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22.(12分)(嘉兴市)在“五水共治”行动中,有一段长540 m的河道整治任务由A,B两支工程队先后接力完成,A工程队每天整治河道18 m,B工程队每天整治河道12 m。
(1)若完成河道整治任务共用了40天,请回答下列问题:
①根据题意,甲、乙两名同学分别通过列方程组来解决:
甲:设x表示A工程队的工作天数,y表示B工程队的工作天数。
乙:我列出的方程组为$\begin{cases} a + b = 540, \\ \dfrac{a}{18} + \dfrac{b}{12} = 40。 \end{cases}$
甲列出的方程组为;
乙列出的方程组中,a表示,b表示。
②求A,B两工程队分别整治河道多少米。
(2)若支付A工程队每天的费用是1500元,支付B工程队每天的费用是900元,工作天数都为整数且在40天内(包括40天)完成,你会如何安排A,B两支工程队来完成此项河道整治任务?请写出费用最低的方案。
(1)若完成河道整治任务共用了40天,请回答下列问题:
①根据题意,甲、乙两名同学分别通过列方程组来解决:
甲:设x表示A工程队的工作天数,y表示B工程队的工作天数。
乙:我列出的方程组为$\begin{cases} a + b = 540, \\ \dfrac{a}{18} + \dfrac{b}{12} = 40。 \end{cases}$
甲列出的方程组为;
乙列出的方程组中,a表示,b表示。
②求A,B两工程队分别整治河道多少米。
(2)若支付A工程队每天的费用是1500元,支付B工程队每天的费用是900元,工作天数都为整数且在40天内(包括40天)完成,你会如何安排A,B两支工程队来完成此项河道整治任务?请写出费用最低的方案。
答案
22.(1)①$\begin{cases} 18x+12y=540,\\x+y=40 \end{cases}$ A工程队整治河道的长度 B工程队整治河道的长度
②解方程组$\begin{cases} a+b=540,\\\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{12}=40 \end{cases}$得$\begin{cases} a=180,\\b=360。\end{cases}$所以A,B两支工程队分别整治河道180 m,360 m。
(2)设A工程队的工作天数为x,B工程队的工作天数为y,则$\begin{cases} 18x+12y=540,\\x+y≤40。\end{cases}$因为x,y都为整数,所以$10≤ x≤30$。设支付的总费用为W元。由题意得$W=1500x+900y=1500x+75(540-18x)=150x+40500$。所以当x最小时,W最小。所以当$x=10$时,W最小,为$150×10+40500=42000$,此时$y=30$。所以安排A工程队工作10天,B工程队工作30天,需支付的总费用最低。
②解方程组$\begin{cases} a+b=540,\\\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{12}=40 \end{cases}$得$\begin{cases} a=180,\\b=360。\end{cases}$所以A,B两支工程队分别整治河道180 m,360 m。
(2)设A工程队的工作天数为x,B工程队的工作天数为y,则$\begin{cases} 18x+12y=540,\\x+y≤40。\end{cases}$因为x,y都为整数,所以$10≤ x≤30$。设支付的总费用为W元。由题意得$W=1500x+900y=1500x+75(540-18x)=150x+40500$。所以当x最小时,W最小。所以当$x=10$时,W最小,为$150×10+40500=42000$,此时$y=30$。所以安排A工程队工作10天,B工程队工作30天,需支付的总费用最低。
解析
【分析】
本题是结合实际背景的工程问题，需通过二元一次方程组和一次函数解决应用问题。对于(1)①，甲设A、B工程队的工作天数为x、y，根据总工作天数和总整治长度可列方程组；乙设a、b为整治长度，对应工作天数为长度除以每日整治长度，从而确定a、b的含义。(1)②直接解方程组即可得到整治长度。(2)需设工作天数为变量，结合总长度、天数限制列关系式，再通过一次函数的增减性求费用最低的方案，同时注意变量为整数的条件。
【解析】
(1)① 甲设x为A工程队工作天数，y为B工程队工作天数，根据总天数和总整治长度，得方程组：$\begin{cases} x + y = 40 \\ 18x + 12y = 540 \end{cases}$；乙的方程组中，$\frac{a}{18}$是A工程队的工作天数，$\frac{b}{12}$是B工程队的工作天数，结合$a + b =540$，可知a表示A工程队整治河道的长度，b表示B工程队整治河道的长度。
