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18.(8分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,AC=6,BD=8,AB=5。
(1)求证:四边形ABCD是菱形。
(2)求四边形ABCD的面积。
(1)求证:四边形ABCD是菱形。
(2)求四边形ABCD的面积。
答案
18.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,$AC=6$,$BD=8$,所以$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$。因为$OA=3$,$OB=4$,$AB=5$,所以$OA^2+OB^2=AB^2$,所以$△ AOB$是直角三角形,且$∠ AOB=90°$,所以$AC⊥ BD$,所以平行四边形ABCD是菱形。
(2)解:由(1)知四边形ABCD是菱形,所以$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2} × 6 × 8=24$。
(2)解:由(1)知四边形ABCD是菱形,所以$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2} × 6 × 8=24$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明平行四边形ABCD是菱形，核心思路是利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一判定定理，先结合平行四边形对角线互相平分的性质求出OA、OB的长度，再通过勾股定理逆定理证明对角线AC与BD垂直；第(2)问求菱形面积，直接运用菱形面积公式“对角线乘积的一半”计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=8，
∴ 根据平行四边形对角线互相平分的性质，得：
$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$。
在△AOB中，$OA=3$，$OB=4$，$AB=5$，
∵ $OA^2 + OB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$AB^2 = 5^2 = 25$，
∴ $OA^2 + OB^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，即$AC⊥BD$。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线互相垂直，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
由(1)知四边形ABCD是菱形，根据菱形面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半，
∴ $S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×AC×BD = \frac{1}{2}×6×8 = 24$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，四边形ABCD是菱形；
(2) 四边形ABCD的面积为24。
【知识点】
菱形的判定、菱形的面积计算、平行四边形的性质
【点评】
本题是菱形相关的基础题型，综合考查平行四边形的性质、勾股定理逆定理以及菱形的判定和面积公式，解题思路清晰，步骤明确，属于学生应熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.3
本题分为两小问，第(1)问需证明平行四边形ABCD是菱形，核心思路是利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一判定定理，先结合平行四边形对角线互相平分的性质求出OA、OB的长度，再通过勾股定理逆定理证明对角线AC与BD垂直；第(2)问求菱形面积，直接运用菱形面积公式“对角线乘积的一半”计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=8，
∴ 根据平行四边形对角线互相平分的性质，得：
$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$。
在△AOB中，$OA=3$，$OB=4$，$AB=5$，
∵ $OA^2 + OB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$AB^2 = 5^2 = 25$，
∴ $OA^2 + OB^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，即$AC⊥BD$。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线互相垂直，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
由(1)知四边形ABCD是菱形，根据菱形面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半，
