律为$(a+b)+c=a+(b+c)$。原式变形时，先交换了$\dfrac{2}{5}$与$-\dfrac{2}{3}$的位置（加法交换律），再将同分母的两个加数分别结合（加法结合律），得到$[-\dfrac{1}{3}+(-\dfrac{2}{3})]+[\dfrac{2}{5}-(-\dfrac{3}{5})]$，因此运用了加法交换律和结合律，对应选项C。
【答案】C
【知识点】加法运算律
【点评】本题考查加法运算律的识别，核心是区分“加数位置变化（交换律）”和“运算顺序变化（结合律）”，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】先明确运算律定义：加法交换律为$a+b=b+a$，加法结合律为$(a+b)+c=a+(b+c)$。原式变形时，先交换了$\dfrac{2}{5}$与$-\dfrac{2}{3}$的位置（加法交换律），再将同分母的两个加数分别结合（加法结合律），得到$[-\dfrac{1}{3}+(-\dfrac{2}{3})]+[\dfrac{2}{5}-(-\dfrac{3}{5})]$，因此运用了加法交换律和结合律，对应选项C。
【答案】C
【知识点】加法运算律
【点评】本题考查加法运算律的识别，核心是区分“加数位置变化（交换律）”和“运算顺序变化（结合律）”，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 上午 10:00 的气温为 $18\ °\mathrm{C},$ 到中午 12:00 气温上升了 $4\ °\mathrm{C},$ 到晚上 6:00 气温又下降了$9\ °\mathrm{C},$ 则晚上 6:00 的气温是
13
$°\mathrm{C}.$答案
3.13
解析
【分析】本题是气温变化的计算问题，解题思路是按照时间顺序，先利用加法算出中午12:00的气温，再用减法算出晚上6:00的气温，气温上升用加法、下降用减法，逐步运算即可得到结果。
【解析】解：上午10:00气温为18℃，中午12:00气温上升4℃，则中午12:00的气温为 $18 + 4 = 22\ (°\mathrm{C})$；晚上6:00气温下降9℃，则晚上6:00的气温为 $22 - 9 = 13\ (°\mathrm{C})$。综合列式为：$18 + 4 - 9 = 13\ (°\mathrm{C})$。
【答案】13
【知识点】有理数的加减混合运算；温度的实际应用
【点评】本题结合生活实际考查有理数的加减运算，属于基础题，只要理清气温变化的加减逻辑就能快速解答，可帮助学生巩固有理数运算的实际应用能力。
【难度系数】0.9
【解析】解：上午10:00气温为18℃，中午12:00气温上升4℃，则中午12:00的气温为 $18 + 4 = 22\ (°\mathrm{C})$；晚上6:00气温下降9℃，则晚上6:00的气温为 $22 - 9 = 13\ (°\mathrm{C})$。综合列式为：$18 + 4 - 9 = 13\ (°\mathrm{C})$。
【答案】13
【知识点】有理数的加减混合运算；温度的实际应用
【点评】本题结合生活实际考查有理数的加减运算，属于基础题，只要理清气温变化的加减逻辑就能快速解答，可帮助学生巩固有理数运算的实际应用能力。
【难度系数】0.9
4. 教材P39例5·变式（2024·徐州期中）计算：
(1)$-12-(-18)+(-7)$；
(2)$(-1\dfrac{1}{2})+1.25+(-8.5)+10\dfrac{3}{4}.$
(1)$-12-(-18)+(-7)$；
(2)$(-1\dfrac{1}{2})+1.25+(-8.5)+10\dfrac{3}{4}.$
答案
4. (1)原式$=-12+18-7=-1.$
(2)原式$=-1.5+(-8.5)+(1.25+10.75)=-10+12=2.$
(2)原式$=-1.5+(-8.5)+(1.25+10.75)=-10+12=2.$
解析
【分析】
本题考查有理数的加减混合运算，解题思路如下：
(1) 对于有理数的加减混合运算，先根据“减去一个数等于加上它的相反数”，将减法转化为加法，再按规则计算；
(2) 对于分数与小数混合的加减运算，先将带分数化为小数，再利用加法交换律和结合律，把能凑整的数分组，简化计算过程。
【解析】
(1) 原式$=-12 + 18 + (-7)$
$= (-12 -7) + 18$
$= -19 + 18$
$= -1$；
(2) 先将带分数化为小数：$-1\dfrac{1}{2}=-1.5$，$10\dfrac{3}{4}=10.75$，
原式$=-1.5 + 1.25 + (-8.5) + 10.75$