② 解乙的方程组$\begin{cases} a + b = 540 \\ \frac{a}{18} + \frac{b}{12} = 40 \end{cases}$，将第二个方程两边乘36得$2a + 3b =1440$，由第一个方程得$a=540 - b$，代入得$2(540 - b)+3b=1440$，解得$b=360$，则$a=180$，即A工程队整治180m，B工程队整治360m。
(2)设A工程队工作天数为x，B工程队为y，总费用为W元。根据总长度得$18x +12y=540$，化简为$y=\frac{90 -3x}{2}$；根据天数限制$x + y ≤40$，代入得$x≥10$，且x、y为整数。总费用$W=1500x +900y=150x +40500$，因150＞0，W随x增大而增大，故x取最小值10时W最小，此时$y=30$，总费用为42000元。
【答案】
(1)①$\begin{cases} x + y = 40 \\ 18x + 12y = 540 \end{cases}$；A工程队整治河道的长度；B工程队整治河道的长度
②A、B两工程队分别整治河道180m、360m
(2)安排A工程队工作10天，B工程队工作30天，总费用最低
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；工程问题
【点评】
本题以“五水共治”为背景，考查方程与函数结合的实际应用，需理清变量关系，注意整数和天数限制，是典型的中等难度应用题，能较好考查学生的应用能力。
【难度系数】0.6
本题是结合实际背景的工程问题，需通过二元一次方程组和一次函数解决应用问题。对于(1)①，甲设A、B工程队的工作天数为x、y，根据总工作天数和总整治长度可列方程组；乙设a、b为整治长度，对应工作天数为长度除以每日整治长度，从而确定a、b的含义。(1)②直接解方程组即可得到整治长度。(2)需设工作天数为变量，结合总长度、天数限制列关系式，再通过一次函数的增减性求费用最低的方案，同时注意变量为整数的条件。
【解析】
(1)① 甲设x为A工程队工作天数，y为B工程队工作天数，根据总天数和总整治长度，得方程组：$\begin{cases} x + y = 40 \\ 18x + 12y = 540 \end{cases}$；乙的方程组中，$\frac{a}{18}$是A工程队的工作天数，$\frac{b}{12}$是B工程队的工作天数，结合$a + b =540$，可知a表示A工程队整治河道的长度，b表示B工程队整治河道的长度。
② 解乙的方程组$\begin{cases} a + b = 540 \\ \frac{a}{18} + \frac{b}{12} = 40 \end{cases}$，将第二个方程两边乘36得$2a + 3b =1440$，由第一个方程得$a=540 - b$，代入得$2(540 - b)+3b=1440$，解得$b=360$，则$a=180$，即A工程队整治180m，B工程队整治360m。
(2)设A工程队工作天数为x，B工程队为y，总费用为W元。根据总长度得$18x +12y=540$，化简为$y=\frac{90 -3x}{2}$；根据天数限制$x + y ≤40$，代入得$x≥10$，且x、y为整数。总费用$W=1500x +900y=150x +40500$，因150＞0，W随x增大而增大，故x取最小值10时W最小，此时$y=30$，总费用为42000元。
【答案】
(1)①$\begin{cases} x + y = 40 \\ 18x + 12y = 540 \end{cases}$；A工程队整治河道的长度；B工程队整治河道的长度
②A、B两工程队分别整治河道180m、360m
(2)安排A工程队工作10天，B工程队工作30天，总费用最低
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；工程问题
【点评】
本题以“五水共治”为背景，考查方程与函数结合的实际应用，需理清变量关系，注意整数和天数限制，是典型的中等难度应用题，能较好考查学生的应用能力。
【难度系数】0.6
23.(12分)(杭州市上城区)某旅行社在暑假期间面向学生推出“上海一日游”活动,甲、乙两所学校参加该活动,收费标准如下表所示:
已知甲校报名参加的学生人数多于100,乙校报名参加的学生人数少于100。经核算,若两校分别组团,则共需花费20800元;若两校联合组团,则只需花费18000元。
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和是否超过200?为什么?
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?
(3)现从甲校抽调$a$人,从乙校抽调$b$人,去参加体验活动。甲校的每位成员必须参加5个项目,乙校的每位成员必须参加6个项目,他们一共参加了420次项目体验活动,是否存在一个正整数$n$,使得$b$是$a$的正整数倍?若存在,请求出这个$n$;若不存在,请说明理由。
已知甲校报名参加的学生人数多于100,乙校报名参加的学生人数少于100。经核算,若两校分别组团,则共需花费20800元;若两校联合组团,则只需花费18000元。
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和是否超过200?为什么?
