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9.(德清县)如图,在四边形纸片ABCD中,AD//BC,AB//CD,将纸片沿EF折叠,点A,D分别落在点A',D'处,且A'D'经过点B,FD'交BC于点G,连接EG。若EG平分∠FEB,EG//A'D',∠D'FC=80°,则∠A的度数是 (
A.65°
B.70°
C.75°
D.80°
C
)A.65°
B.70°
C.75°
D.80°
答案
9.C
【解析】因为$∠D'FC=80°$,所以$∠DFE=∠EFG=50°$。因为$DC//AB$,所以$∠AEF=130°,∠FEB=50°$。因为$∠AEF=∠FEA'$,所以$∠A'EB=130°-50°=80°$。因为$EG$平分$∠FEB$,所以$∠GEB=25°$。因为$EG//A'D'$,所以$∠EBA'=∠GEB=25°$。所以$∠A'=180°-80°-25°=75°$。所以$∠A=75°$。
【解析】因为$∠D'FC=80°$,所以$∠DFE=∠EFG=50°$。因为$DC//AB$,所以$∠AEF=130°,∠FEB=50°$。因为$∠AEF=∠FEA'$,所以$∠A'EB=130°-50°=80°$。因为$EG$平分$∠FEB$,所以$∠GEB=25°$。因为$EG//A'D'$,所以$∠EBA'=∠GEB=25°$。所以$∠A'=180°-80°-25°=75°$。所以$∠A=75°$。
解析
【分析】
本题是平行四边形的折叠问题，解题思路：先利用折叠前后对应角相等，结合平角性质求出∠DFE的度数；再根据平行四边形对边平行，用平行线同旁内角互补求出∠AEF，进而得到∠FEB的度数；接着利用角平分线性质得∠GEB，结合EG//A'D'的平行线性质求出∠EBA'；最后在△A'EB中用三角形内角和定理算出∠A'，由折叠性质知∠A=∠A'，即可得到答案。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，∠A=∠A'（平行四边形对角相等，折叠后对应角相等）。
由折叠性质得：∠DFE=∠D'FE，∠AEF=∠A'EF。
已知∠D'FC=80°，且∠DFE + ∠D'FE + ∠D'FC=180°（平角定义），
∴ 2∠DFE=180°-80°=100°，解得∠DFE=50°，故∠D'FE=50°。
∵ AB//CD，
∴ ∠AEF + ∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠AEF=180°-50°=130°，因此∠A'EF=∠AEF=130°。
∵ A、E、B共线，
∴ ∠AEF + ∠FEB=180°（平角定义），
∴ ∠FEB=180°-130°=50°。
∵ EG平分∠FEB，
∴ ∠GEB=½∠FEB=25°。
又
∵ EG//A'D'，
∴ ∠GEB=∠EBA'（两直线平行，内错角相等），故∠EBA'=25°。
在△A'EB中，∠A'EB=∠A'EF - ∠FEB=130°-50°=80°，
根据三角形内角和定理：∠A' + ∠A'EB + ∠EBA'=180°，
∴ ∠A'=180°-80°-25°=75°，
又
∵ ∠A=∠A'，
∴ ∠A=75°。
【答案】
75°
【知识点】
平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠、平行线及三角形内角和的性质，需逐步推导角的关系，逻辑连贯性要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题是平行四边形的折叠问题，解题思路：先利用折叠前后对应角相等，结合平角性质求出∠DFE的度数；再根据平行四边形对边平行，用平行线同旁内角互补求出∠AEF，进而得到∠FEB的度数；接着利用角平分线性质得∠GEB，结合EG//A'D'的平行线性质求出∠EBA'；最后在△A'EB中用三角形内角和定理算出∠A'，由折叠性质知∠A=∠A'，即可得到答案。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，∠A=∠A'（平行四边形对角相等，折叠后对应角相等）。
由折叠性质得：∠DFE=∠D'FE，∠AEF=∠A'EF。
已知∠D'FC=80°，且∠DFE + ∠D'FE + ∠D'FC=180°（平角定义），
∴ 2∠DFE=180°-80°=100°，解得∠DFE=50°，故∠D'FE=50°。
∵ AB//CD，
∴ ∠AEF + ∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠AEF=180°-50°=130°，因此∠A'EF=∠AEF=130°。
∵ A、E、B共线，
∴ ∠AEF + ∠FEB=180°（平角定义），
∴ ∠FEB=180°-130°=50°。
∵ EG平分∠FEB，
∴ ∠GEB=½∠FEB=25°。
又
∵ EG//A'D'，
