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14. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB=3$,$E$是$AD$上的点,$AE=2$,联结$BE$,作$AF ⊥ BE$交$DC$于点$F$,联结$EF$,则$EF=\_\_\_\_\_\_$。
答案
14.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理逐步推导：首先利用正方形的边和角的特性，通过垂直条件找到相等的角，证明三角形全等得到关键线段长度，最后用勾股定理计算EF的长度。具体思路：1. 由正方形性质得AB=AD，∠BAD=∠D=90°；2. 根据AF⊥BE推出∠ABE=∠DAF，证明△ABE与△DAF全等；3. 利用全等关系得到DF=AE，再算出ED的长度；4. 在直角三角形EDF中应用勾股定理求EF。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=3，∠BAD=∠D=90°，
∴ ∠BAF + ∠DAF = 90°。
又
∵ AF⊥BE，
∴ ∠ABE + ∠BAF = 90°，
∴ ∠ABE = ∠DAF。
在△ABE和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠DAF \\AB = AD \\∠BAE = ∠D = 90°\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DAF（ASA），
∴ AE = DF = 2。
∵ AD=3，AE=2，
∴ ED = AD - AE = 3 - 2 = 1。
在Rt△EDF中，由勾股定理得：
EF = $\sqrt{ED^2 + DF^2}$ = $\sqrt{1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查初中几何核心知识点，通过正方形性质推导角的关系，利用全等三角形得到线段长度，最终用勾股定理计算目标线段，题型基础且典型，侧重知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理逐步推导：首先利用正方形的边和角的特性，通过垂直条件找到相等的角，证明三角形全等得到关键线段长度，最后用勾股定理计算EF的长度。具体思路：1. 由正方形性质得AB=AD，∠BAD=∠D=90°；2. 根据AF⊥BE推出∠ABE=∠DAF，证明△ABE与△DAF全等；3. 利用全等关系得到DF=AE，再算出ED的长度；4. 在直角三角形EDF中应用勾股定理求EF。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=3，∠BAD=∠D=90°，
∴ ∠BAF + ∠DAF = 90°。
又
∵ AF⊥BE，
∴ ∠ABE + ∠BAF = 90°，
∴ ∠ABE = ∠DAF。
在△ABE和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠DAF \\AB = AD \\∠BAE = ∠D = 90°\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DAF（ASA），
∴ AE = DF = 2。
∵ AD=3，AE=2，
∴ ED = AD - AE = 3 - 2 = 1。
在Rt△EDF中，由勾股定理得：
EF = $\sqrt{ED^2 + DF^2}$ = $\sqrt{1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查初中几何核心知识点，通过正方形性质推导角的关系，利用全等三角形得到线段长度，最终用勾股定理计算目标线段，题型基础且典型，侧重知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
15.(2024·杭州市萧山区期末)真实情境 如图1,杭州纸伞馆有制作精美的纸伞。如图2,四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD,伞骨联结点A固定在伞柄AP顶端,伞圈C能沿着伞柄AP滑动。小聪通过测量发现:当伞完全张开时,伞柄AP的中点O到伞骨联结点B,D的距离都等于AP的一半,若夹角$∠BAD=2∠BOD$,则$∠BCD$的度数是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.$144°$