利用加法交换律和结合律分组：
$= (-1.5 -8.5) + (1.25 + 10.75)$
$= -10 + 12$
$= 2$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $2$
【知识点】
有理数的加减混合运算，加法运算律
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，重点考查减法法则的应用及加法运算律的简便运算，需注意符号处理，合理分组可提升计算效率，适合巩固有理数运算的基础能力。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的加减混合运算，解题思路如下：
(1) 对于有理数的加减混合运算，先根据“减去一个数等于加上它的相反数”，将减法转化为加法，再按规则计算；
(2) 对于分数与小数混合的加减运算，先将带分数化为小数，再利用加法交换律和结合律，把能凑整的数分组，简化计算过程。
【解析】
(1) 原式$=-12 + 18 + (-7)$
$= (-12 -7) + 18$
$= -19 + 18$
$= -1$；
(2) 先将带分数化为小数：$-1\dfrac{1}{2}=-1.5$，$10\dfrac{3}{4}=10.75$，
原式$=-1.5 + 1.25 + (-8.5) + 10.75$
利用加法交换律和结合律分组：
$= (-1.5 -8.5) + (1.25 + 10.75)$
$= -10 + 12$
$= 2$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $2$
【知识点】
有理数的加减混合运算，加法运算律
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，重点考查减法法则的应用及加法运算律的简便运算，需注意符号处理，合理分组可提升计算效率，适合巩固有理数运算的基础能力。
【难度系数】
0.8
5. 小嘉全班在操场上围坐成一圈. 若以班长为第1人,依顺时针方向算人数,小嘉是第17人;若以班长为第1人,依逆时针方向算人数,小嘉是第21人.则小嘉班上共有(
A.36人
B.37人
C.38人
D.39人
A
).A.36人
B.37人
C.38人
D.39人
答案
5.A [解析]根据题意知,小嘉和班长两次都数了,所以班上共有 17+21-2=36(人).故选 A.
解析
【分析】
这是环形排列的计数问题，解题思路为：明确顺时针和逆时针计数时，班长和小嘉都被重复计数了一次，因此总人数等于两次计数的和减去重复计数的2人。先确定顺时针数的17人包含班长和小嘉，逆时针数的21人也包含班长和小嘉，两者相加时，班长和小嘉各多算1次，需减去重复的2次。
【解析】
根据题意，以班长为第1人顺时针数，小嘉是第17人，该计数包含班长和小嘉；以班长为第1人逆时针数，小嘉是第21人，该计数同样包含班长和小嘉。由于是围成一圈，班长和小嘉被重复计数，因此班级总人数为：17 + 21 - 2 = 36（人）。
【答案】
A
【知识点】
环形计数、重复元素处理
【点评】
本题考查环形排列中的人数计算，核心是识别重复计数的部分，避免直接相加导致结果偏大，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
这是环形排列的计数问题，解题思路为：明确顺时针和逆时针计数时，班长和小嘉都被重复计数了一次，因此总人数等于两次计数的和减去重复计数的2人。先确定顺时针数的17人包含班长和小嘉，逆时针数的21人也包含班长和小嘉，两者相加时，班长和小嘉各多算1次，需减去重复的2次。
【解析】
根据题意，以班长为第1人顺时针数，小嘉是第17人，该计数包含班长和小嘉；以班长为第1人逆时针数，小嘉是第21人，该计数同样包含班长和小嘉。由于是围成一圈，班长和小嘉被重复计数，因此班级总人数为：17 + 21 - 2 = 36（人）。
【答案】
A
【知识点】
环形计数、重复元素处理
【点评】
本题考查环形排列中的人数计算，核心是识别重复计数的部分，避免直接相加导致结果偏大，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
6. (广西南宁三中自主招生)某中学派40名学生参加运动会,其中得金牌的12人,得银牌的5人,得铜牌的8人,同时得金、银牌的2人,同时得金、铜牌的6人,同时得银、铜牌的3人,同时得金、银、铜牌的1人,那么这所中学派出的学生中没有得奖牌的有
25
人.答案
6. 25 [解析]$40-(12+5+8-2-6-3+1)=40-15=25$(人).
故这所中学派出的学生中没有得奖牌的有 25 人.
