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1. 为估计某地区黄羊的只数,先捕捉20只黄羊,给它们分别进行标记,再放回,待有标记的黄羊完全混合于黄羊群后,然后捕捉40只黄羊,发现其中2只有标记,则估计该地区黄羊有 （
A.200只
B.400只
C.800只
D.1 000只
B
）A.200只
B.400只
C.800只
D.1 000只
答案
1. B $20÷\frac{2}{40}=400$(只).
解析
【分析】
这道题属于标记重捕法的统计估算问题，核心思路是利用样本特征估计总体特征。首先明确核心逻辑：当标记的黄羊完全混合到整个种群后，再次捕捉得到的样本里，带标记黄羊的占比，和整个地区所有黄羊中带标记黄羊的占比是近似相等的。第一步先计算重捕的40只黄羊中，标记黄羊的比例；第二步已知我们总共标记并放回的黄羊一共是20只，用全部标记黄羊的数量除以这个样本中标记黄羊的占比，就可以估算出该地区黄羊的总数量，也可以通过设未知数列比例方程求解，逻辑完全一致。
【解析】
解：根据用样本估计总体的统计思想，重捕样本中标记黄羊的占比近似等于总体中标记黄羊的占比：
1. 先计算捕捉40只黄羊中标记黄羊的占比：$\frac{2}{40}$
2. 已知总共有20只标记黄羊放回种群，因此总黄羊数估算为：
$20 ÷ \frac{2}{40} = 20 × 20 = 400$（只）
因此该地区黄羊估计有400只。
【答案】B
【知识点】用样本估计总体，标记重捕法
【点评】本题是标记重捕法在统计估算中的基础应用，只要理解样本比例近似等于总体比例的核心逻辑就可以顺利求解，解题时注意不要颠倒比例的分子分母，避免出现计算错误。
【难度系数】0.8
这道题属于标记重捕法的统计估算问题，核心思路是利用样本特征估计总体特征。首先明确核心逻辑：当标记的黄羊完全混合到整个种群后，再次捕捉得到的样本里，带标记黄羊的占比，和整个地区所有黄羊中带标记黄羊的占比是近似相等的。第一步先计算重捕的40只黄羊中，标记黄羊的比例；第二步已知我们总共标记并放回的黄羊一共是20只，用全部标记黄羊的数量除以这个样本中标记黄羊的占比，就可以估算出该地区黄羊的总数量，也可以通过设未知数列比例方程求解，逻辑完全一致。
【解析】
解：根据用样本估计总体的统计思想，重捕样本中标记黄羊的占比近似等于总体中标记黄羊的占比：
1. 先计算捕捉40只黄羊中标记黄羊的占比：$\frac{2}{40}$
2. 已知总共有20只标记黄羊放回种群，因此总黄羊数估算为：
$20 ÷ \frac{2}{40} = 20 × 20 = 400$（只）
因此该地区黄羊估计有400只。
【答案】B
【知识点】用样本估计总体，标记重捕法
【点评】本题是标记重捕法在统计估算中的基础应用，只要理解样本比例近似等于总体比例的核心逻辑就可以顺利求解，解题时注意不要颠倒比例的分子分母，避免出现计算错误。
【难度系数】0.8
2. 某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，则该鱼塘中草鱼约有
100
条.答案
2. 100
∵ 通过多次捕捞试验后发现,捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右,
∴ 捕捞到草鱼的概率约为0.4.设草鱼有x条.根据题意,得$\frac{x}{100+x+50}=0.4$,解得$x=100$.经检验,$x=100$为所列方程的解且符合题意.
∴ 该鱼塘中草鱼约有100条.
∵ 通过多次捕捞试验后发现,捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右,
∴ 捕捞到草鱼的概率约为0.4.设草鱼有x条.根据题意,得$\frac{x}{100+x+50}=0.4$,解得$x=100$.经检验,$x=100$为所列方程的解且符合题意.
∴ 该鱼塘中草鱼约有100条.
