登录
11. 新情境 直升机表演 某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演.表演过程中一架直升机A从地面起飞后前5次表演的高度变化情况(单位:千米,规定上升为正,下降为负)为:$+3.6,-2.4,+2.8,-1.5,+0.9.$
(1)将这次表演过程中,直升机5次表演的高度填在如表中:
(2)若另一架直升机B在做花式飞行表演时,从地面起飞后前4次的高度变化情况为:$+3.8,-2,+4.1,-2.3$.若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同,求直升机B的第5个动作是上升还是下降,上升或下降多少千米.
(1)将这次表演过程中,直升机5次表演的高度填在如表中:
(2)若另一架直升机B在做花式飞行表演时,从地面起飞后前4次的高度变化情况为:$+3.8,-2,+4.1,-2.3$.若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同,求直升机B的第5个动作是上升还是下降,上升或下降多少千米.
答案
(1)3.6 1.2 4 2.5 3.4
(2)直升机B前4次的高度为$3.8-2+4.1-2.3=3.6$(千米),
$\therefore$第5个动作需要$3.4-3.6=-0.2$(千米),
即需下降0.2千米.
(2)直升机B前4次的高度为$3.8-2+4.1-2.3=3.6$(千米),
$\therefore$第5个动作需要$3.4-3.6=-0.2$(千米),
即需下降0.2千米.
解析
【分析】
1. 第(1)问：直升机初始高度为地面（0千米），每次表演后的高度是前一次高度加上本次的高度变化（规定上升为正，下降为负），依次计算5次表演后的高度，填入表格即可。
2. 第(2)问：先计算直升机A完成5次表演后的总高度（即第(1)问的第5次高度）；再计算直升机B前4次表演后的总高度；要使B完成第5次后与A的高度相同，用A的总高度减去B前4次的总高度，结果为负表示下降，绝对值为下降距离，正数表示上升。
【解析】
(1) 计算每次表演后的高度：
第1次高度：$0 + 3.6 = 3.6$（千米）
第2次高度：$3.6 + (-2.4) = 1.2$（千米）
第3次高度：$1.2 + 2.8 = 4$（千米）
第4次高度：$4 + (-1.5) = 2.5$（千米）
第5次高度：$2.5 + 0.9 = 3.4$（千米）
故表格中依次填入：3.6、1.2、4、2.5、3.4。
(2) 直升机A完成5次后的高度为3.4千米；
直升机B前4次表演后的高度：
$3.8 - 2 + 4.1 - 2.3 = 3.6$（千米）
设直升机B第5次的高度变化为$x$千米，根据题意：
$3.6 + x = 3.4$
解得$x = 3.4 - 3.6 = -0.2$（千米）
负号表示下降，即直升机B的第5个动作是下降，下降0.2千米。
【答案】
(1) 表格依次填：3.6、1.2、4、2.5、3.4；
(2) 直升机B的第5个动作是下降，下降0.2千米。
【知识点】
有理数的加减运算、正负数的实际意义
【点评】
本题结合直升机表演的实际情境，考查有理数加减运算的应用，核心是理解正负数表示上升、下降的含义，逐步计算即可解决，贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：直升机初始高度为地面（0千米），每次表演后的高度是前一次高度加上本次的高度变化（规定上升为正，下降为负），依次计算5次表演后的高度，填入表格即可。
2. 第(2)问：先计算直升机A完成5次表演后的总高度（即第(1)问的第5次高度）；再计算直升机B前4次表演后的总高度；要使B完成第5次后与A的高度相同，用A的总高度减去B前4次的总高度，结果为负表示下降，绝对值为下降距离，正数表示上升。
【解析】
(1) 计算每次表演后的高度：
第1次高度：$0 + 3.6 = 3.6$（千米）
第2次高度：$3.6 + (-2.4) = 1.2$（千米）
第3次高度：$1.2 + 2.8 = 4$（千米）
第4次高度：$4 + (-1.5) = 2.5$（千米）
第5次高度：$2.5 + 0.9 = 3.4$（千米）
故表格中依次填入：3.6、1.2、4、2.5、3.4。
(2) 直升机A完成5次后的高度为3.4千米；
直升机B前4次表演后的高度：
$3.8 - 2 + 4.1 - 2.3 = 3.6$（千米）
设直升机B第5次的高度变化为$x$千米，根据题意：
$3.6 + x = 3.4$
解得$x = 3.4 - 3.6 = -0.2$（千米）
负号表示下降，即直升机B的第5个动作是下降，下降0.2千米。
【答案】
(1) 表格依次填：3.6、1.2、4、2.5、3.4；
(2) 直升机B的第5个动作是下降，下降0.2千米。
【知识点】
有理数的加减运算、正负数的实际意义
【点评】
本题结合直升机表演的实际情境，考查有理数加减运算的应用，核心是理解正负数表示上升、下降的含义，逐步计算即可解决，贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.6
12. 分类讨论思想 (1)已知$|a| = 5$，$|b| = 7$，求$a - b$的值；
(2)在(1)的条件下，若$|a - b| = |a| + |b|$，求$a - b$的值；
(3)在(1)的条件下，若$|a + b| = a + b$，求$a - b$的值.
