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8.（2025·黑龙江绥化期末）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50 km 为标准，多于 50 km的记为“$+$”，不足 50 km 的记为“$-$”，刚好50 km 的记为“0”.
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一多走
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知新能源汽车每行驶 100 km 耗电量为15 度，每度电为 0.4 元，请计算小明家这 7 天的行驶费用是多少钱？
9. 已知一列数$2,0,-1,-\dfrac{1}{2}$.
(1)求最大的数和最小的数的差；
(2)若再添上一个有理数$m$，使得五个有理数的和为0，求$m$的值.
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一多走
49
km.(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知新能源汽车每行驶 100 km 耗电量为15 度，每度电为 0.4 元，请计算小明家这 7 天的行驶费用是多少钱？
9. 已知一列数$2,0,-1,-\dfrac{1}{2}$.
(1)求最大的数和最小的数的差；
(2)若再添上一个有理数$m$，使得五个有理数的和为0，求$m$的值.
答案
8. (1)49
(2)$50×7+(-8-10-14+0+24+31+35)=350+58=408$(千米),即小明家的新能源汽车这七天一共行驶 408 千米.
(3)$408÷100×15×0.4=24.48$(元),即小明家这 7 天的行驶费用是 24.48 元.
9. (1)$2-(-1)=2+1=3$.
(2)$2+0+(-1)+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}$，
$\because$五个有理数的和为 0,$\therefore m=-\dfrac{1}{2}$.
(2)$50×7+(-8-10-14+0+24+31+35)=350+58=408$(千米),即小明家的新能源汽车这七天一共行驶 408 千米.
(3)$408÷100×15×0.4=24.48$(元),即小明家这 7 天的行驶费用是 24.48 元.
9. (1)$2-(-1)=2+1=3$.
(2)$2+0+(-1)+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}$，
$\because$五个有理数的和为 0,$\therefore m=-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
第8题：首先明确题目中“正负数表示与50km的偏差”的意义，“+”表示超过50km，“-”表示不足50km。(1)需找到偏差最大的正数和最小的负数，计算两者的差；(2)总路程是7天的标准路程（每天50km）加上7天偏差的总和；(3)总费用需先算总路程，再结合每100km耗电量、每度电价格计算。第9题：(1)先找出给定数中的最大数和最小数，计算它们的差；(2)先求已知四个数的和，再根据五个数和为0，用0减去四个数的和得到m。
【解析】
8. (1) 路程最多的一天偏差为+35，最少的一天偏差为-14，两者差值为：$35 - (-14) = 49$（km）。
(2) 7天标准总路程：$50×7=350$（km），偏差总和：$-8-10-14+0+24+31+35=58$（km），总路程：$350+58=408$（km）。
(3) 总耗电量：$408÷100×15=61.2$（度），总费用：$61.2×0.4=24.48$（元）。
9. (1) 最大数是2，最小数是-1，差值：$2 - (-1)=3$。
(2) 四个数的和：$2+0+(-1)+(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，因五个数和为0，故$m=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
8. (1)49；(2)408千米；(3)24.48元；9. (1)3；(2)$-\frac{1}{2}$
【知识点】
正负数应用、有理数加减运算、有理数混合运算
【点评】
本题结合实际场景考查正负数意义和有理数运算，步骤清晰，只要理解题意、掌握运算规则即可解答，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
第8题：首先明确题目中“正负数表示与50km的偏差”的意义，“+”表示超过50km，“-”表示不足50km。(1)需找到偏差最大的正数和最小的负数，计算两者的差；(2)总路程是7天的标准路程（每天50km）加上7天偏差的总和；(3)总费用需先算总路程，再结合每100km耗电量、每度电价格计算。第9题：(1)先找出给定数中的最大数和最小数，计算它们的差；(2)先求已知四个数的和，再根据五个数和为0，用0减去四个数的和得到m。
【解析】
8. (1) 路程最多的一天偏差为+35，最少的一天偏差为-14，两者差值为：$35 - (-14) = 49$（km）。
(2) 7天标准总路程：$50×7=350$（km），偏差总和：$-8-10-14+0+24+31+35=58$（km），总路程：$350+58=408$（km）。
(3) 总耗电量：$408÷100×15=61.2$（度），总费用：$61.2×0.4=24.48$（元）。
9. (1) 最大数是2，最小数是-1，差值：$2 - (-1)=3$。
(2) 四个数的和：$2+0+(-1)+(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，因五个数和为0，故$m=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
8. (1)49；(2)408千米；(3)24.48元；9. (1)3；(2)$-\frac{1}{2}$
【知识点】
正负数应用、有理数加减运算、有理数混合运算
【点评】
本题结合实际场景考查正负数意义和有理数运算，步骤清晰，只要理解题意、掌握运算规则即可解答，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
10. (1)有 $1,2,3,···,11,12$ 共 12 个数字,请在每两个数字之间添上“$+$”或“$-$”,使它们的和为 0;
(2)若有 $1,2,3,···,2\ 023,2\ 024$,共 2 024 个数字,请在每两个数字之间添上“$+$”或“$-$”,使它们的和为 0;
(3)根据(1)(2)的规律,试判断能否在 1,2,$3,···,2\ 024,2\ 025$,共 2 025 个数字的每两个数字之间添上“$+$”或“$-$”,使它们的和为 0.若能,请说明添法;若不能,请说明理由.
