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17.(8分)(丽水市)如图,在正方形网格中有一个$△ ABC$,图中每一个小正方形的边长表示1,请按要求回答下列问题:
(1)将$△ ABC$向右平移2格,再向上平移3格后得到$△ DEF$,请在正方形网格中画出$△ DEF$。
(2)求$△ DEF$的面积。
(1)将$△ ABC$向右平移2格,再向上平移3格后得到$△ DEF$,请在正方形网格中画出$△ DEF$。
(2)求$△ DEF$的面积。
答案
17.(1)如图,$△DEF$即为所求。
(2)$△DEF$的面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问是图形平移作图，需掌握平移的性质：平移后对应点的连线平行且相等，将△ABC的三个顶点分别按要求平移即可得到对应点，连接后得到平移后的三角形；第二问是求三角形面积，可通过网格确定底和高，利用三角形面积公式计算。
【解析】
(1) 平移作图：将点A向右平移2格、向上平移3格得到点D，点B向右平移2格、向上平移3格得到点E，点C向右平移2格、向上平移3格得到点F，依次连接DE、EF、FD，得到△DEF。
(2) 面积计算：观察网格可知，△DEF的底为3（横向占3个小格，每个小正方形边长为1），高为2（纵向占2个小格），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) 如图，△DEF即为所求。
(2) 3
【知识点】
图形平移，三角形面积计算
【点评】
本题考查图形平移的作图方法和三角形面积的计算，属于基础题型，需掌握平移的性质和三角形面积公式。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第一问是图形平移作图，需掌握平移的性质：平移后对应点的连线平行且相等，将△ABC的三个顶点分别按要求平移即可得到对应点，连接后得到平移后的三角形；第二问是求三角形面积，可通过网格确定底和高，利用三角形面积公式计算。
【解析】
(1) 平移作图：将点A向右平移2格、向上平移3格得到点D，点B向右平移2格、向上平移3格得到点E，点C向右平移2格、向上平移3格得到点F，依次连接DE、EF、FD，得到△DEF。
(2) 面积计算：观察网格可知，△DEF的底为3（横向占3个小格，每个小正方形边长为1），高为2（纵向占2个小格），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) 如图，△DEF即为所求。
(2) 3
【知识点】
图形平移，三角形面积计算
【点评】
本题考查图形平移的作图方法和三角形面积的计算，属于基础题型，需掌握平移的性质和三角形面积公式。
【难度系数】
0.6
18.(8分)(台州市路桥区)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,且∠BOE的度数是∠AOD度数的两倍,求∠BOE,∠BOC的度数。
答案
18.设$∠AOD=x°$,则$∠BOE=2x°,∠BOC=x°$。因为$EO⊥CD$,所以$∠EOC=90°$,即$∠BOE+∠BOC=90°$。所以$2x+x=90$,解得$x=30$。所以$2x=60$。所以$∠BOE=60°,∠BOC=30°$。
解析
【分析】
本题是相交线与垂直结合的角度计算题，解题思路：1. 利用对顶角相等，得出∠AOD与∠BOC的关系；2. 根据EO⊥CD，得到∠EOC=90°，结合∠BOE与∠AOD的倍数关系，设未知数建立方程求解，进而得到目标角度。
【解析】
设∠AOD = x°，
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠BOC = ∠AOD = x°。
由题意知，∠BOE = 2∠AOD = 2x°，
∵EO⊥CD，根据垂直的定义，∠EOC = 90°，
又
∵∠EOC = ∠BOE + ∠BOC，
∴2x + x = 90，
解得x = 30，
∴∠BOE = 2×30° = 60°，∠BOC = 30°。
【答案】
∠BOE=60°，∠BOC=30°
【知识点】
对顶角相等、垂直的性质、角度计算
【点评】
本题考查相交线中对顶角的性质与垂直的定义，通过设未知数列方程求解角度，是基础几何角度计算题，需掌握相关性质即可完成。
【难度系数】
0.6
本题是相交线与垂直结合的角度计算题，解题思路：1. 利用对顶角相等，得出∠AOD与∠BOC的关系；2. 根据EO⊥CD，得到∠EOC=90°，结合∠BOE与∠AOD的倍数关系，设未知数建立方程求解，进而得到目标角度。
【解析】
设∠AOD = x°，
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠BOC = ∠AOD = x°。
由题意知，∠BOE = 2∠AOD = 2x°，
∵EO⊥CD，根据垂直的定义，∠EOC = 90°，
又
∵∠EOC = ∠BOE + ∠BOC，
∴2x + x = 90，
解得x = 30，
∴∠BOE = 2×30° = 60°，∠BOC = 30°。
【答案】
∠BOE=60°，∠BOC=30°
【知识点】
对顶角相等、垂直的性质、角度计算
【点评】
本题考查相交线中对顶角的性质与垂直的定义，通过设未知数列方程求解角度，是基础几何角度计算题，需掌握相关性质即可完成。
【难度系数】
0.6
19.(10分)(杭州市萧山区)如图，$AD// EC$。
(1)若$∠ C=40°$，$AB$平分$∠ DAC$，求$∠ DAB$的度数。
(2)若$AE$平分$∠ DAB$，$BF$平分$∠ ABC$，试说明$AE// BF$的理由。
