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21.(14分)(仙居县)
(1)已知∠ABC,射线ED//AB,如图1,过点E作∠DEF=∠ABC,请说明BC//EF的理由。
(2)如图2,已知∠ABC,射线ED//AB,∠ABC+∠DEF=180°。请判断直线BC与直线EF的位置关系,并说明理由。
(3)根据以上探究,能得出什么结论?请你写出来。
(4)如图3,已知AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥AC,HF⊥AB,若∠1=48°,求∠2的度数。
(1)已知∠ABC,射线ED//AB,如图1,过点E作∠DEF=∠ABC,请说明BC//EF的理由。
(2)如图2,已知∠ABC,射线ED//AB,∠ABC+∠DEF=180°。请判断直线BC与直线EF的位置关系,并说明理由。
(3)根据以上探究,能得出什么结论?请你写出来。
(4)如图3,已知AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥AC,HF⊥AB,若∠1=48°,求∠2的度数。
答案
21.(1)因为$ED//AB$,所以$∠ABC=∠DOC$。因为$∠DEF=∠ABC$,所以$∠DOC=∠DEF$。所以$BC//EF$。
(2)$BC//EF$。理由如下:因为$ED//AB$,所以$∠ABC=∠BOE$。因为$∠ABC+∠DEF=180°$,所以$∠BOE+∠DEF=180°$。所以$BC//EF$。
(3)由(1)(2)可得,若两个角相等或互补且一边平行,则另一边也平行。
(4)因为$AC⊥BC,DE⊥AC$,所以$DE//BC$。所以$∠DCB=∠1=48°$。因为$CD⊥AB,HF⊥AB$,所以$CD//HF$。所以$∠2=180°-∠DCB=132°$。
(2)$BC//EF$。理由如下:因为$ED//AB$,所以$∠ABC=∠BOE$。因为$∠ABC+∠DEF=180°$,所以$∠BOE+∠DEF=180°$。所以$BC//EF$。
(3)由(1)(2)可得,若两个角相等或互补且一边平行,则另一边也平行。
(4)因为$AC⊥BC,DE⊥AC$,所以$DE//BC$。所以$∠DCB=∠1=48°$。因为$CD⊥AB,HF⊥AB$,所以$CD//HF$。所以$∠2=180°-∠DCB=132°$。
解析
【分析】
本题围绕平行线的性质与判定展开，分四小问逐步探究：（1）要证$BC// EF$，需利用平行线的性质得到同位角相等，结合已知角相等，通过同位角相等判定平行；（2）要判断$BC$与$EF$的位置关系，利用平行线的性质得到同旁内角互补，结合已知角互补，通过同旁内角互补判定平行；（3）总结前两问的结论；（4）通过垂直关系推出平行线，再利用平行线的性质逐步推导角度，最终求出$∠2$的度数。
【解析】
(1) 因为$ED// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ABC=∠ DOC$。又因为$∠ DEF=∠ ABC$，所以$∠ DOC=∠ DEF$，根据“同位角相等，两直线平行”，因此$BC// EF$。
(2) $BC// EF$，理由如下：因为$ED// AB$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ ABC+∠ BOE=180°$。已知$∠ ABC+∠ DEF=180°$，所以$∠ BOE=∠ DEF$，根据“同位角相等，两直线平行”，因此$BC// EF$。
(3) 由(1)(2)的探究可得：若两个角相等或互补，且其中一组边平行，则另一组边也平行。
(4) 因为$AC⊥ BC$，$DE⊥ AC$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$DE// BC$，再根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ DCB=∠1=48°$。又因为$CD⊥ AB$，$HF⊥ AB$，同理可得$CD// HF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠2+∠ DCB=180°$，因此$∠2=180°-48°=132°$。
【答案】
21.(1)因为$ED//AB$,所以$∠ABC=∠DOC$。因为$∠DEF=∠ABC$,所以$∠DOC=∠DEF$。所以$BC//EF$。
(2)$BC//EF$。理由如下:因为$ED//AB$,所以$∠ABC=∠BOE$。因为$∠ABC+∠DEF=180°$,所以$∠BOE+∠DEF=180°$。所以$BC//EF$。
(3)由(1)(2)可得,若两个角相等或互补且一边平行,则另一边也平行。