∴ ∠GEB=∠EBA'（两直线平行，内错角相等），故∠EBA'=25°。
在△A'EB中，∠A'EB=∠A'EF - ∠FEB=130°-50°=80°，
根据三角形内角和定理：∠A' + ∠A'EB + ∠EBA'=180°，
∴ ∠A'=180°-80°-25°=75°，
又
∵ ∠A=∠A'，
∴ ∠A=75°。
【答案】
75°
【知识点】
平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠、平行线及三角形内角和的性质，需逐步推导角的关系，逻辑连贯性要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5
10.(绍兴市)将一副三角尺按如图所示的方式放置,给出下列结论:
①若$∠2=30^{\circ }$,则$AC// DE$;②$∠BAE+∠CAD=180^{\circ }$;③若$BC// AD$,则$∠2=30^{\circ }$;④若$∠CAD=150^{\circ }$,则必有$∠4=∠C$。其中正确的是 (
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③④
①若$∠2=30^{\circ }$,则$AC// DE$;②$∠BAE+∠CAD=180^{\circ }$;③若$BC// AD$,则$∠2=30^{\circ }$;④若$∠CAD=150^{\circ }$,则必有$∠4=∠C$。其中正确的是 (
A
)A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③④
答案
10.A
解析
【分析】
首先明确一副三角尺的固定角度：△ABC为等腰直角三角尺，故∠C=∠B=45°，∠BAC=90°；△ADE为直角三角尺，故∠DAE=90°，∠D=30°，∠E=60°。接下来逐个分析四个结论，需结合平行线的判定与性质、角的和差关系推导。
【解析】
已知三角尺角度：∠BAC=∠DAE=90°，∠C=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°。
1. 分析结论①：若∠2=30°，则∠3=∠DAE - ∠2=90°-30°=60°，又∠E=60°，故∠3=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”，得AC//DE，①正确；
2. 分析结论②：∠CAD=∠1+∠2+∠3，∠BAE=∠2，而∠1+∠2=∠BAC=90°，∠2+∠3=∠DAE=90°，因此∠BAE + ∠CAD=∠2 + (∠1+∠2+∠3)=(∠1+∠2)+(∠2+∠3)=90°+90°=180°，②正确；
3. 分析结论③：若BC//AD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠3=∠B=45°，则∠2=∠DAE - ∠3=90°-45°=45°≠30°，故③错误；
4. 分析结论④：若∠CAD=150°，则∠1=∠CAD - ∠BAC=150°-90°=60°，由∠1+∠2=90°、∠2+∠3=90°得∠1=∠3，故∠3=60°；此时∠CAD+∠D=150°+30°=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”得AC//DE，再由“两直线平行，同位角相等”得∠4=∠C，④正确。
综上，正确结论为①②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定与性质、角的和差、三角尺角度计算
【点评】
本题结合三角尺的固定角度，考查平行线的判定与性质、角的和差关系，需熟练掌握三角尺各角的度数，逐个分析结论时注意角的等量代换，避免混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.5
首先明确一副三角尺的固定角度：△ABC为等腰直角三角尺，故∠C=∠B=45°，∠BAC=90°；△ADE为直角三角尺，故∠DAE=90°，∠D=30°，∠E=60°。接下来逐个分析四个结论，需结合平行线的判定与性质、角的和差关系推导。
【解析】
已知三角尺角度：∠BAC=∠DAE=90°，∠C=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°。
1. 分析结论①：若∠2=30°，则∠3=∠DAE - ∠2=90°-30°=60°，又∠E=60°，故∠3=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”，得AC//DE，①正确；
2. 分析结论②：∠CAD=∠1+∠2+∠3，∠BAE=∠2，而∠1+∠2=∠BAC=90°，∠2+∠3=∠DAE=90°，因此∠BAE + ∠CAD=∠2 + (∠1+∠2+∠3)=(∠1+∠2)+(∠2+∠3)=90°+90°=180°，②正确；
