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19.(6分)(东阳市)为了实现教育均衡发展,某县计划对A,B两类基础设施薄弱的学校进行全面改造,根据计算,共需资金1575万元。改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元;改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元。
(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?
(2)若该县A类学校不超过6所,则A,B类学校各有多少所?
(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?
(2)若该县A类学校不超过6所,则A,B类学校各有多少所?
答案
19.(1)设改造一所A类学校需x万元,改造一所B类学校需y万元。由题意得$\begin{cases} x+2y=230,\\2x+y=205, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=60,\\y=85。\end{cases}$所以改造一所A类学校需60万元,改造一所B类学校需85万元。
(2)设A类学校有a所,B类学校有b所。由题意得$60a+85b=1575$,因为$a≤6$,且a,b为自然数,所以$a=5,b=15$。所以A类学校有5所,B类学校有15所。
(2)设A类学校有a所,B类学校有b所。由题意得$60a+85b=1575$,因为$a≤6$,且a,b为自然数,所以$a=5,b=15$。所以A类学校有5所,B类学校有15所。
解析
【分析】
第(1)问是求改造A、B类学校的单所资金，属于二元一次方程组的应用，需设两个未知数，根据题目给出的两个等量关系（改造1所A类+2所B类需230万，改造2所A类+1所B类需205万）列方程组求解；第(2)问需结合总资金建立方程，再根据“A类学校不超过6所”及未知数为自然数的条件，求解不定方程的整数解，确定两类学校的数量。
【解析】
(1) 设改造一所A类学校需$x$万元，改造一所B类学校需$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 230 \\ 2x + y = 205 \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程乘2得$2x + 4y = 460$，减去第二个方程得：
$3y = 255$，解得$y = 85$；
把$y = 85$代入$x + 2y = 230$，得$x = 60$。
即改造一所A类学校需60万元，改造一所B类学校需85万元。
(2) 设A类学校有$a$所，B类学校有$b$所。
根据总资金1575万元，得方程：
$60a + 85b = 1575$，化简为$12a + 17b = 315$。
已知$a ≤ 6$，且$a$、$b$为自然数，对$a$从0到6逐一验证：
仅当$a = 5$时，$12×5 + 17b = 315$，解得$b = 15$，符合条件。
即A类学校有5所，B类学校有15所。
【答案】
(1) 改造一所A类学校需60万元，改造一所B类学校需85万元；(2) A类学校有5所，B类学校有15所。
【知识点】
二元一次方程组的应用、不定方程的应用
【点评】
本题为实际背景的应用题，第(1)问是基础的二元一次方程组求解，难度低；第(2)问需结合未知数的取值范围确定不定方程的解，考查逻辑分析能力，整体是常见的中等难度题型，需学生掌握方程组与不定方程的应用方法。
【难度系数】
0.6
第(1)问是求改造A、B类学校的单所资金，属于二元一次方程组的应用，需设两个未知数，根据题目给出的两个等量关系（改造1所A类+2所B类需230万，改造2所A类+1所B类需205万）列方程组求解；第(2)问需结合总资金建立方程，再根据“A类学校不超过6所”及未知数为自然数的条件，求解不定方程的整数解，确定两类学校的数量。
【解析】
(1) 设改造一所A类学校需$x$万元，改造一所B类学校需$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 230 \\ 2x + y = 205 \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程乘2得$2x + 4y = 460$，减去第二个方程得：
$3y = 255$，解得$y = 85$；
把$y = 85$代入$x + 2y = 230$，得$x = 60$。
即改造一所A类学校需60万元，改造一所B类学校需85万元。
(2) 设A类学校有$a$所，B类学校有$b$所。
根据总资金1575万元，得方程：
$60a + 85b = 1575$，化简为$12a + 17b = 315$。
已知$a ≤ 6$，且$a$、$b$为自然数，对$a$从0到6逐一验证：
仅当$a = 5$时，$12×5 + 17b = 315$，解得$b = 15$，符合条件。
即A类学校有5所，B类学校有15所。
【答案】
(1) 改造一所A类学校需60万元，改造一所B类学校需85万元；(2) A类学校有5所，B类学校有15所。