[二维码]
精题详解
(2)在(1)的条件下，若$|a - b| = |a| + |b|$，求$a - b$的值；
(3)在(1)的条件下，若$|a + b| = a + b$，求$a - b$的值.
[二维码]
精题详解
答案
(1)因为$|a|=5,|b|=7$,所以$a=\pm5,b=\pm7$.
当$a=5,b=7$时,$a-b=5-7=-2$;
当$a=5,b=-7$时,$a-b=5-(-7)=12$;
当$a=-5,b=-7$时,$a-b=-5-(-7)=2$;
当$a=-5,b=7$时,$a-b=-5-7=-12$.
综上,$a-b$的值为$-2$或$12$或$2$或$-12$.
(2)当$a=5,b=7$时,
$|a-b|=|5-7|=2,|a|+|b|=12$,
不符合题意,舍去.
当$a=5,b=-7$时,$|a-b|=|5-(-7)|=12$,
$|a|+|b|=12$,
所以$|a-b|=|a|+|b|$,所以$a-b=12$.
当$a=-5,b=-7$时,所以$|a-b|=|-5-(-7)|=2$,
$|a|+|b|=12$,
不符合题意,舍去.
当$a=-5,b=7$时,$|a-b|=|-5-7|=12$,
$|a|+|b|=12$,
所以$|a-b|=|a|+|b|$,所以$a-b=-12$.
综上,$a-b$的值为$12$或$-12$.
(3)当$a=5,b=7$时,$|a+b|=|5+7|=12,a+b=12$,
所以$|a+b|=a+b$,所以$a-b=-2$.
当$a=5,b=-7$时,$|a+b|=|5-7|=2,a+b=-2$,
所以不符合题意,舍去.
当$a=-5,b=-7$时,$|a+b|=|-5-7|=12,a+b=-12$,
不符合题意,舍去.
当$a=-5,b=7$时,$|a+b|=|-5+7|=2,a+b=2$,
所以$|a+b|=a+b$,所以$a-b=-5-7=-12$.
综上,$a-b$的值为$-2$或$-12$.
当$a=5,b=7$时,$a-b=5-7=-2$;
当$a=5,b=-7$时,$a-b=5-(-7)=12$;
当$a=-5,b=-7$时,$a-b=-5-(-7)=2$;
当$a=-5,b=7$时,$a-b=-5-7=-12$.
综上,$a-b$的值为$-2$或$12$或$2$或$-12$.
(2)当$a=5,b=7$时,
$|a-b|=|5-7|=2,|a|+|b|=12$,
不符合题意,舍去.
当$a=5,b=-7$时,$|a-b|=|5-(-7)|=12$,
$|a|+|b|=12$,
所以$|a-b|=|a|+|b|$,所以$a-b=12$.
当$a=-5,b=-7$时,所以$|a-b|=|-5-(-7)|=2$,
$|a|+|b|=12$,
不符合题意,舍去.
当$a=-5,b=7$时,$|a-b|=|-5-7|=12$,
$|a|+|b|=12$,
所以$|a-b|=|a|+|b|$,所以$a-b=-12$.