3. 分析结论③：若BC//AD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠3=∠B=45°，则∠2=∠DAE - ∠3=90°-45°=45°≠30°，故③错误；
4. 分析结论④：若∠CAD=150°，则∠1=∠CAD - ∠BAC=150°-90°=60°，由∠1+∠2=90°、∠2+∠3=90°得∠1=∠3，故∠3=60°；此时∠CAD+∠D=150°+30°=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”得AC//DE，再由“两直线平行，同位角相等”得∠4=∠C，④正确。
综上，正确结论为①②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定与性质、角的和差、三角尺角度计算
【点评】
本题结合三角尺的固定角度，考查平行线的判定与性质、角的和差关系，需熟练掌握三角尺各角的度数，逐个分析结论时注意角的等量代换，避免混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.5
11.(台州市椒江区)如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中PA,PB,PC,PD四种搭建路线中,最短的是PB,理由是
垂线段最短
。答案
11.垂线段最短
解析
【分析】首先观察图形，PB是点P到直线AD的垂线段，结合点到直线的线段性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可得出最短路线的理由。
【解析】因为PB是从点P向直线AD作的垂线段，根据“直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，所以PA、PB、PC、PD中最短的是PB，对应的理由是垂线段最短。
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段的性质
【点评】本题为基础概念题，直接考查垂线段最短的核心性质，属于几何入门的基础知识点，侧重对基本性质的理解应用。
【难度系数】0.8
【解析】因为PB是从点P向直线AD作的垂线段，根据“直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，所以PA、PB、PC、PD中最短的是PB，对应的理由是垂线段最短。
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段的性质
【点评】本题为基础概念题，直接考查垂线段最短的核心性质，属于几何入门的基础知识点，侧重对基本性质的理解应用。
【难度系数】0.8
12.(嘉兴市)如图,若要使$AB// CD$,则可添加条件
∠2=∠4(答案不唯一)
(写出一个即可)。答案
12.$∠2=∠4$(答案不唯一)
解析
【分析】
要使$AB// CD$，需依据平行线的判定定理，找到能证明两条直线平行的角的关系。观察图形，直线$AB$和$CD$被直线$AC$所截，形成的内错角有$∠2$和$∠4$，若这组内错角相等，就能判定$AB// CD$，也可添加其他符合判定规则的条件。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。在图中，$∠2$与$∠4$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截得到的内错角，当$∠2=∠4$时，满足内错角相等的条件，因此可推出$AB// CD$。本题答案不唯一，也可添加如$∠ B+∠ BCD=180°$、$∠1=∠3$等条件。
【答案】
$∠2=∠4$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定
【点评】
本题考查平行线的判定，属于基础题型，需掌握平行线的判定定理，结合图形识别对应角的关系即可，难度较低。
【难度系数】
0.6
要使$AB// CD$，需依据平行线的判定定理，找到能证明两条直线平行的角的关系。观察图形，直线$AB$和$CD$被直线$AC$所截，形成的内错角有$∠2$和$∠4$，若这组内错角相等，就能判定$AB// CD$，也可添加其他符合判定规则的条件。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。在图中，$∠2$与$∠4$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截得到的内错角，当$∠2=∠4$时，满足内错角相等的条件，因此可推出$AB// CD$。本题答案不唯一，也可添加如$∠ B+∠ BCD=180°$、$∠1=∠3$等条件。
【答案】
$∠2=∠4$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定
【点评】