解析
【分析】
这道题的解题思路很清晰：首先我们要用到频率和概率的关系，大量重复捕捞试验下，频率会稳定在对应事件的概率附近，所以可以直接把稳定的0.4作为捕捞到草鱼的概率。接下来我们设草鱼的数量为x条，先把鱼塘里所有鱼的总数量表示出来，也就是鲤鱼、草鱼、罗非鱼的数量之和，再根据“草鱼数量÷总鱼数=捕捞到草鱼的概率”这个关系列出方程，求解后检验解是否符合实际意义，就能得到草鱼的数量了。
【解析】
解：
∵ 通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，
∴ 可估计捕捞到草鱼的概率约为0.4。
设该鱼塘中草鱼有x条，鱼塘内鱼的总数量为$100+x+50$条，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{100+x+50}=0.4$
对方程进行整理计算：
$x=0.4×(150+x)$
$x=60+0.4x$
$0.6x=60$
解得$x=100$。
经检验，$x=100$是所列分式方程的解，且符合实际养殖的数量要求。
因此该鱼塘中草鱼约有100条。
【答案】
100
【知识点】
用频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率模块的基础应用题，核心考察频率稳定性的实际应用，解题的关键是准确表示出鱼塘的总鱼数，避免漏加草鱼的未知数量，求解分式方程后验证解的实际合理性即可，整体难度低，大部分学生都能顺利完成。
【难度系数】
0.8
这道题的解题思路很清晰：首先我们要用到频率和概率的关系，大量重复捕捞试验下，频率会稳定在对应事件的概率附近，所以可以直接把稳定的0.4作为捕捞到草鱼的概率。接下来我们设草鱼的数量为x条，先把鱼塘里所有鱼的总数量表示出来，也就是鲤鱼、草鱼、罗非鱼的数量之和，再根据“草鱼数量÷总鱼数=捕捞到草鱼的概率”这个关系列出方程，求解后检验解是否符合实际意义，就能得到草鱼的数量了。
【解析】
解：
∵ 通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，
∴ 可估计捕捞到草鱼的概率约为0.4。
设该鱼塘中草鱼有x条，鱼塘内鱼的总数量为$100+x+50$条，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{100+x+50}=0.4$
对方程进行整理计算：
$x=0.4×(150+x)$
$x=60+0.4x$
$0.6x=60$
解得$x=100$。
经检验，$x=100$是所列分式方程的解，且符合实际养殖的数量要求。
因此该鱼塘中草鱼约有100条。
【答案】
100
【知识点】
用频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率模块的基础应用题，核心考察频率稳定性的实际应用，解题的关键是准确表示出鱼塘的总鱼数，避免漏加草鱼的未知数量，求解分式方程后验证解的实际合理性即可，整体难度低，大部分学生都能顺利完成。
【难度系数】
0.8
3. 如图①,一张纸片上有一个不规则的图案(图中画图部分),小雅想了解该图案的面积是多少,她采取了以下的办法:用一个长为5 m,宽为3 m的矩形将不规则图案围起来,然后在适当位置随机地向矩形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球落在边界线上或矩形区域外不计入试验结果),她将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图,由此她估计此不规则图案的面积为
（
A.$6\ \mathrm{m}^2$
B.$5\ \mathrm{m}^2$
C.$4\ \mathrm{m}^2$
D.$3\ \mathrm{m}^2$
（
A
）A.$6\ \mathrm{m}^2$
B.$5\ \mathrm{m}^2$
C.$4\ \mathrm{m}^2$
D.$3\ \mathrm{m}^2$
答案
3. A 设不规则图案的面积为$x\ \mathrm{m}^2$.由题意,得矩形面积为$3×5=15(\mathrm{m}^2)$.
∴ 小球落在不规则图案的概率为$\frac{x}{15}$.由折线图可知,小球落在不规则图案上的概率大约为0.4,
∴ $\frac{x}{15}=0.4$,解得$x=6$.
∴ 估计此不规则图案的面积为$6\ \mathrm{m}^2$.
∴ 小球落在不规则图案的概率为$\frac{x}{15}$.由折线图可知,小球落在不规则图案上的概率大约为0.4,
∴ $\frac{x}{15}=0.4$,解得$x=6$.