综上,$a-b$的值为$12$或$-12$.
(3)当$a=5,b=7$时,$|a+b|=|5+7|=12,a+b=12$,
所以$|a+b|=a+b$,所以$a-b=-2$.
当$a=5,b=-7$时,$|a+b|=|5-7|=2,a+b=-2$,
所以不符合题意,舍去.
当$a=-5,b=-7$时,$|a+b|=|-5-7|=12,a+b=-12$,
不符合题意,舍去.
当$a=-5,b=7$时,$|a+b|=|-5+7|=2,a+b=2$,
所以$|a+b|=a+b$,所以$a-b=-5-7=-12$.
综上,$a-b$的值为$-2$或$-12$.
解析
【分析】
本题考查绝对值的性质与分类讨论思想，解题思路为：先根据绝对值的定义，由$|a|=5$得$a=\pm5$，$|b|=7$得$b=\pm7$，确定$a$、$b$的所有取值组合（共4种）；再针对每个小问的条件，逐一验证每种组合是否满足要求，进而计算对应的$a-b$的值，最后汇总符合条件的结果。
【解析】
(1) 因为$|a|=5$，$|b|=7$，所以$a=\pm5$，$b=\pm7$。
当$a=5$，$b=7$时，$a-b=5-7=-2$；
当$a=5$，$b=-7$时，$a-b=5-(-7)=12$；
当$a=-5$，$b=-7$时，$a-b=-5-(-7)=2$；
当$a=-5$，$b=7$时，$a-b=-5-7=-12$。
综上，$a-b$的值为$-2$或$12$或$2$或$-12$。
(2) 结合(1)的取值，逐一验证：
当$a=5$，$b=7$时，$|a-b|=|5-7|=2$，$|a|+|b|=5+7=12$，$2≠12$，不符合题意，舍去；
当$a=5$，$b=-7$时，$|a-b|=|5-(-7)|=12$，$|a|+|b|=12$，符合题意，此时$a-b=12$；
当$a=-5$，$b=-7$时，$|a-b|=|-5-(-7)|=2$，$|a|+|b|=12$，$2≠12$，不符合题意，舍去；
当$a=-5$，$b=7$时，$|a-b|=|-5-7|=12$，$|a|+|b|=12$，符合题意，此时$a-b=-12$。
综上，$a-b$的值为$12$或$-12$。
(3) 结合(1)的取值，逐一验证：
当$a=5$，$b=7$时，$|a+b|=|5+7|=12$，$a+b=12$，$|a+b|=a+b$，符合题意，此时$a-b=-2$；
当$a=5$，$b=-7$时，$|a+b|=|5-7|=2$，$a+b=-2$，$2≠-2$，不符合题意，舍去；
当$a=-5$，$b=-7$时，$|a+b|=|-5-7|=12$，$a+b=-12$，$12≠-12$，不符合题意，舍去；
当$a=-5$，$b=7$时，$|a+b|=|-5+7|=2$，$a+b=2$，$|a+b|=a+b$，符合题意，此时$a-b=-12$。
综上，$a-b$的值为$-2$或$-12$。
【答案】
(1)$-2$或$12$或$2$或$-12$；(2)$12$或$-12$；(3)$-2$或$-12$
【知识点】
绝对值的性质，分类讨论思想，有理数的减法
【点评】
本题通过绝对值的定义确定变量的所有可能取值，结合不同条件进行分类讨论，考查学生对绝对值性质的理解和分类讨论思想的应用，需全面考虑所有情况，避免遗漏或错误筛选。
【难度系数】
0.5
本题考查绝对值的性质与分类讨论思想，解题思路为：先根据绝对值的定义，由$|a|=5$得$a=\pm5$，$|b|=7$得$b=\pm7$，确定$a$、$b$的所有取值组合（共4种）；再针对每个小问的条件，逐一验证每种组合是否满足要求，进而计算对应的$a-b$的值，最后汇总符合条件的结果。
【解析】
(1) 因为$|a|=5$，$|b|=7$，所以$a=\pm5$，$b=\pm7$。
当$a=5$，$b=7$时，$a-b=5-7=-2$；
当$a=5$，$b=-7$时，$a-b=5-(-7)=12$；
当$a=-5$，$b=-7$时，$a-b=-5-(-7)=2$；
当$a=-5$，$b=7$时，$a-b=-5-7=-12$。
综上，$a-b$的值为$-2$或$12$或$2$或$-12$。
(2) 结合(1)的取值，逐一验证：
当$a=5$，$b=7$时，$|a-b|=|5-7|=2$，$|a|+|b|=5+7=12$，$2≠12$，不符合题意，舍去；
当$a=5$，$b=-7$时，$|a-b|=|5-(-7)|=12$，$|a|+|b|=12$，符合题意，此时$a-b=12$；
当$a=-5$，$b=-7$时，$|a-b|=|-5-(-7)|=2$，$|a|+|b|=12$，$2≠12$，不符合题意，舍去；
当$a=-5$，$b=7$时，$|a-b|=|-5-7|=12$，$|a|+|b|=12$，符合题意，此时$a-b=-12$。