(1)若$∠ C=40°$，$AB$平分$∠ DAC$，求$∠ DAB$的度数。
(2)若$AE$平分$∠ DAB$，$BF$平分$∠ ABC$，试说明$AE// BF$的理由。
答案
19.(1)因为$AD//EC$,所以$∠C+∠DAC=180°$。因为$∠C=40°$,所以$∠DAC=140°$。因为$AB$平分$∠DAC$,所以$∠DAB=\frac{1}{2}∠DAC=70°$。
(2)理由如下:因为$AD//EC$,所以$∠DAB=∠ABC$。因为$AE$平分$∠DAB$,$BF$平分$∠ABC$,所以$∠EAB=\frac{1}{2}∠DAB,∠ABF=\frac{1}{2}∠ABC$。所以$∠EAB=∠ABF$。所以$AE//BF$。
(2)理由如下:因为$AD//EC$,所以$∠DAB=∠ABC$。因为$AE$平分$∠DAB$,$BF$平分$∠ABC$,所以$∠EAB=\frac{1}{2}∠DAB,∠ABF=\frac{1}{2}∠ABC$。所以$∠EAB=∠ABF$。所以$AE//BF$。
解析
【分析】
第(1)问：已知AD与EC平行，根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，可先求出∠DAC的度数；再结合AB平分∠DAC，利用角平分线的定义就能算出∠DAB的度数。
第(2)问：先由AD//EC，根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质得到∠DAB和∠ABC的关系；再利用AE、BF分别平分这两个角，得到对应的角相等；最后根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，证明AE与BF平行。
【解析】
(1) 因为AD//EC（已知），根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠C + ∠DAC = 180°。
已知∠C = 40°，代入得∠DAC = 180° - 40° = 140°。
又因为AB平分∠DAC（已知），根据角平分线的定义，∠DAB = $\frac{1}{2}$∠DAC = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
(2) 因为AD//EC（已知），根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠DAB = ∠ABC。
因为AE平分∠DAB，BF平分∠ABC（已知），根据角平分线的定义，得∠EAB = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠ABF = $\frac{1}{2}$∠ABC。
所以∠EAB = ∠ABF（等量代换）。
根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AE//BF。
【答案】
(1) ∠DAB的度数为70°；(2) AE//BF，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、平行线的判定
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的基础题型，主要考查平行线的性质和判定定理的应用，以及角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的相关性质和判定，属于初中几何的基础内容，需要学生扎实掌握。
【难度系数】
0.6
第(1)问：已知AD与EC平行，根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，可先求出∠DAC的度数；再结合AB平分∠DAC，利用角平分线的定义就能算出∠DAB的度数。
第(2)问：先由AD//EC，根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质得到∠DAB和∠ABC的关系；再利用AE、BF分别平分这两个角，得到对应的角相等；最后根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，证明AE与BF平行。
【解析】
(1) 因为AD//EC（已知），根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠C + ∠DAC = 180°。
已知∠C = 40°，代入得∠DAC = 180° - 40° = 140°。
又因为AB平分∠DAC（已知），根据角平分线的定义，∠DAB = $\frac{1}{2}$∠DAC = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
(2) 因为AD//EC（已知），根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠DAB = ∠ABC。
因为AE平分∠DAB，BF平分∠ABC（已知），根据角平分线的定义，得∠EAB = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠ABF = $\frac{1}{2}$∠ABC。
所以∠EAB = ∠ABF（等量代换）。
根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AE//BF。
【答案】
(1) ∠DAB的度数为70°；(2) AE//BF，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、平行线的判定