【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以$∠ BCA=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ BCD$,$∠ BAO=∠ DAO=\frac{1}{2}∠ BAD$,所以$∠ BAD=2∠ BAO$,$∠ BCD=∠ BAD$。因为$∠ BAD=2∠ BOD$,所以$∠ BAO=∠ BOD$。由题意,得$OA=OB=OD=\frac{1}{2}AP$,所以$∠ BAO=∠ OBA=∠ OAD=∠ ODA=∠ BOD$。因为$∠ BAO+∠ OBA+∠ OAD+∠ ODA+∠ BOD=360°$,即$5∠ BAO=360°$,所以$∠ BAO=72°$,所以$∠ BCD=∠ BAD=2∠ BAO=2×72°=144°$。
【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以$∠ BCA=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ BCD$,$∠ BAO=∠ DAO=\frac{1}{2}∠ BAD$,所以$∠ BAD=2∠ BAO$,$∠ BCD=∠ BAD$。因为$∠ BAD=2∠ BOD$,所以$∠ BAO=∠ BOD$。由题意,得$OA=OB=OD=\frac{1}{2}AP$,所以$∠ BAO=∠ OBA=∠ OAD=∠ ODA=∠ BOD$。因为$∠ BAO+∠ OBA+∠ OAD+∠ ODA+∠ BOD=360°$,即$5∠ BAO=360°$,所以$∠ BAO=72°$,所以$∠ BCD=∠ BAD=2∠ BAO=2×72°=144°$。
解析
【分析】
首先，根据菱形的性质，菱形的对角相等，且对角线平分内角，可得到∠BCD=∠BAD，∠BAO=1/2∠BAD；结合已知∠BAD=2∠BOD，可推导出∠BAO与∠BOD相等。再由O是AP中点，OA=OB=OD，可知△OAB、△OAD为等腰三角形，进而得到∠OBA=∠BAO，∠ODA=∠DAO，结合∠BAO=∠DAO，可得∠OBA=∠ODA=∠BAO=∠DAO，再结合∠BAO=∠BOD，发现这五个角相等，利用它们的和为360°，即可求出∠BAO的度数，进而算出∠BAD，再根据菱形对角相等得到∠BCD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD=∠BAD，AC平分∠BAD，即∠BAO=∠DAO=1/2∠BAD，
又
∵∠BAD=2∠BOD，
∴∠BAO=1/2×2∠BOD=∠BOD。
由题意知，O是AP中点，OA=OB=OD=1/2AP，
∴△OAB中，OA=OB，故∠OBA=∠BAO；
△OAD中，OA=OD，故∠ODA=∠DAO；
又
∵∠BAO=∠DAO，且∠BAO=∠BOD，
∴∠OBA=∠ODA=∠BAO=∠DAO=∠BOD。
观察图形，∠BAO+∠OBA+∠OAD+∠ODA+∠BOD=360°，
即5∠BAO=360°，解得∠BAO=72°，
∴∠BAD=2∠BAO=2×72°=144°，
∵菱形对角相等，
∴∠BCD=∠BAD=144°。
【答案】
144°
【知识点】
菱形的性质，等腰三角形的性质，角度计算
【点评】
本题结合纸伞的真实情境，考查菱形与等腰三角形的性质，通过角的等量关系推导求解，需熟练掌握菱形的基本性质，理清角之间的关联，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先，根据菱形的性质，菱形的对角相等，且对角线平分内角，可得到∠BCD=∠BAD，∠BAO=1/2∠BAD；结合已知∠BAD=2∠BOD，可推导出∠BAO与∠BOD相等。再由O是AP中点，OA=OB=OD，可知△OAB、△OAD为等腰三角形，进而得到∠OBA=∠BAO，∠ODA=∠DAO，结合∠BAO=∠DAO，可得∠OBA=∠ODA=∠BAO=∠DAO，再结合∠BAO=∠BOD，发现这五个角相等，利用它们的和为360°，即可求出∠BAO的度数，进而算出∠BAD，再根据菱形对角相等得到∠BCD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD=∠BAD，AC平分∠BAD，即∠BAO=∠DAO=1/2∠BAD，
又
∵∠BAD=2∠BOD，
∴∠BAO=1/2×2∠BOD=∠BOD。
由题意知，O是AP中点，OA=OB=OD=1/2AP，
∴△OAB中，OA=OB，故∠OBA=∠BAO；
△OAD中，OA=OD，故∠ODA=∠DAO；
又
∵∠BAO=∠DAO，且∠BAO=∠BOD，
∴∠OBA=∠ODA=∠BAO=∠DAO=∠BOD。
观察图形，∠BAO+∠OBA+∠OAD+∠ODA+∠BOD=360°，
即5∠BAO=360°，解得∠BAO=72°，
∴∠BAD=2∠BAO=2×72°=144°，
∵菱形对角相等，
∴∠BCD=∠BAD=144°。
【答案】
144°
【知识点】