综上，$a-b$的值为$12$或$-12$。
(3) 结合(1)的取值，逐一验证：
当$a=5$，$b=7$时，$|a+b|=|5+7|=12$，$a+b=12$，$|a+b|=a+b$，符合题意，此时$a-b=-2$；
当$a=5$，$b=-7$时，$|a+b|=|5-7|=2$，$a+b=-2$，$2≠-2$，不符合题意，舍去；
当$a=-5$，$b=-7$时，$|a+b|=|-5-7|=12$，$a+b=-12$，$12≠-12$，不符合题意，舍去；
当$a=-5$，$b=7$时，$|a+b|=|-5+7|=2$，$a+b=2$，$|a+b|=a+b$，符合题意，此时$a-b=-12$。
综上，$a-b$的值为$-2$或$-12$。
【答案】
(1)$-2$或$12$或$2$或$-12$；(2)$12$或$-12$；(3)$-2$或$-12$
【知识点】
绝对值的性质，分类讨论思想，有理数的减法
【点评】
本题通过绝对值的定义确定变量的所有可能取值，结合不同条件进行分类讨论，考查学生对绝对值性质的理解和分类讨论思想的应用，需全面考虑所有情况，避免遗漏或错误筛选。
【难度系数】
0.5
13. 裂项相消法 对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：
$|7-6|=7-6;\ |6-7|=7-6;$
$\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};\ \left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}.$
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不用写出计算结果)：
①$\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right|=$
②$|3.14-π|=$
(2)当$a＞b$时，$|a-b|=$
(3)计算：$\left|\dfrac{1}{2}-1\right|+\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right|+\dots+\left|\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 024}\right|.$
[二维码]
精题详解
中考提分新题 提前感知中考常考题型与难度
$|7-6|=7-6;\ |6-7|=7-6;$
$\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};\ \left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}.$
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不用写出计算结果)：
①$\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right|=$
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$
；②$|3.14-π|=$
$π-3.14$
.(2)当$a＞b$时，$|a-b|=$
$a-b$
；当$a＜b$时，$|a-b|=$$b-a$
.(3)计算：$\left|\dfrac{1}{2}-1\right|+\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right|+\dots+\left|\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 024}\right|.$
[二维码]
精题详解
中考提分新题 提前感知中考常考题型与难度
答案
(1)①$\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$ ②$π-3.14$
(2)$a-b$ $b-a$
(3)原式$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025}=1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$.
(2)$a-b$ $b-a$
(3)原式$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025}=1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$.