∴ 估计此不规则图案的面积为$6\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先计算已知长和宽的矩形的总面积；第二步，观察折线统计图，根据大量重复试验下频率逐渐稳定到概率的规律，读出小球落在不规则图案内的频率稳定值，得到对应的概率估计值；第三步，设不规则图案的面积为未知数，利用几何概型中“事件发生的概率等于不规则区域面积除以总区域面积”的关系列出方程，解方程即可得到不规则图案的面积，匹配对应选项即可。
【解析】
解：首先计算矩形的总面积：
已知矩形长为5m，宽为3m，因此矩形面积$S_{矩形}=5×3=15\ \mathrm{m}^2$。
根据频率估计概率的性质：大量重复有效试验后，事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，从折线图可以看出，随着试验次数增加，小球落在不规则图案内的频率稳定在0.4附近，因此估计小球落在不规则图案内的概率约为0.4。
设不规则图案的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，由几何概型的概率公式可得：
$\frac{x}{15}=0.4$
解得$x=15×0.4=6$，即估计此不规则图案的面积为$6\ \mathrm{m}^2$。
因此本题选A。
【答案】A
【知识点】
频率估计概率，几何概型，矩形面积计算
【点评】
本题是利用随机投点试验估算不规则图形面积的经典题型，核心考查频率与概率的关系以及几何概型的基本应用，解题关键是能从折线图中提取出稳定的频率值，建立面积和概率的等量关系即可求解，整体思路清晰，属于概率应用的常规基础题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先计算已知长和宽的矩形的总面积；第二步，观察折线统计图，根据大量重复试验下频率逐渐稳定到概率的规律，读出小球落在不规则图案内的频率稳定值，得到对应的概率估计值；第三步，设不规则图案的面积为未知数，利用几何概型中“事件发生的概率等于不规则区域面积除以总区域面积”的关系列出方程，解方程即可得到不规则图案的面积，匹配对应选项即可。
【解析】
解：首先计算矩形的总面积：
已知矩形长为5m，宽为3m，因此矩形面积$S_{矩形}=5×3=15\ \mathrm{m}^2$。
根据频率估计概率的性质：大量重复有效试验后，事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，从折线图可以看出，随着试验次数增加，小球落在不规则图案内的频率稳定在0.4附近，因此估计小球落在不规则图案内的概率约为0.4。
设不规则图案的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，由几何概型的概率公式可得：
$\frac{x}{15}=0.4$
解得$x=15×0.4=6$，即估计此不规则图案的面积为$6\ \mathrm{m}^2$。
因此本题选A。
【答案】A
【知识点】
频率估计概率，几何概型，矩形面积计算
【点评】
本题是利用随机投点试验估算不规则图形面积的经典题型，核心考查频率与概率的关系以及几何概型的基本应用，解题关键是能从折线图中提取出稳定的频率值，建立面积和概率的等量关系即可求解，整体思路清晰，属于概率应用的常规基础题。
【难度系数】
0.8
4. 某种小麦播种的发芽率是95%,1株麦芽长成麦苗的概率是90%.若一块试验田的麦苗数是8550株,10000粒该麦种的质量为350千克,则播种这块试验田时共播撒麦种
350
千克.答案
4. 350 设播种这块试验田时共播撒麦种$x$千克.根据题意,得$\frac{10\ 000}{350}x×95\%×90\%=8\ 550$,解得$x=350$.
∴ 播种这块试验田时共播撒麦种350千克.
∴ 播种这块试验田时共播撒麦种350千克.
解析
【分析】
我们的目标是求播撒麦种的总质量，用方程法求解思路会更清晰。首先梳理已知条件的对应逻辑：第一步，已知10000粒麦种质量为350千克，可以把设出的总质量x千克换算成对应的麦种总粒数；第二步，小麦长成麦苗需要先后经过两个独立步骤：播种后发芽、发芽的麦芽长成麦苗，因此最终麦苗总数等于麦种总粒数依次乘发芽率、麦芽成苗率；第三步，已知最终麦苗数为8550，把所有对应量代入等量关系就能列出方程，解出未知数即可得到总质量。
【解析】
解：设播种这块试验田时共播撒麦种$x$千克。
由10000粒麦种质量为350千克，可得$x$千克麦种的总粒数为$\frac{10000}{350}x$粒。
根据麦苗数的形成逻辑，可得等量关系：
麦种总粒数 × 发芽率 × 麦芽长成麦苗的概率 = 最终麦苗数
代入已知数据列方程：
$\frac{10\ 000}{350}x×95\%×90\%=8\ 550$
先计算$95\%×90\%=0.855$，代入后化简：
$\frac{10000}{350}x × 0.855 = 8550$
两边同时除以0.855得：
$\frac{10000}{350}x = 10000$
解得$x=350$。
【答案】
350
【知识点】
概率实际应用，一元一次方程应用题
【点评】
本题是概率结合农业生产场景的实际应用题，核心是理解分步事件的比例计算逻辑，麦种需要先后完成发芽、成苗两个步骤，总存活比例是两个概率的乘积。解题的易错点是把麦种质量和粒数的换算关系搞反，或者漏乘其中一个概率，理清各量的递进关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
我们的目标是求播撒麦种的总质量，用方程法求解思路会更清晰。首先梳理已知条件的对应逻辑：第一步，已知10000粒麦种质量为350千克，可以把设出的总质量x千克换算成对应的麦种总粒数；第二步，小麦长成麦苗需要先后经过两个独立步骤：播种后发芽、发芽的麦芽长成麦苗，因此最终麦苗总数等于麦种总粒数依次乘发芽率、麦芽成苗率；第三步，已知最终麦苗数为8550，把所有对应量代入等量关系就能列出方程，解出未知数即可得到总质量。
【解析】
解：设播种这块试验田时共播撒麦种$x$千克。
由10000粒麦种质量为350千克，可得$x$千克麦种的总粒数为$\frac{10000}{350}x$粒。
根据麦苗数的形成逻辑，可得等量关系：
麦种总粒数 × 发芽率 × 麦芽长成麦苗的概率 = 最终麦苗数
代入已知数据列方程：
$\frac{10\ 000}{350}x×95\%×90\%=8\ 550$
先计算$95\%×90\%=0.855$，代入后化简：
$\frac{10000}{350}x × 0.855 = 8550$
两边同时除以0.855得：
$\frac{10000}{350}x = 10000$
解得$x=350$。
【答案】
350
【知识点】
概率实际应用，一元一次方程应用题
【点评】
本题是概率结合农业生产场景的实际应用题，核心是理解分步事件的比例计算逻辑，麦种需要先后完成发芽、成苗两个步骤，总存活比例是两个概率的乘积。解题的易错点是把麦种质量和粒数的换算关系搞反，或者漏乘其中一个概率，理清各量的递进关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 有关部门为考察一种花卉移植的成活率,对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计,并绘制了如图所示的统计图.请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1) 估计这种花卉成活的概率为
(2) 已知已经移植这种花卉20000株.