思路引导 本题主要考查了有理数的加减混合运算,解答本题的关键是要明确:这所中学派出的学生中得奖牌的人数=得金牌的人数+得银牌的人数+得铜牌的人数一同时得金、银牌的人数一同时得金、铜牌的人数一同时得银、铜牌的人数+同时得金、银、铜牌的人数.
故这所中学派出的学生中没有得奖牌的有 25 人.
思路引导 本题主要考查了有理数的加减混合运算,解答本题的关键是要明确:这所中学派出的学生中得奖牌的人数=得金牌的人数+得银牌的人数+得铜牌的人数一同时得金、银牌的人数一同时得金、铜牌的人数一同时得银、铜牌的人数+同时得金、银、铜牌的人数.
解析
【分析】
要计算没有得奖牌的人数，需先求出得奖牌的总人数。由于得金、银、铜牌的人数存在重叠，需用三集合容斥原理修正重复计数部分：得奖牌人数=得金牌人数+得银牌人数+得铜牌人数 - 同时得金、银的人数 - 同时得金、铜的人数 - 同时得银、铜的人数 + 同时得金、银、铜的人数（三个都得的部分在减两两重叠时被多减，需补回），再用总人数减去得奖牌人数即可。
【解析】
1. 计算得奖牌的总人数：
根据三集合容斥原理，得奖牌人数 = 12 + 5 + 8 - 2 - 6 - 3 + 1 = 15（人）
2. 计算没有得奖牌的人数：
没有得奖牌人数 = 总人数 - 得奖牌人数 = 40 - 15 = 25（人）
【答案】
25
【知识点】
三集合容斥原理、有理数加减混合运算
【点评】
本题考查三集合容斥原理的实际应用，核心是掌握重叠部分的计数修正规则，属于基础应用类题目，需准确运用公式避免重复或遗漏计数。
【难度系数】
0.6
要计算没有得奖牌的人数，需先求出得奖牌的总人数。由于得金、银、铜牌的人数存在重叠，需用三集合容斥原理修正重复计数部分：得奖牌人数=得金牌人数+得银牌人数+得铜牌人数 - 同时得金、银的人数 - 同时得金、铜的人数 - 同时得银、铜的人数 + 同时得金、银、铜的人数（三个都得的部分在减两两重叠时被多减，需补回），再用总人数减去得奖牌人数即可。
【解析】
1. 计算得奖牌的总人数：
根据三集合容斥原理，得奖牌人数 = 12 + 5 + 8 - 2 - 6 - 3 + 1 = 15（人）
2. 计算没有得奖牌的人数：
没有得奖牌人数 = 总人数 - 得奖牌人数 = 40 - 15 = 25（人）
【答案】
25
【知识点】
三集合容斥原理、有理数加减混合运算
【点评】
本题考查三集合容斥原理的实际应用，核心是掌握重叠部分的计数修正规则，属于基础应用类题目，需准确运用公式避免重复或遗漏计数。
【难度系数】
0.6
7. 分类讨论思想 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：
如：$(-1)\#2\#3=\dfrac{|-1-2-3|+(-1)+2+3}{2}=5$.
(1) 计算：$4\#(-2)\#(-5)=$
(2) 计算：$3\#(-7)\#\dfrac{11}{3}=$
(3) 在$-\dfrac{6}{7},-\dfrac{5}{7},\dots,-\dfrac{1}{7},0,\dfrac{1}{9},\dfrac{2}{9},\dots,\dfrac{8}{9}$这15个数中：
①任取三个数作为$a,b,c$的值，进行“$a\#b\#c$”运算，则所有计算结果的最小值是
②若将这15个数任意分成5组，每组三个数，进行“$a\#b\#c$”运算，得到5个不同的结果，由于分组不同，所以5个运算的结果也不同，那么5个结果之和的最大值是
如：$(-1)\#2\#3=\dfrac{|-1-2-3|+(-1)+2+3}{2}=5$.
