8. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,联结AC,BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE的长为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

8.C

【分析】
要解决本题，需先利用正方形的性质得到相关角度和线段长度，再结合角平分线的定义确定角度，最后通过三角函数的半角公式计算DE的长度。具体思路：1. 明确正方形的对角线平分内角，边长为1时对角线长为√2；2. 由CE平分∠ACD，得出∠DCE的度数；3. 结合△CDE的内角关系，利用半角公式求出tan22.5°，进而得到DE的长度。
【解析】
已知正方形ABCD边长为1，因此对角线BD=√(1²+1²)=√2，且正方形对角线平分内角，故∠ACD=45°，∠BDC=45°。
因为CE平分∠ACD，所以∠DCE=∠ACD÷2=22.5°。
在△CDE中，根据三角形内角和为180°，得∠DEC=180°-∠BDC-∠DCE=180°-45°-22.5°=112.5°。
根据三角函数关系，sin112.5°=sin(90°+22.5°)=cos22.5°，结合正弦定理：$\frac{DE}{\sin∠DCE}=\frac{CD}{\sin∠DEC}$，代入CD=1，得：
$DE=\frac{\sin22.5°}{\cos22.5°}=\tan22.5°$
利用半角公式$\tan\frac{α}{2}=\frac{1-\cosα}{\sinα}$，令α=45°，则：
$\tan22.5°=\frac{1-\cos45°}{\sin45°}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}-1$
因此DE=√2-1。
【答案】
C
【知识点】
正方形性质、角平分线、三角函数
【点评】
本题综合考查正方形的性质、角平分线的定义及三角函数的应用，解题关键是利用正方形对角线的角度特征，结合角平分线得到相关角度，再通过半角公式计算线段长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.4

9. (2024·金华市浦江县期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是AC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,若AC=8,BD=6,则PE+PF的值为 ()

A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{48}{5}$

9.C
【解析】如图,过点P作$PM ⊥ CD$于点M。因为四边形ABCD是菱形,所以$CD// AB,AC⊥ BD,OA=\frac{1}{2}AC,OB=\frac{1}{2}BD,AC$平分$∠ BCD$。因为$PF⊥ BC$于点F,所以$PF=PM$。因为$PE⊥ AB,PM⊥ CD,CD// AB$,所以P,E,M三点共线,所以$PE+PF=PE+PM=EM$。因为$AC=8,BD=6$,所以$OA=\frac{1}{2} × 8=4,OB=\frac{1}{2} × 6=3$,所以在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$。因为菱形ABCD的面积为$AB· EM=\frac{1}{2}AC· BD$,所以$5EM=\frac{1}{2} × 6 × 8$,所以$EM=\frac{24}{5}$,所以$PE+PF$的值为$\frac{24}{5}$。

【分析】
要计算PE+PF的值，需结合菱形的性质转化线段。首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出边长AB，再根据角平分线的性质将PF转化为P到CD的距离PM，结合AB与CD平行，得到PE+PF等于AB和CD之间的距离EM，最后通过菱形的两种面积计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）求出EM，即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=$\frac{1}{2}$BD=3，AB//CD，AC平分∠BCD。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{OA^2 + OB^2}$=$\sqrt{4^2 + 3^2}$=5。
过点P作PM⊥CD于点M，
∵AC平分∠BCD，PF⊥BC，PM⊥CD，
∴根据角平分线的性质，PF=PM。
又
∵AB//CD，PE⊥AB，
∴PE⊥CD，即P、E、M三点共线，
∴PE+PF=PE+PM=EM。
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
同时菱形面积=AB·EM，
∴5·EM=24，解得EM=$\frac{24}{5}$，
即PE+PF=$\frac{24}{5}$，故选C。
【答案】C
【知识点】菱形的性质、角平分线的性质、面积计算
【点评】本题考查菱形的性质与角平分线的性质，通过作辅助线将线段和转化为菱形的高，利用面积法求解是核心思路，是几何中常见的综合题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】0.6

10. (2025·湖州市吴兴区期末)如图,已知四边形纸片ABCD,E,F,G,H是四条边上的中点,联结EG,分别过点H,F作HI⊥EG于点I,FJ⊥EG于点J,沿EG,HI,FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片,记为①,②,③,④,将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN(①沿BD方向平移,④和②分别绕点H和点G旋转180°)。若EJ=5 cm,JG=2 cm,FJ=3 cm,则四边形ILMN的周长是 ()

A.24 cm
B.26 cm
C.$(22+2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
D.28 cm

10.B
【解析】如图,由题意,得$FJ=PM=PL=3\ \mathrm{cm}$,$JG=GL=2\ \mathrm{cm}$,$MQ=EJ=5\ \mathrm{cm}$。设$JI=x\ \mathrm{cm}$,则$NQ=EI=EJ-JI=(5-x)\mathrm{cm}$。因为$HI⊥ EG,FJ⊥ EG$,所以$∠ HIE=∠ HIJ=90°$,$∠ FJI=∠ FJG=90°$。由平移和旋转的性质,得$∠ N=∠ M=∠ L=90°$,所以四边形ILMN是矩形,所以$ML=NI$,所以四边形ILMN的周长是$MN+ML+LI+NI=5-x+5+6+4+x+6=26(\mathrm{cm})$。

