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例1 (金华市婺城区)下列方程中,属于二元一次方程的是 (
A.$3x - 6 = x$
B.$3x = 2y$
C.$x - y^2 = 0$
D.$2x - 3y = xy$
B
)A.$3x - 6 = x$
B.$3x = 2y$
C.$x - y^2 = 0$
D.$2x - 3y = xy$
答案
B
解析
【分析】要判断一个方程是否为二元一次方程，需依据其定义：①含有两个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程。接下来逐一分析各选项：选项A仅含1个未知数，不符合；选项B满足所有条件；选项C中y的次数为2，不符合；选项D中xy项的次数为2，不符合，由此确定答案。
【解析】根据二元一次方程的定义，需同时满足：含有两个未知数，未知数的最高次数为1，且为整式方程。
选项A：方程$3x - 6 = x$仅含1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元一次方程定义，排除；
选项B：方程$3x = 2y$含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程定义；
选项C：方程$x - y^2 = 0$中，未知数$y$的次数为2，属于二元二次方程，不符合，排除；
选项D：方程$2x - 3y = xy$中，项$xy$的次数为$1+1=2$，属于二元二次方程，不符合，排除；
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【点评】本题考查二元一次方程的判定，核心是掌握定义的三个关键条件，属于代数基础题，难度较低，适合巩固基础概念。
【难度系数】0.8
【解析】根据二元一次方程的定义，需同时满足：含有两个未知数，未知数的最高次数为1，且为整式方程。
选项A：方程$3x - 6 = x$仅含1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元一次方程定义，排除；
选项B：方程$3x = 2y$含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程定义；
选项C：方程$x - y^2 = 0$中，未知数$y$的次数为2，属于二元二次方程，不符合，排除；
选项D：方程$2x - 3y = xy$中，项$xy$的次数为$1+1=2$，属于二元二次方程，不符合，排除；
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【点评】本题考查二元一次方程的判定，核心是掌握定义的三个关键条件，属于代数基础题，难度较低，适合巩固基础概念。
【难度系数】0.8
例2 (长兴县)下列方程组中,属于二元一次方程组的是 (
A.$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 1, \\ z + y = 5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + 2y = 1, \\ x - 3y = 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5y = 10, \\ 8x - 7y = 25 \end{cases}$
D
)A.$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 1, \\ z + y = 5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + 2y = 1, \\ x - 3y = 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5y = 10, \\ 8x - 7y = 25 \end{cases}$
答案
D
解析
【分析】
要判断是否为二元一次方程组，需明确其判定条件：①方程组共含2个不同未知数；②每个方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的最高次数为1。据此逐一分析选项即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，需同时满足三个条件，逐一分析选项：
1. 选项A：第二个方程$x^2 + y^2 =13$中，未知数的次数为2，不满足“一次”的要求，排除；
2. 选项B：方程组含有x、y、z三个未知数，属于三元方程组，不满足“二元”的要求，排除；
3. 选项C：第一个方程$\frac{1}{x} +2y=1$中，$\frac{1}{x}$是分式，不是整式方程，排除；
4. 选项D：方程组含两个未知数x、y，两个方程均为整式方程，且含未知数的项的次数都是1，完全符合二元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题考查二元一次方程组的核心概念，属于基础题，需准确把握“二元、一次、整式方程”三个判定要素，避免因忽略细节出错。
【难度系数】
0.7
要判断是否为二元一次方程组，需明确其判定条件：①方程组共含2个不同未知数；②每个方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的最高次数为1。据此逐一分析选项即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，需同时满足三个条件，逐一分析选项：
1. 选项A：第二个方程$x^2 + y^2 =13$中，未知数的次数为2，不满足“一次”的要求，排除；
2. 选项B：方程组含有x、y、z三个未知数，属于三元方程组，不满足“二元”的要求，排除；
3. 选项C：第一个方程$\frac{1}{x} +2y=1$中，$\frac{1}{x}$是分式，不是整式方程，排除；
4. 选项D：方程组含两个未知数x、y，两个方程均为整式方程，且含未知数的项的次数都是1，完全符合二元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题考查二元一次方程组的核心概念，属于基础题，需准确把握“二元、一次、整式方程”三个判定要素，避免因忽略细节出错。
【难度系数】
0.7
1.(诸暨市)下列方程中,属于二元一次方程的是 (
A.$2x - 3 = 6$
B.$2x - 3 = y$
C.$x + y + z = 1$
D.$xy = 4$
B
)A.$2x - 3 = 6$
B.$2x - 3 = y$
C.$x + y + z = 1$
D.$xy = 4$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个方程是否为二元一次方程，需依据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。接下来逐一分析各选项：
选项A：仅含1个未知数x，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的要求；
选项B：含有x、y两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项C：含有x、y、z三个未知数，属于三元方程，不符合；
选项D：含未知数的项xy的次数是2，属于二元二次方程，不符合。
【解析】
根据二元一次方程的定义，需满足“两个未知数、未知数项次数为1、整式方程”三个条件：
1. 选项A：仅1个未知数，排除；
2. 选项B：含2个未知数，未知数项次数均为1，是整式方程，符合定义；
3. 选项C：含3个未知数，排除；
4. 选项D：未知数项次数为2，排除。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题直接考查二元一次方程的核心概念，属于基础题型，只要准确掌握定义即可快速判断，侧重对基础概念的理解应用。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为二元一次方程，需依据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。接下来逐一分析各选项：