(1) 计算：$4\#(-2)\#(-5)=$
4
；(2) 计算：$3\#(-7)\#\dfrac{11}{3}=$
3
；(3) 在$-\dfrac{6}{7},-\dfrac{5}{7},\dots,-\dfrac{1}{7},0,\dfrac{1}{9},\dfrac{2}{9},\dots,\dfrac{8}{9}$这15个数中：
①任取三个数作为$a,b,c$的值，进行“$a\#b\#c$”运算，则所有计算结果的最小值是
$-\dfrac{6}{7}$
；②若将这15个数任意分成5组，每组三个数，进行“$a\#b\#c$”运算，得到5个不同的结果，由于分组不同，所以5个运算的结果也不同，那么5个结果之和的最大值是
4
.答案
7. (1)4 (2)3
(3)①$-\dfrac{6}{7}$ [解析]分两种情况：
当$a≥ b+c$时，
$a\#b\#c=\dfrac{a-b-c+a+b+c}{2}=a$，
当$a$最小,即$a=-\dfrac{6}{7}$时,有最小值$-\dfrac{6}{7}$；
当$a＜b+c$时，
$a\#b\#c=\dfrac{-a+b+c+a+b+c}{2}=b+c$，
当$b+c$最小时,$a\#b\#c$的值最小.
因为$a＜b+c$，
所以$a=-\dfrac{6}{7},b+c$的最小值为$-\dfrac{5}{7},-\dfrac{6}{7}＜-\dfrac{5}{7}$.
故在“$a\#b\#c$”运算中,所有计算结果的最小值是$-\dfrac{6}{7}$.
②4 [解析]因为当$a=-\dfrac{6}{7},b=\dfrac{1}{9},c=\dfrac{2}{9}$时,原式$=\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{3}$；当$a=-\dfrac{5}{7},b=\dfrac{1}{3},c=\dfrac{4}{9}$时,原式$=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{7}{9}$；当$a=-\dfrac{4}{7},b=\dfrac{5}{9},c=\dfrac{2}{3}$时,原式$=\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{9}$；当$a=-\dfrac{3}{7},b=\dfrac{7}{9},c=\dfrac{8}{9}$时,原式$=\dfrac{7}{9}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{5}{3}$；当$a=0,b=-\dfrac{1}{7},c=-\dfrac{2}{7}$时,原式$=0$,所以五个结果之和的最大值为$\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{11}{9}+\dfrac{5}{3}=4$.
关键提醒 本题考查的是有理数的加减混合运算,根据题意列出有理数相加减的式子是解题的关键.
(3)①$-\dfrac{6}{7}$ [解析]分两种情况：
当$a≥ b+c$时，
$a\#b\#c=\dfrac{a-b-c+a+b+c}{2}=a$，
当$a$最小,即$a=-\dfrac{6}{7}$时,有最小值$-\dfrac{6}{7}$；
当$a＜b+c$时，
$a\#b\#c=\dfrac{-a+b+c+a+b+c}{2}=b+c$，
当$b+c$最小时,$a\#b\#c$的值最小.
因为$a＜b+c$，
所以$a=-\dfrac{6}{7},b+c$的最小值为$-\dfrac{5}{7},-\dfrac{6}{7}＜-\dfrac{5}{7}$.
故在“$a\#b\#c$”运算中,所有计算结果的最小值是$-\dfrac{6}{7}$.
②4 [解析]因为当$a=-\dfrac{6}{7},b=\dfrac{1}{9},c=\dfrac{2}{9}$时,原式$=\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{3}$；当$a=-\dfrac{5}{7},b=\dfrac{1}{3},c=\dfrac{4}{9}$时,原式$=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{7}{9}$；当$a=-\dfrac{4}{7},b=\dfrac{5}{9},c=\dfrac{2}{3}$时,原式$=\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{9}$；当$a=-\dfrac{3}{7},b=\dfrac{7}{9},c=\dfrac{8}{9}$时,原式$=\dfrac{7}{9}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{5}{3}$；当$a=0,b=-\dfrac{1}{7},c=-\dfrac{2}{7}$时,原式$=0$,所以五个结果之和的最大值为$\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{11}{9}+\dfrac{5}{3}=4$.
关键提醒 本题考查的是有理数的加减混合运算,根据题意列出有理数相加减的式子是解题的关键.