菱形的性质，等腰三角形的性质，角度计算
【点评】
本题结合纸伞的真实情境，考查菱形与等腰三角形的性质，通过角的等量关系推导求解，需熟练掌握菱形的基本性质，理清角之间的关联，难度适中。
【难度系数】
0.5
16. 如图,在矩形ABCD中,AB＞AD,将矩形沿着过点C的直线m翻折,直线m与射线BA交于点E,点B的对应点为点F,已知AB=15,AD=9,若$△ CFD$是直角三角形,则BE的长为
3或27
。答案
16.3或27
【解析】分两种情况:①当直线m与边BA交于点E,点F落在矩形ABCD内部,$△ CFD$是直角三角形时,联结DF,如图1所示。因为四边形ABCD是矩形,所以$CD=AB=15$,$BC=AD=9$,$∠ A=∠ B=90°$。设$BE=x$。由折叠的性质,得$EF=BE=x$,$CF=BC=9$,$∠ CFE=∠ B=90°$。因为$∠ CFD=90°$,所以$DF=\sqrt{CD^2-CF^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$,$∠ CFD+∠ CFE=180°$,所以D,F,E三点共线,所以$DE=DF+EF=12+x$,$AE=AB-BE=15-x$。在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得$AD^2+AE^2=DE^2$,即$9^2+(15-x)^2=(12+x)^2$,解得$x=3$,所以$BE=3$。②当直线m与射线BA交于点E,点F落在矩形ABCD外部,$△ CFD$是直角三角形时,如图2所示。由折叠的性质,得$∠ FEC=∠ BEC$。因为四边形ABCD是矩形,所以$CD// AB$,所以$∠ DCE=∠ BEC$,所以$∠ DCE=∠ FEC$,所以$DE=DC=15$,所以在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得$AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$,所以$BE=AE+AB=12+15=27$。综上所述,BE的长为3或27。
解析
【分析】
要解决该问题，需结合矩形和折叠的性质，分两种情况讨论点F的位置（矩形内部/外部），利用△CFD为直角三角形的条件，结合勾股定理建立方程求解BE的长度。首先明确矩形边长：CD=AB=15，BC=AD=9；折叠后对应边相等，即CF=BC=9，∠CFE=∠B=90°，且△CFD为直角三角形，直角只能是∠F（CF=9＜CD=15，排除直角在C或D的可能），再分别对两种位置的F分析计算。
【解析】
分两种情况：
① 点F落在矩形ABCD内部（图1）：
连接DF，由矩形性质得：CD=AB=15，AD=BC=9，∠A=∠B=90°。
由折叠性质：CF=BC=9，∠CFE=∠B=90°，EF=BE。
因△CFD是直角三角形，∠CFD=90°，在Rt△CFD中，由勾股定理：
DF=√(CD² - CF²)=√(15² -9²)=12。
又∠CFD + ∠CFE=180°，故D、F、E三点共线。
设BE=x，则EF=x，DE=12+x，AE=15-x。
在Rt△ADE中，由勾股定理：9² + (15-x)²=(12+x)²，
展开化简：81 +225 -30x +x²=144 +24x +x² →54x=162→x=3，即BE=3。
② 点F落在矩形ABCD外部（图2）：
由折叠性质：∠FEC=∠BEC。
因矩形ABCD中CD//AB，故∠DCE=∠BEC（内错角相等），得∠DCE=∠FEC，故DE=DC=15。
在Rt△ADE中，AD=9，DE=15，由勾股定理：AE=√(15²-9²)=12。
此时E在BA延长线上，故BE=AE+AB=12+15=27。
综上，BE的长为3或27。
【答案】
3或27
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题考查几何综合应用，核心是分类讨论思想，需根据点F的不同位置结合折叠性质转化边长，利用勾股定理建立方程，关键是确定△CFD的直角顶点，避免漏解。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需结合矩形和折叠的性质，分两种情况讨论点F的位置（矩形内部/外部），利用△CFD为直角三角形的条件，结合勾股定理建立方程求解BE的长度。首先明确矩形边长：CD=AB=15，BC=AD=9；折叠后对应边相等，即CF=BC=9，∠CFE=∠B=90°，且△CFD为直角三角形，直角只能是∠F（CF=9＜CD=15，排除直角在C或D的可能），再分别对两种位置的F分析计算。
【解析】
分两种情况：
① 点F落在矩形ABCD内部（图1）：
连接DF，由矩形性质得：CD=AB=15，AD=BC=9，∠A=∠B=90°。
由折叠性质：CF=BC=9，∠CFE=∠B=90°，EF=BE。