(4)因为$AC⊥BC,DE⊥AC$,所以$DE//BC$。所以$∠DCB=∠1=48°$。因为$CD⊥AB,HF⊥AB$,所以$CD//HF$。所以$∠2=180°-∠DCB=132°$。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质与判定，通过分情况探究角相等或互补时的平行关系，再结合垂直关系推导角度，注重逻辑推理能力的考查，是几何基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕平行线的性质与判定展开，分四小问逐步探究：（1）要证$BC// EF$，需利用平行线的性质得到同位角相等，结合已知角相等，通过同位角相等判定平行；（2）要判断$BC$与$EF$的位置关系，利用平行线的性质得到同旁内角互补，结合已知角互补，通过同旁内角互补判定平行；（3）总结前两问的结论；（4）通过垂直关系推出平行线，再利用平行线的性质逐步推导角度，最终求出$∠2$的度数。
【解析】
(1) 因为$ED// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ABC=∠ DOC$。又因为$∠ DEF=∠ ABC$，所以$∠ DOC=∠ DEF$，根据“同位角相等，两直线平行”，因此$BC// EF$。
(2) $BC// EF$，理由如下：因为$ED// AB$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ ABC+∠ BOE=180°$。已知$∠ ABC+∠ DEF=180°$，所以$∠ BOE=∠ DEF$，根据“同位角相等，两直线平行”，因此$BC// EF$。
(3) 由(1)(2)的探究可得：若两个角相等或互补，且其中一组边平行，则另一组边也平行。
(4) 因为$AC⊥ BC$，$DE⊥ AC$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$DE// BC$，再根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ DCB=∠1=48°$。又因为$CD⊥ AB$，$HF⊥ AB$，同理可得$CD// HF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠2+∠ DCB=180°$，因此$∠2=180°-48°=132°$。
【答案】
21.(1)因为$ED//AB$,所以$∠ABC=∠DOC$。因为$∠DEF=∠ABC$,所以$∠DOC=∠DEF$。所以$BC//EF$。
(2)$BC//EF$。理由如下:因为$ED//AB$,所以$∠ABC=∠BOE$。因为$∠ABC+∠DEF=180°$,所以$∠BOE+∠DEF=180°$。所以$BC//EF$。
(3)由(1)(2)可得,若两个角相等或互补且一边平行,则另一边也平行。
(4)因为$AC⊥BC,DE⊥AC$,所以$DE//BC$。所以$∠DCB=∠1=48°$。因为$CD⊥AB,HF⊥AB$,所以$CD//HF$。所以$∠2=180°-∠DCB=132°$。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质与判定，通过分情况探究角相等或互补时的平行关系，再结合垂直关系推导角度，注重逻辑推理能力的考查，是几何基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
22.(14分)(义乌市)【提出问题】
(1)如图1,已知$AB// CD$,证明:$∠1+∠EPF+∠2=360°$。
【类比探究】
(2)如图2,已知$AB// CD$,设从点E出发的$(n-1)$条折线形成的$n$个角分别为$∠1,∠2,\dots,∠n$,探究:$∠1+∠2+∠3+\dots+∠n$的度数可能在$1700°$至$2000°$之间吗? 若有可能,请求出$n$的值;若不可能,请说明理由。
【拓展延伸】
(3)如图3,已知$AB// CD$,$∠AE_1E_2$的平分线$E_1O$与$∠CE_nE_{n-1}$的平分线$E_nO$交于点$O$。若$∠E_1OE_n=m°$,求$∠2+∠3+∠4+\dots+∠(n-1)$的度数(用含$m,n$的代数式表示)。
(1)如图1,已知$AB// CD$,证明:$∠1+∠EPF+∠2=360°$。
【类比探究】
(2)如图2,已知$AB// CD$,设从点E出发的$(n-1)$条折线形成的$n$个角分别为$∠1,∠2,\dots,∠n$,探究:$∠1+∠2+∠3+\dots+∠n$的度数可能在$1700°$至$2000°$之间吗? 若有可能,请求出$n$的值;若不可能,请说明理由。
【拓展延伸】
(3)如图3,已知$AB// CD$,$∠AE_1E_2$的平分线$E_1O$与$∠CE_nE_{n-1}$的平分线$E_nO$交于点$O$。若$∠E_1OE_n=m°$,求$∠2+∠3+∠4+\dots+∠(n-1)$的度数(用含$m,n$的代数式表示)。