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?
(3)现从甲校抽调$a$人,从乙校抽调$b$人,去参加体验活动。甲校的每位成员必须参加5个项目,乙校的每位成员必须参加6个项目,他们一共参加了420次项目体验活动,是否存在一个正整数$n$,使得$b$是$a$的正整数倍?若存在,请求出这个$n$;若不存在,请说明理由。
答案
23.(1)这两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200。理由如下:设两校人数之和为a,若$a＞200$,则$a=18000÷75=240$;若$100＜a≤200$,则$a=18000÷85=211\dfrac{13}{17}＞200$,不合题意。所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240,超过200。
(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人,乙学校报名参加旅游的学生有y人,则:①当$100＜x≤200$时,得$\begin{cases} x+y=240,\\85x+90y=20800, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=160,\\y=80。\end{cases}$②当$x＞200$时,得$\begin{cases} x+y=240,\\75x+90y=20800, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=53\dfrac{1}{3},\\y=186\dfrac{2}{3} \end{cases}$不合题意,舍去。所以甲学校报名参加旅游的学生有160人,乙学校报名参加旅游的学生有80人。
(3)由题意可知$5a+6na=420$,即$(5+6n)a=420$,又因为$420=2×3×7×2×5$,$5+6n$为奇数,所以$5+6n=21$或$5+6n=15$或$5+6n=35$或$5+6n=105$,解得$n=\dfrac{8}{3}$(舍去)或$n=\dfrac{5}{3}$(舍去)或$n=5$或$n=\dfrac{50}{3}$(舍去)。所以n的值为5。
(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人,乙学校报名参加旅游的学生有y人,则:①当$100＜x≤200$时,得$\begin{cases} x+y=240,\\85x+90y=20800, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=160,\\y=80。\end{cases}$②当$x＞200$时,得$\begin{cases} x+y=240,\\75x+90y=20800, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=53\dfrac{1}{3},\\y=186\dfrac{2}{3} \end{cases}$不合题意,舍去。所以甲学校报名参加旅游的学生有160人,乙学校报名参加旅游的学生有80人。
(3)由题意可知$5a+6na=420$,即$(5+6n)a=420$,又因为$420=2×3×7×2×5$,$5+6n$为奇数,所以$5+6n=21$或$5+6n=15$或$5+6n=35$或$5+6n=105$,解得$n=\dfrac{8}{3}$(舍去)或$n=\dfrac{5}{3}$(舍去)或$n=5$或$n=\dfrac{50}{3}$(舍去)。所以n的值为5。
解析
【分析】
本题是分段收费的实际应用题，需结合分类讨论思想和方程思想求解。第(1)问通过联合组团的总费用，分两种人数范围计算人数和，判断是否超过200；第(2)问设两校人数为未知数，根据分别组团的费用列方程组，结合人数范围筛选合理解；第(3)问根据总体验次数建立方程，结合正整数条件和因数分解确定$n$的值。
【解析】
(1)设两校报名人数之和为$a$，分情况讨论：
①若$100 ＜ a ≤ 200$，联合组团收费标准为85元/人，则总费用为$85a = 18000$，解得$a = \frac{18000}{85} \approx 211.76$，与$a ≤ 200$矛盾，舍去；
②若$a ＞ 200$，联合组团收费标准为75元/人，则总费用为$75a = 18000$，解得$a = 240$，符合$a ＞ 200$。
因此，两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200。
(2)设甲校报名人数为$x$，乙校报名人数为$y$，由题意知$x ＞ 100$，$y ＜ 100$，且$x + y = 240$。
分情况讨论甲校人数范围：
①当$100 ＜ x ≤ 200$时，甲校收费85元/人，乙校收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 240 \\85x + 90y = 20800\end{cases}$
将$y = 240 - x$代入第二个方程：
$85x + 90(240 - x) = 20800$
$85x + 21600 - 90x = 20800$
$-5x = -800$，解得$x = 160$，则$y = 240 - 160 = 80$，符合条件；