【知识点】
二元一次方程组的应用、不定方程的应用
【点评】
本题为实际背景的应用题，第(1)问是基础的二元一次方程组求解，难度低；第(2)问需结合未知数的取值范围确定不定方程的解，考查逻辑分析能力，整体是常见的中等难度题型，需学生掌握方程组与不定方程的应用方法。
【难度系数】
0.6
20.(8分)(丽水市)某商店甲、乙两种商品三天的销售情况记录如下表所示：
(1)财务主管在核查时发现:第一天的账目正确,但其他两天中有一天的账目有误。请你判断第几天的账目有误,并说明理由。
(2)求甲、乙商品的单价。
(1)财务主管在核查时发现:第一天的账目正确,但其他两天中有一天的账目有误。请你判断第几天的账目有误,并说明理由。
(2)求甲、乙商品的单价。
答案
20.(1)第二天的账目有误。理由如下:设甲、乙商品的单价分别为x,y元,可得:第一天:$39x+21y=321$①;第二天:$26x+14y=204$②;第三天:$39x+25y=345$③,由①÷3,得$13x+7y=107$,由②÷2,得$13x+7y=102$,因为第一天的账目正确,所以第二天的账目错误。
(2)由(1)得第二天的账目错误,所以$\begin{cases} 39x+21y=321①,\\39x+25y=345③, \end{cases}$③-①得$y=6$。把$y=6$代入①得$x=5$,所以方程组的解为$\begin{cases} x=5,\\y=6。\end{cases}$所以甲、乙商品的单价分别为5元、6元。
(2)由(1)得第二天的账目错误,所以$\begin{cases} 39x+21y=321①,\\39x+25y=345③, \end{cases}$③-①得$y=6$。把$y=6$代入①得$x=5$,所以方程组的解为$\begin{cases} x=5,\\y=6。\end{cases}$所以甲、乙商品的单价分别为5元、6元。
解析
【分析】
要判断哪一天账目有误，需先设甲、乙商品的单价，根据三天的销售数据列出对应方程。由于第一天账目正确，可将第二天、第三天的方程化简后与第一天的方程对比，若化简后得到的关系与第一天矛盾，则该天账目有误；确定正确的两天后，联立方程即可求解甲、乙商品的单价。
【解析】
(1) 设甲商品单价为$x$元，乙商品单价为$y$元。
根据三天的销售情况，列方程：
第一天：$39x + 21y = 321$ ①
第二天：$26x + 14y = 204$ ②
第三天：$39x + 25y = 345$ ③
将方程①两边同除以3，得$13x + 7y = 107$；
将方程②两边同除以2，得$13x + 7y = 102$；
因第一天账目正确，故$13x + 7y = 107$，与第二天化简后的结果矛盾，因此第二天的账目有误。
(2) 因第二天账目错误，联立第一天和第三天的方程：
$\begin{cases} 39x + 21y = 321 ① \\ 39x + 25y = 345 ③ \end{cases}$
用③ - ①，得：$4y = 24$，解得$y = 6$；
将$y = 6$代入①，得$39x + 21×6 = 321$，即$39x = 195$，解得$x = 5$。
故甲商品单价为5元，乙商品单价为6元。
【答案】
(1) 第二天的账目有误；(2) 甲商品单价为5元，乙商品单价为6元。
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合实际销售数据，通过建立方程化简对比判断错误账目，再联立正确方程求解，考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，关键在于通过方程变形发现矛盾点，确定错误的账目。
【难度系数】
0.5
要判断哪一天账目有误，需先设甲、乙商品的单价，根据三天的销售数据列出对应方程。由于第一天账目正确，可将第二天、第三天的方程化简后与第一天的方程对比，若化简后得到的关系与第一天矛盾，则该天账目有误；确定正确的两天后，联立方程即可求解甲、乙商品的单价。
【解析】
(1) 设甲商品单价为$x$元，乙商品单价为$y$元。
根据三天的销售情况，列方程：
第一天：$39x + 21y = 321$ ①
第二天：$26x + 14y = 204$ ②
第三天：$39x + 25y = 345$ ③
将方程①两边同除以3，得$13x + 7y = 107$；
将方程②两边同除以2，得$13x + 7y = 102$；
因第一天账目正确，故$13x + 7y = 107$，与第二天化简后的结果矛盾，因此第二天的账目有误。
(2) 因第二天账目错误，联立第一天和第三天的方程：
$\begin{cases} 39x + 21y = 321 ① \\ 39x + 25y = 345 ③ \end{cases}$
用③ - ①，得：$4y = 24$，解得$y = 6$；
将$y = 6$代入①，得$39x + 21×6 = 321$，即$39x = 195$，解得$x = 5$。
故甲商品单价为5元，乙商品单价为6元。
【答案】
(1) 第二天的账目有误；(2) 甲商品单价为5元，乙商品单价为6元。
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合实际销售数据，通过建立方程化简对比判断错误账目，再联立正确方程求解，考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，关键在于通过方程变形发现矛盾点，确定错误的账目。