答案
22.(1)如图1,过点P作$PG//AB$,则$∠1+∠GPE=180°$。因为$AB//CD$,所以$PG//CD$。所以$∠2+∠GPF=180°$。所以$∠1+∠GPE+∠GPF+∠2=360°$。所以$∠1+∠EPF+∠2=360°$。
(2)可能在$1700°$至$2000°$之间。如图2,过点G作$GH//AB$,$\dots$,过点P作$PQ//AB$。因为$AB//CD$,所以$AB//GH//\dots//PQ//CD$。所以$∠1+∠EGH=180°$,$\dots$,$∠QPF+∠n=180°$[有$(n-1)$对同旁内角]。所以$∠1+∠2+\dots∠(n-1)+∠n=180°(n-1)$。当$1700°＜180°(n-1)＜2000°$时,$n=11$或12,所以$n$的值为11或12。
(3)如图3,过点O作$OP//AB$。因为$AB//CD$,所以$OP//CD$。所以$∠AE_1O=∠POE_1,∠CE_nO=∠POE_n$。所以$∠AE_1O+∠CE_nO=∠POE_1+∠POE_n=∠E_1OE_n=m°$。又因为$∠AE_1E_2$的平分线$E_1O$与$∠CE_nE_{n-1}$的平分线$E_nO$交于点O,所以$∠AE_1E_2+∠CE_nE_{n-1}=2(∠AE_1O+∠CE_nO)=2m°$。由(2)可得,$∠AE_1E_2+∠2+\dots+∠(n-1)+∠CE_nE_{n-1}=180°(n-1)$,所以$∠2+∠3+∠4+\dots+∠(n-1)=180°(n-1)-2m°$。
解析
【分析】
本题围绕平行线间的折线角度问题展开，分为三部分：(1)通过构造辅助平行线，利用平行线同旁内角互补的性质推导单拐点的角度和；(2)将多拐点问题转化为多组平行线的同旁内角和，通过解不等式确定n的值；(3)结合角平分线与平行线性质，利用前序结论推导目标角度和，核心是辅助线构造与规律总结。
【解析】
(1) 证明：如图1，过点P作$PG//AB$，
因为$PG//AB$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠1 + ∠GPE = 180°$，
又$AB//CD$，故$PG//CD$，同理得$∠2 + ∠GPF = 180°$，
因此$∠1 + ∠GPE + ∠GPF + ∠2 = 180° + 180° = 360°$，即$∠1 + ∠EPF + ∠2 = 360°$。
(2) 解：如图2，过各拐点依次作平行于AB的直线，由$AB//CD$得这些直线互相平行，
根据平行线性质，共有$(n-1)$组同旁内角，故$∠1 + ∠2 + \dots + ∠n = 180°(n-1)$，
令$1700° ＜ 180°(n-1) ＜ 2000°$，计算得$9.44 ＜ n-1 ＜ 11.11$，
则$n-1=10$或$11$，即$n=11$或$12$，因此存在，n的值为11或12。
(3) 解：如图3，过点O作$OP//AB$，
因为$AB//CD$，所以$OP//CD$，根据平行线性质得$∠AE_1O = ∠POE_1$，$∠CE_nO = ∠POE_n$，
故$∠AE_1O + ∠CE_nO = ∠POE_1 + ∠POE_n = ∠E_1OE_n = m°$，
由角平分线定义，$∠AE_1E_2 = 2∠AE_1O$，$∠CE_nE_{n-1}=2∠CE_nO$，
因此$∠AE_1E_2 + ∠CE_nE_{n-1}=2(∠AE_1O + ∠CE_nO)=2m°$，
结合(2)的结论：$∠AE_1E_2 + ∠2 + \dots + ∠(n-1) + ∠CE_nE_{n-1}=180°(n-1)$，
所以$∠2 + ∠3 + \dots + ∠(n-1)=180°(n-1) - 2m°$。
【答案】
22.(1)如图1,过点P作$PG//AB$,则$∠1+∠GPE=180°$。因为$AB//CD$,所以$PG//CD$。所以$∠2+∠GPF=180°$。所以$∠1+∠GPE+∠GPF+∠2=360°$。所以$∠1+∠EPF+∠2=360°$。
(2)可能在$1700°$至$2000°$之间。如图2,过点G作$GH//AB$,$\dots$,过点P作$PQ//AB$。因为$AB//CD$,所以$AB//GH//\dots//PQ//CD$。所以$∠1+∠EGH=180°$,$\dots$,$∠QPF+∠n=180°$[有$(n-1)$对同旁内角]。所以$∠1+∠2+\dots∠(n-1)+∠n=180°(n-1)$。当$1700°＜180°(n-1)＜2000°$时,$n=11$或12,所以$n$的值为11或12。