∴ $S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×AC×BD = \frac{1}{2}×6×8 = 24$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，四边形ABCD是菱形；
(2) 四边形ABCD的面积为24。
【知识点】
菱形的判定、菱形的面积计算、平行四边形的性质
【点评】
本题是菱形相关的基础题型，综合考查平行四边形的性质、勾股定理逆定理以及菱形的判定和面积公式，解题思路清晰，步骤明确，属于学生应熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.3
19.(8分)定义:在边长为1的小正方形方格纸中,把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形。在$5×5$的正方形网格中,若每一个小正方形的边长均为1,请仅用无刻度的直尺按要求画图。
(1)在图1中画一个以AB为边的格点正方形ABCD。
(2)在图2中画一个格点平行四边形AEBF,使平行四边形的面积为6。
(3)在图3中画一个格点菱形AMBN,四边形AMBN不是正方形。
(1)在图1中画一个以AB为边的格点正方形ABCD。
(2)在图2中画一个格点平行四边形AEBF,使平行四边形的面积为6。
(3)在图3中画一个格点菱形AMBN,四边形AMBN不是正方形。
答案
19.(1)解:如图1,格点正方形ABCD即为所求作。
(2)解:如图2,格点平行四边形AEBF即为所求作。
(3)解:如图3,格点菱形AMBN即为所求作。(答案不唯一)
解析
【分析】
本题为格点图形作图题，需结合正方形、平行四边形、菱形的性质，利用网格边长为1的特点，通过确定格点位置完成作图：
(1) 作以AB为边的格点正方形，需保证AB的邻边与AB垂直且长度相等，利用网格中线段的斜率关系找到垂直的格点线段，确定另外两个顶点，连接得到正方形；
(2) 作面积为6的格点平行四边形，利用平行四边形面积公式（底×高），在网格中选取合适的底和高，找到对应格点使对边平行且相等，构成平行四边形；
(3) 作非正方形的格点菱形，需保证四边相等且邻边不垂直，利用网格找到满足四边相等的格点，且对角线不相等，避免为正方形。
【解析】
(1) 在图1中，AB的横向距离为1、纵向距离为3，其垂直向量为(3,1)，从B点沿该向量得到点C，从A点沿该向量得到点D，连接AB、BC、CD、DA，即可得到以AB为边的格点正方形ABCD；
(2) 在图2中，选取水平底AE=3，对应高为2，找到格点E、F，使AE//FB且AE=FB，连接各点得到平行四边形AEBF，其面积为3×2=6，符合要求；
(3) 在图3中，找到格点M、N，使AM=MB=BN=NA，且邻边不垂直，连接各点得到菱形AMBN，该四边形邻边不垂直，不是正方形。
【答案】
(1) 如图1，格点正方形ABCD即为所求；
(2) 如图2，格点平行四边形AEBF即为所求；
(3) 如图3，格点菱形AMBN即为所求（答案不唯一）。
【知识点】
格点图形、特殊四边形性质
【点评】
本题考查网格中的格点作图，核心是利用特殊四边形的性质结合网格特点确定格点，既考查几何图形性质的应用，也锻炼几何直观与作图能力，属于中等难度的题目。
【难度系数】
0.5
本题为格点图形作图题，需结合正方形、平行四边形、菱形的性质，利用网格边长为1的特点，通过确定格点位置完成作图：
(1) 作以AB为边的格点正方形，需保证AB的邻边与AB垂直且长度相等，利用网格中线段的斜率关系找到垂直的格点线段，确定另外两个顶点，连接得到正方形；
(2) 作面积为6的格点平行四边形，利用平行四边形面积公式（底×高），在网格中选取合适的底和高，找到对应格点使对边平行且相等，构成平行四边形；
(3) 作非正方形的格点菱形，需保证四边相等且邻边不垂直，利用网格找到满足四边相等的格点，且对角线不相等，避免为正方形。
【解析】
(1) 在图1中，AB的横向距离为1、纵向距离为3，其垂直向量为(3,1)，从B点沿该向量得到点C，从A点沿该向量得到点D，连接AB、BC、CD、DA，即可得到以AB为边的格点正方形ABCD；
(2) 在图2中，选取水平底AE=3，对应高为2，找到格点E、F，使AE//FB且AE=FB，连接各点得到平行四边形AEBF，其面积为3×2=6，符合要求；
(3) 在图3中，找到格点M、N，使AM=MB=BN=NA，且邻边不垂直，连接各点得到菱形AMBN，该四边形邻边不垂直，不是正方形。
【答案】
(1) 如图1，格点正方形ABCD即为所求；
(2) 如图2，格点平行四边形AEBF即为所求；
(3) 如图3，格点菱形AMBN即为所求（答案不唯一）。
【知识点】
格点图形、特殊四边形性质
【点评】
本题考查网格中的格点作图，核心是利用特殊四边形的性质结合网格特点确定格点，既考查几何图形性质的应用，也锻炼几何直观与作图能力，属于中等难度的题目。
【难度系数】
0.5
20.(8分)(2025·绍兴市新昌县期末)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(不与点B,D重合),过点G作$GE// BC,GF// DC$,分别交DC,BC于点E,F。
(1)求证:四边形GECF是矩形。
(2)若$AB=7,CF=3$,求AG的长。