精题详解
(2)若有 $1,2,3,···,2\ 023,2\ 024$,共 2 024 个数字,请在每两个数字之间添上“$+$”或“$-$”,使它们的和为 0;
(3)根据(1)(2)的规律,试判断能否在 1,2,$3,···,2\ 024,2\ 025$,共 2 025 个数字的每两个数字之间添上“$+$”或“$-$”,使它们的和为 0.若能,请说明添法;若不能,请说明理由.
精题详解
答案
10. (1)$1-2+3-4+5-6-7+8-9+10-11+12=0$.(答案不唯一)
(2)$1-2+3-4+5-6+\dots+1\ 011-1\ 012-1\ 013+1\ 014-1\ 015+1\ 016-\dots-2\ 021+2\ 022-2\ 023+2\ 024=0$.(答案不唯一)
(3)不能,因为 1 到 2 025 的总个数为奇数,每两个数字之间添上“$+$”或“$-$”,不能使它们的和为 0.
(2)$1-2+3-4+5-6+\dots+1\ 011-1\ 012-1\ 013+1\ 014-1\ 015+1\ 016-\dots-2\ 021+2\ 022-2\ 023+2\ 024=0$.(答案不唯一)
(3)不能,因为 1 到 2 025 的总个数为奇数,每两个数字之间添上“$+$”或“$-$”,不能使它们的和为 0.
解析
【分析】要使1到n的数间添“+”或“-”后和为0，需所有数的总和为偶数（因为总和=正数和+负数和=2×正数和，故总和必为偶数）。分情况讨论：(1)计算1到12的总和，判断为偶数，可构造符号使正数和等于负数和；(2)同理计算1到2024的总和，判断为偶数，可构造符号；(3)计算1到2025的总和，判断为奇数，无法分成两个相等的整数和，故不能。
【解析】
(1) 1到12的总和为：$ S_1 = \frac{12 × (12+1)}{2} = 78 $，要使和为0，需正数和=负数和= $ 78 ÷ 2 = 39 $，构造符号得：$ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 - 7 + 8 - 9 + 10 - 11 + 12 = 0 $（答案不唯一）。
(2) 1到2024的总和为：$ S_2 = \frac{2024 × (2024+1)}{2} = 1012 × 2025 $，显然为偶数，正数和=负数和= $ S_2 ÷ 2 $，构造符号得：$ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 1011 - 1012 - 1013 + 1014 - 1015 + 1016 - \dots - 2021 + 2022 - 2023 + 2024 = 0 $（答案不唯一）。
(3) 1到2025的总和为：$ S_3 = \frac{2025 × (2025+1)}{2} = 2025 × 1013 $，2025和1013均为奇数，乘积为奇数，故$ S_3 $是奇数。若要使和为0，需正数和=负数和，即总和=2×正数和，必为偶数，与总和为奇数矛盾，故不能。
【答案】
10. (1)$1-2+3-4+5-6-7+8-9+10-11+12=0$（答案不唯一）；(2)$1-2+3-4+5-6+\dots+1011-1012-1013+1014-1015+1016-\dots-2021+2022-2023+2024=0$（答案不唯一）；(3)不能，因为1到2025的总和为奇数，无法使正数和等于负数和，故不能使它们的和为0。
【知识点】有理数的加减运算、奇偶性判断、数字规律探究
【点评】本题通过构造符号使代数和为0，核心是利用总和的奇偶性分析，考查学生的逻辑推理能力，需理解代数和为0的条件，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 1到12的总和为：$ S_1 = \frac{12 × (12+1)}{2} = 78 $，要使和为0，需正数和=负数和= $ 78 ÷ 2 = 39 $，构造符号得：$ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 - 7 + 8 - 9 + 10 - 11 + 12 = 0 $（答案不唯一）。
(2) 1到2024的总和为：$ S_2 = \frac{2024 × (2024+1)}{2} = 1012 × 2025 $，显然为偶数，正数和=负数和= $ S_2 ÷ 2 $，构造符号得：$ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 1011 - 1012 - 1013 + 1014 - 1015 + 1016 - \dots - 2021 + 2022 - 2023 + 2024 = 0 $（答案不唯一）。
(3) 1到2025的总和为：$ S_3 = \frac{2025 × (2025+1)}{2} = 2025 × 1013 $，2025和1013均为奇数，乘积为奇数，故$ S_3 $是奇数。若要使和为0，需正数和=负数和，即总和=2×正数和，必为偶数，与总和为奇数矛盾，故不能。
【答案】
10. (1)$1-2+3-4+5-6-7+8-9+10-11+12=0$（答案不唯一）；(2)$1-2+3-4+5-6+\dots+1011-1012-1013+1014-1015+1016-\dots-2021+2022-2023+2024=0$（答案不唯一）；(3)不能，因为1到2025的总和为奇数，无法使正数和等于负数和，故不能使它们的和为0。
【知识点】有理数的加减运算、奇偶性判断、数字规律探究
【点评】本题通过构造符号使代数和为0，核心是利用总和的奇偶性分析，考查学生的逻辑推理能力，需理解代数和为0的条件，难度适中。
【难度系数】0.5