解析
【分析】
本题主要考查绝对值的性质及裂项相消法的应用，解题思路如下：
1. 化简绝对值时，需利用绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，因此先判断绝对值内两数的大小关系，再去掉绝对值符号。
2. 第(1)问直接比较绝对值内两数大小去绝对值；第(2)问直接应用绝对值性质填空；第(3)问先去每个绝对值，发现中间项相互抵消，用裂项相消法简化计算，最后算首尾两项结果即可。
【解析】
(1) ① 因为$\frac{2}{3} ＞ \frac{2}{5}$，所以$\left|\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{3}-\frac{2}{5}$；
② 因为$π \approx 3.14159 ＞ 3.14$，所以$|3.14-π|=π - 3.14$；
(2) 当$a ＞ b$时，$a - b ＞ 0$，故$|a - b|=a - b$；当$a ＜ b$时，$a - b ＜ 0$，故$|a - b|=b - a$；
(3) 原式去绝对值后转化为：
$(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2024} - \frac{1}{2025})$
中间项依次抵消，仅剩首尾两项：
$1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025}$。
【答案】
(1) ①$\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$；②$π-3.14$
(2)$a-b$；$b-a$
(3)$\dfrac{2024}{2025}$
【知识点】
绝对值的性质，裂项相消法，有理数的加减运算
【点评】
本题是基础题型，考查绝对值的基本性质和裂项相消的运算技巧，是中考常考的基础考点，主要检验学生对绝对值概念的理解及运算能力，适合巩固相关知识点。
【难度系数】
0.6
本题主要考查绝对值的性质及裂项相消法的应用，解题思路如下：
1. 化简绝对值时，需利用绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，因此先判断绝对值内两数的大小关系，再去掉绝对值符号。
2. 第(1)问直接比较绝对值内两数大小去绝对值；第(2)问直接应用绝对值性质填空；第(3)问先去每个绝对值，发现中间项相互抵消，用裂项相消法简化计算，最后算首尾两项结果即可。
【解析】
(1) ① 因为$\frac{2}{3} ＞ \frac{2}{5}$，所以$\left|\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{3}-\frac{2}{5}$；
② 因为$π \approx 3.14159 ＞ 3.14$，所以$|3.14-π|=π - 3.14$；
(2) 当$a ＞ b$时，$a - b ＞ 0$，故$|a - b|=a - b$；当$a ＜ b$时，$a - b ＜ 0$，故$|a - b|=b - a$；
(3) 原式去绝对值后转化为：
$(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2024} - \frac{1}{2025})$
中间项依次抵消，仅剩首尾两项：
$1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025}$。
【答案】
(1) ①$\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$；②$π-3.14$
(2)$a-b$；$b-a$
(3)$\dfrac{2024}{2025}$
【知识点】
绝对值的性质，裂项相消法，有理数的加减运算
【点评】
本题是基础题型，考查绝对值的基本性质和裂项相消的运算技巧，是中考常考的基础考点，主要检验学生对绝对值概念的理解及运算能力，适合巩固相关知识点。
【难度系数】
0.6
14. (2024·长沙中考)“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是$-180\ °\mathrm{C}$、最高温度是$150\ °\mathrm{C}$，则它能够耐受的温差是(
A.$-180\ °\mathrm{C}$
B.$150\ °\mathrm{C}$
C.$30\ °\mathrm{C}$
D.$330\ °\mathrm{C}$
D
).A.$-180\ °\mathrm{C}$
B.$150\ °\mathrm{C}$
C.$30\ °\mathrm{C}$
D.$330\ °\mathrm{C}$
答案
[解析]由题意,得$150-(-180)=150+180=330(°\mathrm{C})$.故选D.
解析
【分析】首先明确温差的计算规则：温差等于最高温度减去最低温度。本题中已知最高温度为150℃，最低温度为-180℃，需根据有理数减法法则计算两者的差值，再匹配对应选项得出答案。
【解析】根据温差的定义，温差=最高温度-最低温度，代入题目数据计算：$150 - (-180) = 150 + 180 = 330(°\mathrm{C})$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】有理数的减法、温差计算
【点评】本题结合实际场景考查有理数减法的应用，属于基础题型，核心是掌握温差的计算方法和有理数减法法则，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】根据温差的定义，温差=最高温度-最低温度，代入题目数据计算：$150 - (-180) = 150 + 180 = 330(°\mathrm{C})$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】有理数的减法、温差计算
【点评】本题结合实际场景考查有理数减法的应用，属于基础题型，核心是掌握温差的计算方法和有理数减法法则，难度较低。
【难度系数】0.7