(1)求证:四边形GECF是矩形。
(2)若$AB=7,CF=3$,求AG的长。
答案
20.(1)证明:因为$GE// BC$,$GF// DC$,所以四边形GECF是平行四边形。因为在正方形ABCD中,$∠ C=90°$,所以$□ GECF$是矩形。
(2)解:如图,延长FG交AD于点H。在正方形ABCD中,$∠ ADC=90°$,$∠ BDC=45°$。因为$∠ DEG=∠ CEG=∠ HGE=∠ FGE=90°$,所以四边形DHGE是矩形,$△ DGE$是等腰直角三角形,所以$DE=GE=CF=3$,所以矩形DHGE是正方形,所以$HG=DH=GE=3$,$AH=AD-DH=7-3=4$。在$\mathrm{Rt}△ AHG$中,由勾股定理,得$AG=\sqrt{AH^2+HG^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
解析
【分析】
第(1)问，要证明四边形GECF是矩形，先利用两组对边平行判定其为平行四边形，再结合正方形的内角为直角，根据矩形的判定定理完成证明；第(2)问，求AG的长，需利用正方形对角线的性质得到等腰直角三角形，通过延长FG构造矩形DHGE，结合已知条件推出该矩形为正方形，进而得到相关线段长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算AG。
【解析】
(1) 证明：
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ 四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C = 90°，
∴ 平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
延长FG交AD于点H，如图所示。
∵ 四边形ABCD是正方形，AB = 7，
∴ AD = AB = 7，∠ADC = 90°，∠BDC = 45°。
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ ∠DEG = ∠C = 90°，∠DGE = ∠DBC = 45°，
∴ △DGE是等腰直角三角形，故DE = GE。
由(1)知四边形GECF是矩形，
∴ GE = CF = 3，因此DE = 3。
又
∵ ∠ADC = ∠DEG = ∠DHG = 90°，
∴ 四边形DHGE是矩形，结合DE = GE = 3，可得矩形DHGE是正方形，
∴ DH = HG = 3，
∴ AH = AD - DH = 7 - 3 = 4。
在Rt△AHG中，由勾股定理得：
AG = √(AH² + HG²) = √(4² + 3²) = 5。
【答案】5
【知识点】矩形的判定、正方形的性质、勾股定理
【点评】本题综合考查特殊四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，辅助线的构造是解题的核心，需熟练掌握正方形对角线的性质，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.4
第(1)问，要证明四边形GECF是矩形，先利用两组对边平行判定其为平行四边形，再结合正方形的内角为直角，根据矩形的判定定理完成证明；第(2)问，求AG的长，需利用正方形对角线的性质得到等腰直角三角形，通过延长FG构造矩形DHGE，结合已知条件推出该矩形为正方形，进而得到相关线段长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算AG。
【解析】
(1) 证明：
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ 四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C = 90°，
∴ 平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
延长FG交AD于点H，如图所示。
∵ 四边形ABCD是正方形，AB = 7，
∴ AD = AB = 7，∠ADC = 90°，∠BDC = 45°。
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ ∠DEG = ∠C = 90°，∠DGE = ∠DBC = 45°，
∴ △DGE是等腰直角三角形，故DE = GE。
由(1)知四边形GECF是矩形，
∴ GE = CF = 3，因此DE = 3。
又
∵ ∠ADC = ∠DEG = ∠DHG = 90°，
∴ 四边形DHGE是矩形，结合DE = GE = 3，可得矩形DHGE是正方形，
∴ DH = HG = 3，
∴ AH = AD - DH = 7 - 3 = 4。
在Rt△AHG中，由勾股定理得：
AG = √(AH² + HG²) = √(4² + 3²) = 5。
【答案】5
【知识点】矩形的判定、正方形的性质、勾股定理
【点评】本题综合考查特殊四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，辅助线的构造是解题的核心，需熟练掌握正方形对角线的性质，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.4