本题考查平行线的判定，属于基础题型，需掌握平行线的判定定理，结合图形识别对应角的关系即可，难度较低。
【难度系数】
0.6
13.(临海市)如图,将一把含$30°$角的三角尺的两个顶点分别放在直线$a$和直线$b$上。若$a// b$,$∠ 1=20°$,则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_°$。
70
答案
13.70
解析
【分析】本题给出直线$a// b$，且使用的是含$30°$角的三角尺，隐含三角尺的直角为$90°$。解题思路是利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知的$∠1$和三角尺的直角，建立角度关系求解$∠2$。
【解析】因为$a// b$，根据平行线的同旁内角互补性质，可得$∠1 + 90° + ∠2 = 180°$。已知$∠1=20°$，代入式子计算：$∠2 = 180° - 90° - 20° = 70°$。
【答案】70
【知识点】平行线性质，三角尺角度计算
【点评】本题结合平行线的性质与三角尺的直角角度，通过同旁内角互补的关系即可快速求解，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】因为$a// b$，根据平行线的同旁内角互补性质，可得$∠1 + 90° + ∠2 = 180°$。已知$∠1=20°$，代入式子计算：$∠2 = 180° - 90° - 20° = 70°$。
【答案】70
【知识点】平行线性质，三角尺角度计算
【点评】本题结合平行线的性质与三角尺的直角角度，通过同旁内角互补的关系即可快速求解，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】0.3
14.(温州市)如图,直尺的两边互相平行,三角尺的直角顶点C在直尺的一边上,$∠A=30°,∠1=100°$,则$∠2=$
50
°。答案
14.50
【解析】如图,因为$∠1=100°$,所以$∠ADC=100°$。因为$∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∠A=30°$,所以$∠ACD=50°$。因为直尺的两边互相平行,所以$∠2=∠ACD=50°$。
解析
【分析】要解决本题，首先利用对顶角相等得到∠ADC的度数，再结合三角形内角和定理求出∠ACD，最后根据直尺两边平行，利用平行线的内错角相等性质，即可求出∠2的度数。
【解析】
1. 因为∠1与∠ADC是对顶角，根据对顶角相等，所以∠ADC = ∠1 = 100°；
2. 在△ACD中，由三角形内角和为180°，已知∠A=30°，则∠ACD = 180° - ∠A - ∠ADC = 180° - 30° - 100° = 50°；
3. 由于直尺的两边互相平行，∠2与∠ACD是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠2 = ∠ACD = 50°。
【答案】50
【知识点】平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】本题是几何角度计算的基础题，综合考查了对顶角性质、三角形内角和及平行线的性质，解题关键是理清各角之间的关系，逐步推导。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 因为∠1与∠ADC是对顶角，根据对顶角相等，所以∠ADC = ∠1 = 100°；
2. 在△ACD中，由三角形内角和为180°，已知∠A=30°，则∠ACD = 180° - ∠A - ∠ADC = 180° - 30° - 100° = 50°；
3. 由于直尺的两边互相平行，∠2与∠ACD是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠2 = ∠ACD = 50°。
【答案】50
【知识点】平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】本题是几何角度计算的基础题，综合考查了对顶角性质、三角形内角和及平行线的性质，解题关键是理清各角之间的关系，逐步推导。
【难度系数】0.6
15.(杭州市上城区)某宾馆正在重新装修,工作人员准备在大厅的主楼梯上铺红色地毯。已知这种红色地毯的售价为每平方米32元,主楼梯宽2 m,其侧面与正面如图,则购买地毯至少需要
512
元。答案
15.512
解析
【分析】要计算购买地毯的费用，需先求出地毯的总面积。楼梯的台阶可通过平移变换，将所有台阶的水平长度之和转化为楼梯底部的水平长度5m，所有台阶的垂直高度之和转化为楼梯的垂直高度3m，因此地毯的总长度为水平长度与垂直高度的和，再结合楼梯宽度计算面积，最后乘以地毯单价即可得到总费用。
【解析】1. 求地毯的总长度：将楼梯台阶的水平线段向下平移，垂直线段向右平移，可知地毯的总长度等于楼梯的水平长度与垂直高度之和，即 $5 + 3 = 8$（m）。