【难度系数】
0.5
21.(10分)(杭州市)在关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} x+2y=a, \\ 2x-y=1 \end{cases}$中。
(1)若方程组的解为$\begin{cases} x=b, \\ y=3, \end{cases}$求$a-b$的值。
(2)设$m=a(3x+y-3)+1$，比较$m$与$0$的大小。
(1)若方程组的解为$\begin{cases} x=b, \\ y=3, \end{cases}$求$a-b$的值。
(2)设$m=a(3x+y-3)+1$，比较$m$与$0$的大小。
答案
21.(1)把$\begin{cases} x=b,\\y=3 \end{cases}$代入$x+2y=a$,则$b+6=a$,所以$a-b=6$。
(2)由$\begin{cases} x+2y=a,\\2x-y=1 \end{cases}$得$3x+y=a+1$,所以$m=a(a+1-3)+1=a^2-2a+1=(a-1)^2$,当$a=1$时,$m=0$;当$a≠1$时,$m＞0$。
(2)由$\begin{cases} x+2y=a,\\2x-y=1 \end{cases}$得$3x+y=a+1$,所以$m=a(a+1-3)+1=a^2-2a+1=(a-1)^2$,当$a=1$时,$m=0$;当$a≠1$时,$m＞0$。
解析
【分析】
第(1)问根据二元一次方程组解的定义，已知解满足方程组中的方程，将解代入含a的方程可建立a与b的关系，进而求出a-b的值；第(2)问需先通过方程组整体变形得到3x+y的表达式，代入m的式子化简后，利用完全平方公式和平方的非负性判断m与0的大小关系。
【解析】
(1) 因为方程组的解为$\begin{cases} x=b \\ y=3 \end{cases}$，所以该解满足方程$x+2y=a$，将$x=b$，$y=3$代入得：
$b + 2×3 = a$，即$a = b +6$，
因此$a - b = (b +6) - b =6$。
(2) 对于方程组$\begin{cases} x+2y=a ① \\ 2x - y=1 ② \end{cases}$，将①+②得：
$(x+2y)+(2x - y)=a +1$，
化简得$3x + y = a +1$，
已知$m = a(3x + y -3)+1$，将$3x + y =a +1$代入得：
$m = a[(a +1)-3] +1 = a(a -2)+1 = a² -2a +1 = (a -1)²$，
根据平方数的非负性：
当$a=1$时，$(a -1)²=0$，即$m=0$；
当$a≠1$时，$(a -1)²＞0$，即$m＞0$。
【答案】
(1) $a-b=6$；(2) 当$a=1$时，$m=0$；当$a≠1$时，$m＞0$
【知识点】
二元一次方程组的解，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题分两小问，第(1)问考查二元一次方程组解的基础应用，难度较低；第(2)问需运用整体思想变形，结合完全平方公式判断代数式取值，考察代数变形能力，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问根据二元一次方程组解的定义，已知解满足方程组中的方程，将解代入含a的方程可建立a与b的关系，进而求出a-b的值；第(2)问需先通过方程组整体变形得到3x+y的表达式，代入m的式子化简后，利用完全平方公式和平方的非负性判断m与0的大小关系。
【解析】
(1) 因为方程组的解为$\begin{cases} x=b \\ y=3 \end{cases}$，所以该解满足方程$x+2y=a$，将$x=b$，$y=3$代入得：
$b + 2×3 = a$，即$a = b +6$，
因此$a - b = (b +6) - b =6$。
(2) 对于方程组$\begin{cases} x+2y=a ① \\ 2x - y=1 ② \end{cases}$，将①+②得：
$(x+2y)+(2x - y)=a +1$，
化简得$3x + y = a +1$，
已知$m = a(3x + y -3)+1$，将$3x + y =a +1$代入得：
$m = a[(a +1)-3] +1 = a(a -2)+1 = a² -2a +1 = (a -1)²$，
根据平方数的非负性：
当$a=1$时，$(a -1)²=0$，即$m=0$；
当$a≠1$时，$(a -1)²＞0$，即$m＞0$。
【答案】
(1) $a-b=6$；(2) 当$a=1$时，$m=0$；当$a≠1$时，$m＞0$
【知识点】
二元一次方程组的解，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题分两小问，第(1)问考查二元一次方程组解的基础应用，难度较低；第(2)问需运用整体思想变形，结合完全平方公式判断代数式取值，考察代数变形能力，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