因△CFD是直角三角形，∠CFD=90°，在Rt△CFD中，由勾股定理：
DF=√(CD² - CF²)=√(15² -9²)=12。
又∠CFD + ∠CFE=180°，故D、F、E三点共线。
设BE=x，则EF=x，DE=12+x，AE=15-x。
在Rt△ADE中，由勾股定理：9² + (15-x)²=(12+x)²，
展开化简：81 +225 -30x +x²=144 +24x +x² →54x=162→x=3，即BE=3。
② 点F落在矩形ABCD外部（图2）：
由折叠性质：∠FEC=∠BEC。
因矩形ABCD中CD//AB，故∠DCE=∠BEC（内错角相等），得∠DCE=∠FEC，故DE=DC=15。
在Rt△ADE中，AD=9，DE=15，由勾股定理：AE=√(15²-9²)=12。
此时E在BA延长线上，故BE=AE+AB=12+15=27。
综上，BE的长为3或27。
【答案】
3或27
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题考查几何综合应用，核心是分类讨论思想，需根据点F的不同位置结合折叠性质转化边长，利用勾股定理建立方程，关键是确定△CFD的直角顶点，避免漏解。
【难度系数】
0.5
三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边BC,AD上,DF=BE。
(1)求证:四边形AECF是平行四边形。
(2)联结AC,EF,当AC,EF满足
17.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边BC,AD上,DF=BE。
(1)求证:四边形AECF是平行四边形。
(2)联结AC,EF,当AC,EF满足
$AC=EF$
时,四边形AECF是矩形。答案
17.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD// BC$,$AD=BC$。因为$DF=BE$,所以$AF=EC$,所以四边形AECF是平行四边形。
(2)$AC=EF$
(2)$AC=EF$
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形AECF是平行四边形，需利用平行四边形的性质得到边的关系，结合已知DF=BE推导AF与EC平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问在已证AECF是平行四边形的基础上，根据矩形的判定定理，确定使平行四边形成为矩形的对角线条件。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。
又
∵DF=BE，
∴AD - DF = BC - BE，即AF = EC。
∵AF在AD上，EC在BC上，AD//BC，
∴AF//EC，且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
∴当AC=EF时，四边形AECF是矩形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) AC=EF
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定，属于基础几何题，需熟练掌握相关判定定理，解题时先利用平行四边形性质推导边的关系，再结合判定定理完成证明与填空，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问要证明四边形AECF是平行四边形，需利用平行四边形的性质得到边的关系，结合已知DF=BE推导AF与EC平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问在已证AECF是平行四边形的基础上，根据矩形的判定定理，确定使平行四边形成为矩形的对角线条件。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。
又
∵DF=BE，
∴AD - DF = BC - BE，即AF = EC。
∵AF在AD上，EC在BC上，AD//BC，
∴AF//EC，且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
∴当AC=EF时，四边形AECF是矩形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) AC=EF
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定，属于基础几何题，需熟练掌握相关判定定理，解题时先利用平行四边形性质推导边的关系，再结合判定定理完成证明与填空，难度适中。
【难度系数】
0.6