① 估计这批花卉成活的株数.
② 根据市政规划共需要90000株这种花卉,则大约还需要移植多少株?
(1) 估计这种花卉成活的概率为
0.9
(结果精确到0.1).(2) 已知已经移植这种花卉20000株.
① 估计这批花卉成活的株数.
② 根据市政规划共需要90000株这种花卉,则大约还需要移植多少株?
答案
5. (1) 0.9. (2) ① 估计这批花卉成活的株数为$20\ 000×0.9=18\ 000$. ② 大约还需要移植$90\ 000÷0.9-20\ 000=80\ 000$(株).
解析
【分析】
我们可以利用频率估计概率的核心规律来解题：当试验重复次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值。首先观察统计图，随着移植花卉的数量不断增大，成活的频率逐渐稳定在0.9附近，由此直接得到成活概率的估计值。第二问的①，利用“成活株数=移植总株数×成活概率”的关系直接计算即可；第二问的②，先根据需要的成活总株数和成活概率，算出达成目标总共需要移植的总株数，再减去已经移植的20000株，就能得到还需要移植的株数。
【解析】
(1) 从统计图中可以观察到，当移植数量逐步增大时，花卉成活的频率稳定在0.9附近，根据频率估计概率的原理，将结果精确到0.1，可得这种花卉成活的概率估计为0.9。
(2) ① 已知移植总株数为20000株，成活概率为0.9，因此估计成活的株数为：
$20000 × 0.9 = 18000$
② 要获得90000株成活的花卉，结合成活概率0.9，先计算总共需要移植的花卉总株数，再减去已经移植的数量，可得还需移植的株数为：
$90000 ÷ 0.9 - 20000 = 80000$（株）
【答案】
(1) 0.9；(2) ① 18000株；② 80000株
【知识点】
频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题属于概率模块的基础实际应用题，核心考察对“大量重复试验下频率趋近于概率”这一概念的理解，解题关键是从散点图中识别出稳定后的频率值作为概率估计值，再结合基础乘除运算完成实际数量计算，整体侧重对基础知识点的巩固，计算难度低。
【难度系数】
0.8
我们可以利用频率估计概率的核心规律来解题：当试验重复次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值。首先观察统计图，随着移植花卉的数量不断增大，成活的频率逐渐稳定在0.9附近，由此直接得到成活概率的估计值。第二问的①，利用“成活株数=移植总株数×成活概率”的关系直接计算即可；第二问的②，先根据需要的成活总株数和成活概率，算出达成目标总共需要移植的总株数，再减去已经移植的20000株，就能得到还需要移植的株数。
【解析】
(1) 从统计图中可以观察到，当移植数量逐步增大时，花卉成活的频率稳定在0.9附近，根据频率估计概率的原理，将结果精确到0.1，可得这种花卉成活的概率估计为0.9。
(2) ① 已知移植总株数为20000株，成活概率为0.9，因此估计成活的株数为：
$20000 × 0.9 = 18000$
② 要获得90000株成活的花卉，结合成活概率0.9，先计算总共需要移植的花卉总株数，再减去已经移植的数量，可得还需移植的株数为：
$90000 ÷ 0.9 - 20000 = 80000$（株）
【答案】
(1) 0.9；(2) ① 18000株；② 80000株
【知识点】
频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题属于概率模块的基础实际应用题，核心考察对“大量重复试验下频率趋近于概率”这一概念的理解，解题关键是从散点图中识别出稳定后的频率值作为概率估计值，再结合基础乘除运算完成实际数量计算，整体侧重对基础知识点的巩固，计算难度低。
【难度系数】
0.8