【分析】
要解决本题，需结合图形平移、旋转的性质，明确变换后新四边形ILMN的形状及各边的对应关系：首先，由平移和旋转的性质可知，新四边形ILMN的四个角均为直角，故它是矩形；其次，变换前后对应边相等，设未知线段JI=x，可表示出各边长度，最终发现未知量x会在周长计算中抵消，无需求解x即可得到周长。
【解析】
根据题意，由平移、旋转的性质可得：四边形ILMN是矩形，对应边相等，即FJ=PM=PL=3 cm，JG=GL=2 cm，MQ=EJ=5 cm。
设JI=x cm，则EI=NQ=EJ-JI=(5-x) cm。
矩形ILMN的周长为各边长度之和：MN+ML+LI+NI=(5-x)+5+6+4+x+6=26(cm)。
【答案】
B
【知识点】
平移旋转性质；矩形判定与性质；线段和差
【点评】
本题结合图形变换考查矩形周长计算，核心是利用变换前后对应边相等，通过设未知量发现其抵消以简化计算，需掌握图形变换的基本性质。
【难度系数】
0.5

11. (2025·金华市金东区期末)如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE,联结AE,BE,则∠AEB的度数为度。

11.30

【分析】要计算∠AEB的度数，需结合正方形和等边三角形的性质推导。首先利用正方形四边相等、内角为90°，等边三角形三边相等、内角为60°的性质，得到边的等量关系，确定△ADE和△BCE为等腰三角形；再计算等腰三角形的顶角，求出底角，最后用等边三角形的∠DEC减去两个底角，即可得到∠AEB。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠BCD=90°。
∵△CDE是等边三角形，
∴DC=DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°。
∴AD=DE，BC=CE，即△ADE和△BCE都是等腰三角形。
计算∠ADE：∠ADE=∠ADC + ∠CDE=90°+60°=150°，
在△ADE中，∠AED=(180°-∠ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°。
同理，∠BCE=∠BCD + ∠DCE=90°+60°=150°，
在△BCE中，∠BEC=(180°-∠BCE)÷2=(180°-150°)÷2=15°。
又
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠AEB=∠DEC - ∠AED - ∠BEC=60°-15°-15°=30°。
【答案】30
【知识点】正方形性质、等边三角形性质、等腰三角形角度计算
【点评】本题综合考查正方形与等边三角形的性质，核心是通过边的等量关系构造等腰三角形，利用等腰三角形内角和求角度，需掌握图形性质的结合运用，难度适中。
【难度系数】0.6

12.(2024·宁波市南三县期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AD=5,∠AOD=60°,则AC=。

12.10

【分析】
本题考查矩形的性质与等边三角形的判定，解题思路为：首先利用矩形对角线的性质，得出对角线互相平分且相等，进而得到OA=OD；再结合已知的∠AOD=60°，判定△AOD为等边三角形，求出OA的长度；最后根据AC与OA的关系计算AC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴ OA=OD。
又
∵ ∠AOD=60°，
∴ △AOD是等边三角形，
∴ OA=AD=5。
∴ AC=2OA=2×5=10。
【答案】
10
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形性质与等边三角形的基础应用，核心是利用矩形对角线互相平分且相等的特点，结合60°角构造等边三角形，进而求解线段长度，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.3

13.(2024·绍兴市上虞区期末)将两张同样宽度的纸片按如图所示的方式叠放在一起,记重叠部分为四边形ABCD,若$AB=3\ \mathrm{cm}$,则四边形ABCD的周长为________cm。

13.12

【分析】
首先观察图形，两张纸条的对边分别平行，因此重叠部分四边形ABCD是平行四边形；再根据两张纸片宽度相同，利用平行四边形面积公式可推出邻边相等，进而判定ABCD为菱形，最后根据菱形边长计算周长。
【解析】
1. 判定四边形ABCD的形状：因为两张纸条的对边分别平行，即AB//CD，AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
2. 推导邻边相等：设两张纸条的宽度为$ h $，平行四边形ABCD的面积可表示为$ AB · h $，也可表示为$ BC · h $，由于两张纸条宽度相同，即$ h $相等，因此$ AB · h = BC · h $，可得$ AB = BC $。
3. 计算周长：由$ AB = BC = 3\ \mathrm{cm} $，可知平行四边形ABCD是菱形，菱形四条边相等，所以周长为$ 4 × AB = 4 × 3 = 12\ \mathrm{cm} $。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定与性质
【点评】
本题结合平行四边形和菱形的性质，利用纸条宽度相同的隐含条件推导邻边相等，进而求出周长，关键在于理解平行四边形面积与纸条宽度的关系，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5