解析
【分析】首先明确新运算“#”的法则为：对于三个数$a,b,c$，运算结果是$\dfrac{|a-b-c|+a+b+c}{2}$。解题时需利用绝对值的性质分两种情况讨论：当$a-b-c≥0$时，$|a-b-c|=a-b-c$，代入化简得结果为$a$；当$a-b-c＜0$时，$|a-b-c|=-a+b+c$，代入化简得结果为$b+c$。再根据化简后的式子计算前两小问，第三问的最值问题需结合数的范围，分析$a$和$b+c$的最小/最大值，分组求和时要让每组结果尽可能大，从而得到总和的最大值。
【解析】
先化简新运算：
当$a≥ b+c$时，$|a-b-c|=a-b-c$，则：
$a\#b\#c=\dfrac{(a-b-c)+a+b+c}{2}=\dfrac{2a}{2}=a$；
当$a ＜ b+c$时，$|a-b-c|=-a+b+c$，则：
$a\#b\#c=\dfrac{(-a+b+c)+a+b+c}{2}=\dfrac{2(b+c)}{2}=b+c$。
(1) 计算$4\#(-2)\#(-5)$：
$a=4$，$b+c=-2+(-5)=-7$，因为$4 ＞ -7$，属于$a≥ b+c$的情况，结果为$a=4$。
(2) 计算$3\#(-7)\#\dfrac{11}{3}$：
$a=3$，$b+c=-7+\dfrac{11}{3}=-\dfrac{10}{3}$，因为$3 ＞ -\dfrac{10}{3}$，属于$a≥ b+c$的情况，结果为$a=3$。
(3) ① 求所有计算结果的最小值：
分两种情况：
情况1：当$a≥ b+c$时，结果为$a$，此时最小的$a$是$-\dfrac{6}{7}$；
情况2：当$a ＜ b+c$时，结果为$b+c$，此时最小的$b+c$是$-\dfrac{5}{7}$，且$-\dfrac{6}{7} ＜ -\dfrac{5}{7}$，故最小值为$-\dfrac{6}{7}$。
② 求5个结果之和的最大值：
要让每组结果尽可能大，优先让每组结果为$b+c$，分组后5个结果分别为$\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{7}{9}$、$\dfrac{11}{9}$、$\dfrac{5}{3}$、$0$，总和为$\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{11}{9}+\dfrac{5}{3}=4$，故最大值为$4$。
【答案】
(1)4；(2)3；(3)①$-\dfrac{6}{7}$；②4
【知识点】
有理数加减混合运算、绝对值性质、分类讨论思想
【点评】
本题是新定义运算题，核心是通过绝对值性质对新运算分类化简，考查逻辑分析与计算能力，第三问需结合数的范围分析最值，分组求和时要最大化每组结果，综合性较强。
【难度系数】
0.5
【解析】
先化简新运算：
当$a≥ b+c$时，$|a-b-c|=a-b-c$，则：
$a\#b\#c=\dfrac{(a-b-c)+a+b+c}{2}=\dfrac{2a}{2}=a$；
当$a ＜ b+c$时，$|a-b-c|=-a+b+c$，则：
$a\#b\#c=\dfrac{(-a+b+c)+a+b+c}{2}=\dfrac{2(b+c)}{2}=b+c$。
(1) 计算$4\#(-2)\#(-5)$：
$a=4$，$b+c=-2+(-5)=-7$，因为$4 ＞ -7$，属于$a≥ b+c$的情况，结果为$a=4$。
(2) 计算$3\#(-7)\#\dfrac{11}{3}$：
$a=3$，$b+c=-7+\dfrac{11}{3}=-\dfrac{10}{3}$，因为$3 ＞ -\dfrac{10}{3}$，属于$a≥ b+c$的情况，结果为$a=3$。
(3) ① 求所有计算结果的最小值：
分两种情况：
情况1：当$a≥ b+c$时，结果为$a$，此时最小的$a$是$-\dfrac{6}{7}$；
情况2：当$a ＜ b+c$时，结果为$b+c$，此时最小的$b+c$是$-\dfrac{5}{7}$，且$-\dfrac{6}{7} ＜ -\dfrac{5}{7}$，故最小值为$-\dfrac{6}{7}$。
② 求5个结果之和的最大值：
要让每组结果尽可能大，优先让每组结果为$b+c$，分组后5个结果分别为$\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{7}{9}$、$\dfrac{11}{9}$、$\dfrac{5}{3}$、$0$，总和为$\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{11}{9}+\dfrac{5}{3}=4$，故最大值为$4$。
【答案】
(1)4；(2)3；(3)①$-\dfrac{6}{7}$；②4
【知识点】
有理数加减混合运算、绝对值性质、分类讨论思想
【点评】
本题是新定义运算题，核心是通过绝对值性质对新运算分类化简，考查逻辑分析与计算能力，第三问需结合数的范围分析最值，分组求和时要最大化每组结果，综合性较强。
【难度系数】
0.5