②当$x ＞ 200$时，甲校收费75元/人，乙校收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 240 \\75x + 90y = 20800\end{cases}$
代入$y = 240 - x$：
$75x + 90(240 - x) = 20800$
$-15x = -800$，解得$x = \frac{160}{3} \approx 53.33$，与$x ＞ 100$矛盾，舍去。
因此，甲校报名人数为160人，乙校为80人。
(3)由题意，$b = na$（$n$为正整数），总体验次数为$5a + 6b = 420$，代入$b = na$得：
$5a + 6na = 420$，整理得$(5 + 6n)a = 420$。
因为$a$、$n$均为正整数，所以$5 + 6n$是420的正因数，且$5 + 6n ＞ 5$（$n ≥ 1$）。
420的正因数中奇数有：1、3、5、7、15、21、35、105、...，逐一验证：
$5 + 6n = 21$：$6n = 16$，$n = \frac{8}{3}$，非整数，舍去；
$5 + 6n = 15$：$6n = 10$，$n = \frac{5}{3}$，非整数，舍去；
$5 + 6n = 35$：$6n = 30$，$n = 5$，整数，符合条件；
更大的奇数因数如105：$5 + 6n = 105$，$6n = 100$，$n = \frac{50}{3}$，非整数，舍去。
因此，存在正整数$n = 5$。
【答案】
(1)超过200，理由见解析；(2)甲校160人，乙校80人；(3)存在，$n=5$
【知识点】
分段收费应用题，二元一次方程组应用，因数分解
【点评】
本题结合分段收费设计，需通过分类讨论确定人数范围，利用方程思想求解，第三问需结合正整数条件和因数筛选，考察逻辑分析与计算能力，是典型的实际应用题型。
【难度系数】
0.4
本题是分段收费的实际应用题，需结合分类讨论思想和方程思想求解。第(1)问通过联合组团的总费用，分两种人数范围计算人数和，判断是否超过200；第(2)问设两校人数为未知数，根据分别组团的费用列方程组，结合人数范围筛选合理解；第(3)问根据总体验次数建立方程，结合正整数条件和因数分解确定$n$的值。
【解析】
(1)设两校报名人数之和为$a$，分情况讨论：
①若$100 ＜ a ≤ 200$，联合组团收费标准为85元/人，则总费用为$85a = 18000$，解得$a = \frac{18000}{85} \approx 211.76$，与$a ≤ 200$矛盾，舍去；
②若$a ＞ 200$，联合组团收费标准为75元/人，则总费用为$75a = 18000$，解得$a = 240$，符合$a ＞ 200$。
因此，两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200。
(2)设甲校报名人数为$x$，乙校报名人数为$y$，由题意知$x ＞ 100$，$y ＜ 100$，且$x + y = 240$。
分情况讨论甲校人数范围：
①当$100 ＜ x ≤ 200$时，甲校收费85元/人，乙校收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 240 \\85x + 90y = 20800\end{cases}$
将$y = 240 - x$代入第二个方程：
$85x + 90(240 - x) = 20800$
$85x + 21600 - 90x = 20800$
$-5x = -800$，解得$x = 160$，则$y = 240 - 160 = 80$，符合条件；
②当$x ＞ 200$时，甲校收费75元/人，乙校收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 240 \\75x + 90y = 20800\end{cases}$
代入$y = 240 - x$：
$75x + 90(240 - x) = 20800$
$-15x = -800$，解得$x = \frac{160}{3} \approx 53.33$，与$x ＞ 100$矛盾，舍去。
因此，甲校报名人数为160人，乙校为80人。
(3)由题意，$b = na$（$n$为正整数），总体验次数为$5a + 6b = 420$，代入$b = na$得：
$5a + 6na = 420$，整理得$(5 + 6n)a = 420$。
因为$a$、$n$均为正整数，所以$5 + 6n$是420的正因数，且$5 + 6n ＞ 5$（$n ≥ 1$）。
420的正因数中奇数有：1、3、5、7、15、21、35、105、...，逐一验证：
$5 + 6n = 21$：$6n = 16$，$n = \frac{8}{3}$，非整数，舍去；
$5 + 6n = 15$：$6n = 10$，$n = \frac{5}{3}$，非整数，舍去；
$5 + 6n = 35$：$6n = 30$，$n = 5$，整数，符合条件；
更大的奇数因数如105：$5 + 6n = 105$，$6n = 100$，$n = \frac{50}{3}$，非整数，舍去。
因此，存在正整数$n = 5$。
【答案】
(1)超过200，理由见解析；(2)甲校160人，乙校80人；(3)存在，$n=5$
【知识点】
分段收费应用题，二元一次方程组应用，因数分解
【点评】
本题结合分段收费设计，需通过分类讨论确定人数范围，利用方程思想求解，第三问需结合正整数条件和因数筛选，考察逻辑分析与计算能力，是典型的实际应用题型。
【难度系数】
0.4