2. 求地毯的面积：已知楼梯宽2m，地毯为长方形，面积 = 长×宽，因此地毯面积为 $8×2 = 16$（平方米）。
3. 求总费用：地毯售价每平方米32元，总费用 = 面积×单价，即 $16×32 = 512$（元）。
【答案】512
【知识点】平移的性质、长方形面积、有理数乘法
【点评】本题利用平移的性质将不规则的台阶长度转化为规则线段长度，简化计算过程，结合长方形面积公式和单价计算总费用，是几何与实际应用结合的基础题，思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】1. 求地毯的总长度：将楼梯台阶的水平线段向下平移，垂直线段向右平移，可知地毯的总长度等于楼梯的水平长度与垂直高度之和，即 $5 + 3 = 8$（m）。
2. 求地毯的面积：已知楼梯宽2m，地毯为长方形，面积 = 长×宽，因此地毯面积为 $8×2 = 16$（平方米）。
3. 求总费用：地毯售价每平方米32元，总费用 = 面积×单价，即 $16×32 = 512$（元）。
【答案】512
【知识点】平移的性质、长方形面积、有理数乘法
【点评】本题利用平移的性质将不规则的台阶长度转化为规则线段长度，简化计算过程，结合长方形面积公式和单价计算总费用，是几何与实际应用结合的基础题，思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.3
16.(金华市婺城区)如图,直线$PQ// MN$,点A在PQ上,直角三角形BEF的直角边BE在MN上,且$∠ FBE=90°,∠ BEF=30°$。现将$△ BEF$绕点B以每秒$1°$的速度按逆时针方向旋转(点E,F的对应点分别是$E',F'$),同时,射线AQ绕点A以每秒$4°$的速度按顺时针方向旋转(点Q的对应点是$Q'$)。设旋转时间为$t(\mathrm{s})(0≤ t≤45)$。
(1)$∠ MBF'=$
(2)在旋转的过程中,若射线$AQ'$与边$E'F'$平行,则t的值为$\qquad$。
(1)$∠ MBF'=$
(90-t)
$\qquad$°(用含t的代数式表示)。(2)在旋转的过程中,若射线$AQ'$与边$E'F'$平行,则t的值为$\qquad$。
6或42
答案
16.(1)$(90-t)$ (2)6或42
解析
【分析】
第(1)问：△BEF绕点B逆时针旋转，速度为1°/秒，t秒后旋转角为t°，结合原直角∠FBE=90°，BF垂直于MN，可推出∠MBF'的表达式；第(2)问：射线AQ绕A顺时针旋转，速度4°/秒，t秒后旋转角为4t°，利用PQ//MN及平行线的角度关系，分两种情况讨论AQ'与E'F'平行时的t值。
【解析】
(1) 因为△BEF绕点B逆时针旋转，t秒后旋转角∠EBE'=t°，又原∠FBE=90°，BF⊥MN，所以∠FBM=90°，因此∠MBF'=∠FBM - ∠EBE'=90° - t°。
(2) 射线AQ绕A顺时针旋转，t秒后旋转角∠Q'AQ=4t°。由于PQ//MN，当AQ'与E'F'平行时，分两种情况：
① 当AQ'在PQ下方与E'F'平行时，结合旋转角度关系得方程：180° - 4t° = 30° + (90° - t°)，解得t=6；
② 当AQ'旋转超过半周后与E'F'平行时，得方程：4t° - 180° = (90° - t°) - 30°，解得t=42。
综上，t的值为6或42。
【答案】
(1) $90 - t$；(2) $6$或$42$
【知识点】
旋转的性质、平行线的判定、角度计算
【点评】
本题结合旋转与平行线知识，需分情况讨论，考查角度关系分析能力，是几何旋转类的典型题。
【难度系数】
0.3
第(1)问：△BEF绕点B逆时针旋转，速度为1°/秒，t秒后旋转角为t°，结合原直角∠FBE=90°，BF垂直于MN，可推出∠MBF'的表达式；第(2)问：射线AQ绕A顺时针旋转，速度4°/秒，t秒后旋转角为4t°，利用PQ//MN及平行线的角度关系，分两种情况讨论AQ'与E'F'平行时的t值。
【解析】
(1) 因为△BEF绕点B逆时针旋转，t秒后旋转角∠EBE'=t°，又原∠FBE=90°，BF⊥MN，所以∠FBM=90°，因此∠MBF'=∠FBM - ∠EBE'=90° - t°。
(2) 射线AQ绕A顺时针旋转，t秒后旋转角∠Q'AQ=4t°。由于PQ//MN，当AQ'与E'F'平行时，分两种情况：
① 当AQ'在PQ下方与E'F'平行时，结合旋转角度关系得方程：180° - 4t° = 30° + (90° - t°)，解得t=6；
② 当AQ'旋转超过半周后与E'F'平行时，得方程：4t° - 180° = (90° - t°) - 30°，解得t=42。
综上，t的值为6或42。
【答案】
(1) $90 - t$；(2) $6$或$42$
【知识点】
旋转的性质、平行线的判定、角度计算
【点评】
本题结合旋转与平行线知识，需分情况讨论，考查角度关系分析能力，是几何旋转类的典型题。
【难度系数】
0.3