(3)如图3,过点O作$OP//AB$。因为$AB//CD$,所以$OP//CD$。所以$∠AE_1O=∠POE_1,∠CE_nO=∠POE_n$。所以$∠AE_1O+∠CE_nO=∠POE_1+∠POE_n=∠E_1OE_n=m°$。又因为$∠AE_1E_2$的平分线$E_1O$与$∠CE_nE_{n-1}$的平分线$E_nO$交于点O,所以$∠AE_1E_2+∠CE_nE_{n-1}=2(∠AE_1O+∠CE_nO)=2m°$。由(2)可得,$∠AE_1E_2+∠2+\dots+∠(n-1)+∠CE_nE_{n-1}=180°(n-1)$,所以$∠2+∠3+∠4+\dots+∠(n-1)=180°(n-1)-2m°$。
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、一元一次不等式应用
【点评】
本题是平行线性质的综合拓展题，从单拐点到多拐点的角度规律探究，结合角平分线考察辅助线构造与逻辑推导，需要逐步分析，难度适中，能较好区分学生的几何应用能力。
【难度系数】
0.5
本题围绕平行线间的折线角度问题展开，分为三部分：(1)通过构造辅助平行线，利用平行线同旁内角互补的性质推导单拐点的角度和；(2)将多拐点问题转化为多组平行线的同旁内角和，通过解不等式确定n的值；(3)结合角平分线与平行线性质，利用前序结论推导目标角度和，核心是辅助线构造与规律总结。
【解析】
(1) 证明：如图1，过点P作$PG//AB$，
因为$PG//AB$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠1 + ∠GPE = 180°$，
又$AB//CD$，故$PG//CD$，同理得$∠2 + ∠GPF = 180°$，
因此$∠1 + ∠GPE + ∠GPF + ∠2 = 180° + 180° = 360°$，即$∠1 + ∠EPF + ∠2 = 360°$。
(2) 解：如图2，过各拐点依次作平行于AB的直线，由$AB//CD$得这些直线互相平行，
根据平行线性质，共有$(n-1)$组同旁内角，故$∠1 + ∠2 + \dots + ∠n = 180°(n-1)$，
令$1700° ＜ 180°(n-1) ＜ 2000°$，计算得$9.44 ＜ n-1 ＜ 11.11$，
则$n-1=10$或$11$，即$n=11$或$12$，因此存在，n的值为11或12。
(3) 解：如图3，过点O作$OP//AB$，
因为$AB//CD$，所以$OP//CD$，根据平行线性质得$∠AE_1O = ∠POE_1$，$∠CE_nO = ∠POE_n$，
故$∠AE_1O + ∠CE_nO = ∠POE_1 + ∠POE_n = ∠E_1OE_n = m°$，
由角平分线定义，$∠AE_1E_2 = 2∠AE_1O$，$∠CE_nE_{n-1}=2∠CE_nO$，
因此$∠AE_1E_2 + ∠CE_nE_{n-1}=2(∠AE_1O + ∠CE_nO)=2m°$，
结合(2)的结论：$∠AE_1E_2 + ∠2 + \dots + ∠(n-1) + ∠CE_nE_{n-1}=180°(n-1)$，
所以$∠2 + ∠3 + \dots + ∠(n-1)=180°(n-1) - 2m°$。
【答案】
22.(1)如图1,过点P作$PG//AB$,则$∠1+∠GPE=180°$。因为$AB//CD$,所以$PG//CD$。所以$∠2+∠GPF=180°$。所以$∠1+∠GPE+∠GPF+∠2=360°$。所以$∠1+∠EPF+∠2=360°$。
(2)可能在$1700°$至$2000°$之间。如图2,过点G作$GH//AB$,$\dots$,过点P作$PQ//AB$。因为$AB//CD$,所以$AB//GH//\dots//PQ//CD$。所以$∠1+∠EGH=180°$,$\dots$,$∠QPF+∠n=180°$[有$(n-1)$对同旁内角]。所以$∠1+∠2+\dots∠(n-1)+∠n=180°(n-1)$。当$1700°＜180°(n-1)＜2000°$时,$n=11$或12,所以$n$的值为11或12。
(3)如图3,过点O作$OP//AB$。因为$AB//CD$,所以$OP//CD$。所以$∠AE_1O=∠POE_1,∠CE_nO=∠POE_n$。所以$∠AE_1O+∠CE_nO=∠POE_1+∠POE_n=∠E_1OE_n=m°$。又因为$∠AE_1E_2$的平分线$E_1O$与$∠CE_nE_{n-1}$的平分线$E_nO$交于点O,所以$∠AE_1E_2+∠CE_nE_{n-1}=2(∠AE_1O+∠CE_nO)=2m°$。由(2)可得,$∠AE_1E_2+∠2+\dots+∠(n-1)+∠CE_nE_{n-1}=180°(n-1)$,所以$∠2+∠3+∠4+\dots+∠(n-1)=180°(n-1)-2m°$。
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、一元一次不等式应用
【点评】
本题是平行线性质的综合拓展题，从单拐点到多拐点的角度规律探究，结合角平分线考察辅助线构造与逻辑推导，需要逐步分析，难度适中，能较好区分学生的几何应用能力。
【难度系数】
0.5