选项A：仅含1个未知数x，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的要求；
选项B：含有x、y两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项C：含有x、y、z三个未知数，属于三元方程，不符合；
选项D：含未知数的项xy的次数是2，属于二元二次方程，不符合。
【解析】
根据二元一次方程的定义，需满足“两个未知数、未知数项次数为1、整式方程”三个条件：
1. 选项A：仅1个未知数，排除；
2. 选项B：含2个未知数，未知数项次数均为1，是整式方程，符合定义；
3. 选项C：含3个未知数，排除；
4. 选项D：未知数项次数为2，排除。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题直接考查二元一次方程的核心概念，属于基础题型，只要准确掌握定义即可快速判断，侧重对基础概念的理解应用。
【难度系数】
0.8
2.(嘉兴市)已知方程$(k-2)x+2y^{|k-1|}+1=0$是关于$x,y$的二元一次方程,则$k$的值为 (
A.$0$
B.$2$
C.$0$或$2$
D.$3$
A
)A.$0$
B.$2$
C.$0$或$2$
D.$3$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定k的值，需依据二元一次方程的定义，明确其需满足的核心条件：一是方程含有两个未知数x、y，二是含未知数的项的次数均为1，且未知数的系数不能为0。先根据y的次数要求求出k的可能值，再结合x的系数不为0的条件筛选出正确的k值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，需同时满足以下条件：
1. 含未知数的项的次数为1：对于y的项，次数为|k-1|，因此|k-1|=1，解得k=2或k=0；
2. 未知数的系数不能为0：对于x的项，系数为k-2，因此k-2≠0，即k≠2；
结合两个条件，排除k=2，故k=0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的定义，解题关键是牢记定义中“含未知数的项的次数为1”且“未知数的系数不为0”两个条件，易忽略系数不为0的限制而误选C，需注意细节。
【难度系数】
0.6
要确定k的值，需依据二元一次方程的定义，明确其需满足的核心条件：一是方程含有两个未知数x、y，二是含未知数的项的次数均为1，且未知数的系数不能为0。先根据y的次数要求求出k的可能值，再结合x的系数不为0的条件筛选出正确的k值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，需同时满足以下条件：
1. 含未知数的项的次数为1：对于y的项，次数为|k-1|，因此|k-1|=1，解得k=2或k=0；
2. 未知数的系数不能为0：对于x的项，系数为k-2，因此k-2≠0，即k≠2；
结合两个条件，排除k=2，故k=0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的定义，解题关键是牢记定义中“含未知数的项的次数为1”且“未知数的系数不为0”两个条件，易忽略系数不为0的限制而误选C，需注意细节。
【难度系数】
0.6
例3 (杭州市萧山区)已知$\begin{cases}x=a, \\ y=-2a\end{cases}$是方程$3x - y = 5$的一个解,则$a$的值是 ( )
A.$5$
B.$1$
C.$-5$
D.$-1$
A.$5$
B.$1$
C.$-5$
D.$-1$
答案
B
解析
【分析】首先明确二元一次方程解的定义：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解。题目给出$\begin{cases}x=a \\ y=-2a\end{cases}$是方程$3x - y =5$的解，因此将这组解代入原方程，可得到仅含未知数$a$的一元一次方程，解该方程即可求出$a$的值。
【解析】把$\begin{cases}x=a \\ y=-2a\end{cases}$代入方程$3x - y =5$，得：
$3a - (-2a) =5$
化简左边：$3a + 2a =5a$
即$5a=5$，两边同时除以5，解得$a=1$。
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查二元一次方程解的基础应用，只需将解代入方程转化为一元一次方程求解，属于简单的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】把$\begin{cases}x=a \\ y=-2a\end{cases}$代入方程$3x - y =5$，得：
$3a - (-2a) =5$
化简左边：$3a + 2a =5a$
即$5a=5$，两边同时除以5，解得$a=1$。
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查二元一次方程解的基础应用，只需将解代入方程转化为一元一次方程求解，属于简单的基础题型。
【难度系数】0.8
例4 (庆元县)若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=2m-1, \\ 2x-y=6\end{cases}$的解满足$x+y=-3$,则$m$的值为 ( )
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
A
解析
【分析】
本题解题思路为：题目给出含参数$m$的二元一次方程组，且方程组的解满足$x+y=-3$。先联立不含参数的两个方程求出$x$、$y$的值，再将$x$、$y$代入含参数的方程，即可计算出$m$的值。
【解析】
解：联立不含参数的方程组：
$\begin{cases}2x - y = 6 \\ x + y = -3\end{cases}$
将两式相加消去$y$：
$3x = 3$，解得$x=1$
把$x=1$代入$x+y=-3$，得$1+y=-3$，解得$y=-4$
将$x=1$，$y=-4$代入$x+2y=2m-1$：
$1 + 2×(-4) = 2m -1$
$-7 = 2m -1$
移项得$2m=-6$，解得$m=-3$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求参数值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题，核心是利用“方程组的解满足某一关系式”的条件，先求方程组的解再代入求参数，步骤清晰，考查学生对二元一次方程组解法的掌握。
【难度系数】
0.6
本题解题思路为：题目给出含参数$m$的二元一次方程组，且方程组的解满足$x+y=-3$。先联立不含参数的两个方程求出$x$、$y$的值，再将$x$、$y$代入含参数的方程，即可计算出$m$的值。
【解析】
解：联立不含参数的方程组：
$\begin{cases}2x - y = 6 \\ x + y = -3\end{cases}$
将两式相加消去$y$：
$3x = 3$，解得$x=1$
把$x=1$代入$x+y=-3$，得$1+y=-3$，解得$y=-4$
将$x=1$，$y=-4$代入$x+2y=2m-1$：
$1 + 2×(-4) = 2m -1$
$-7 = 2m -1$
移项得$2m=-6$，解得$m=-3$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求参数值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题，核心是利用“方程组的解满足某一关系式”的条件，先求方程组的解再代入求参数，步骤清晰，考查学生对二元一次方程组解法的掌握。
【难度系数】
0.6