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的基础题型，主要考查平行线的性质和判定定理的应用，以及角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的相关性质和判定，属于初中几何的基础内容，需要学生扎实掌握。
【难度系数】
0.6
20.(12分)(余姚市)如图,AP,CP分别平分$∠BAC,∠ACD,∠P=90°$,设$∠BAP=α$。
(1)用含α的代数式表示$∠ACP$。
(2)试判断AB与CD是否平行,并说明理由。
(3)若$AP// CF$,请说明CF平分$∠DCE$的理由。
(1)用含α的代数式表示$∠ACP$。
(2)试判断AB与CD是否平行,并说明理由。
(3)若$AP// CF$,请说明CF平分$∠DCE$的理由。
答案
20.(1)因为$AP$平分$∠BAC$,所以$∠CAP=∠BAP=α$。因为$∠P=90°$,所以$∠ACP=90°-α$。
(2)$AB//CD$。理由如下:由(1)得$∠ACP=90°-α$,又因为$CP$平分$∠ACD$,所以$∠ACD=2∠ACP=180°-2α$。因为$∠ACD+∠BAC=180°-2α+2α=180°$,所以$AB//CD$(同旁内角互补,两直线平行)。
(3)因为$AP//CF$,所以$∠ECF=∠CAP=α$。因为$AB//CD$,所以$∠ECD=∠CAB=2α$。所以$∠ECD=2∠ECF$。所以$CF$平分$∠DCE$。
(2)$AB//CD$。理由如下:由(1)得$∠ACP=90°-α$,又因为$CP$平分$∠ACD$,所以$∠ACD=2∠ACP=180°-2α$。因为$∠ACD+∠BAC=180°-2α+2α=180°$,所以$AB//CD$(同旁内角互补,两直线平行)。
(3)因为$AP//CF$,所以$∠ECF=∠CAP=α$。因为$AB//CD$,所以$∠ECD=∠CAB=2α$。所以$∠ECD=2∠ECF$。所以$CF$平分$∠DCE$。
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用角平分线性质得∠CAP=α，结合直角三角形两锐角互余，用α表示∠ACP；
2. 第(2)问：由角平分线得∠ACD的度数，计算∠BAC与∠ACD的和，根据同旁内角互补判断AB与CD平行；
3. 第(3)问：利用平行线性质得∠ECF=α，结合AB//CD推出∠ECD=2α，从而说明CF平分∠DCE。
【解析】
(1)
∵AP平分∠BAC，∠BAP=α，
∴∠CAP=∠BAP=α，
又
∵∠P=90°，在△APC中，∠CAP + ∠ACP + ∠P = 180°，
∴∠ACP=180° - α - 90° = 90° - α；
(2) AB//CD，理由：
由(1)得∠ACP=90° - α，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACP=180° - 2α，
又∠BAC=2∠BAP=2α，
∴∠ACD + ∠BAC=(180° - 2α) + 2α=180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，故AB//CD；
(3) CF平分∠DCE，理由：
∵AP//CF，
∴∠ECF=∠CAP=α，
又
∵AB//CD（已证），
∴∠ECD=∠CAB=2α，
∴∠ECD=2∠ECF，即CF平分∠DCE。
【答案】
(1) ∠ACP=90° - α；
(2) AB//CD；
(3) CF平分∠DCE。
【知识点】
角平分线性质，平行线判定，平行线性质
【点评】
本题综合考查角平分线与平行线的相关知识，需逐步推导角的关系，逻辑清晰，是初中几何典型中档题，能较好考查学生的几何推理能力。
【难度系数】
0.6
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用角平分线性质得∠CAP=α，结合直角三角形两锐角互余，用α表示∠ACP；
2. 第(2)问：由角平分线得∠ACD的度数，计算∠BAC与∠ACD的和，根据同旁内角互补判断AB与CD平行；
3. 第(3)问：利用平行线性质得∠ECF=α，结合AB//CD推出∠ECD=2α，从而说明CF平分∠DCE。
【解析】
(1)
∵AP平分∠BAC，∠BAP=α，
∴∠CAP=∠BAP=α，
又
∵∠P=90°，在△APC中，∠CAP + ∠ACP + ∠P = 180°，
∴∠ACP=180° - α - 90° = 90° - α；
(2) AB//CD，理由：
由(1)得∠ACP=90° - α，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACP=180° - 2α，
又∠BAC=2∠BAP=2α，
∴∠ACD + ∠BAC=(180° - 2α) + 2α=180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，故AB//CD；
(3) CF平分∠DCE，理由：
∵AP//CF，
∴∠ECF=∠CAP=α，
又
∵AB//CD（已证），
∴∠ECD=∠CAB=2α，
∴∠ECD=2∠ECF，即CF平分∠DCE。
【答案】
(1) ∠ACP=90° - α；
(2) AB//CD；
(3) CF平分∠DCE。
【知识点】
角平分线性质，平行线判定，平行线性质
【点评】
本题综合考查角平分线与平行线的相关知识，需逐步推导角的关系，逻辑清晰，是初中几何典型中档题，能较好考查学生的几何推理能力。
【难度系数】
0.6
