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1. 从$-1,1,2,3$四个数中,任取两个不同的数作为方程$ax^{2}+2x+c=0$的系数$a$和$c$,那么方程$ax^{2}+2x+c=0$有两个不相等的实数根的概率是
$\dfrac{1}{2}$
.答案
∵ 方程$ax^{2}+2x+c=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=2^2-4ac=4-4ac＞0$，且$a≠0$，解得$ac＜1$，且$a≠0$。画树状图如图所示
。由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中满足$ac＜1$，且$a≠0$的有6种等可能结果。∴ 方程$ax^2+2x+c=0$有两个不相等的实数根的概率为$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按清晰的两步思路推进：第一步，先根据一元二次方程有两个不相等实数根的性质，推导系数a和c需要满足的约束：首先一元二次方程的二次项系数不能为0，同时判别式要大于0，代入对应系数计算后可得到ac＜1的条件。第二步，由于是从4个数里任取两个不同的数分别作为a和c，属于有序选取，我们可以借助给出的树状图枚举所有等可能的结果，先统计总结果数，再从中数出满足ac＜1的结果数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能算出所求概率。
【解析】
1. 推导根的约束条件：
对于方程$ax^2+2x+c=0$，要有两个不相等的实数根，首先需满足二次项系数$a≠0$，同时判别式$\Delta＞0$。
代入系数计算判别式：$\Delta=2^2-4ac=4-4ac$，令$\Delta＞0$，即$4-4ac＞0$，化简后得到$ac＜1$。
2. 统计全部等可能结果：
根据题中的树状图，从-1,1,2,3四个数中任取两个不同的数作为a、c，总共存在12种等可能的结果。
3. 统计符合约束的结果数：
逐一验证所有12种结果，满足$ac＜1$的情况共有6种。
4. 计算最终概率：
根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率为$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式，树状图求概率，古典概型
【点评】
本题是一元二次方程性质和概率计算结合的基础综合题，解题时要注意两个常见易错点：一是a和c是有序选取的不同数，不能误按无序组合计数；二是要准确利用判别式推导得到ac＜1的约束，避免错数符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按清晰的两步思路推进：第一步，先根据一元二次方程有两个不相等实数根的性质，推导系数a和c需要满足的约束：首先一元二次方程的二次项系数不能为0，同时判别式要大于0，代入对应系数计算后可得到ac＜1的条件。第二步，由于是从4个数里任取两个不同的数分别作为a和c，属于有序选取，我们可以借助给出的树状图枚举所有等可能的结果，先统计总结果数，再从中数出满足ac＜1的结果数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能算出所求概率。
【解析】
1. 推导根的约束条件：
对于方程$ax^2+2x+c=0$，要有两个不相等的实数根，首先需满足二次项系数$a≠0$，同时判别式$\Delta＞0$。
代入系数计算判别式：$\Delta=2^2-4ac=4-4ac$，令$\Delta＞0$，即$4-4ac＞0$，化简后得到$ac＜1$。
2. 统计全部等可能结果：
根据题中的树状图，从-1,1,2,3四个数中任取两个不同的数作为a、c，总共存在12种等可能的结果。
3. 统计符合约束的结果数：
逐一验证所有12种结果，满足$ac＜1$的情况共有6种。
4. 计算最终概率：
根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率为$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式，树状图求概率，古典概型
【点评】
本题是一元二次方程性质和概率计算结合的基础综合题，解题时要注意两个常见易错点：一是a和c是有序选取的不同数，不能误按无序组合计数；二是要准确利用判别式推导得到ac＜1的约束，避免错数符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
2. 从$-2,-1,0,1,2$这五个数中,随机抽取一个记为$a$,则使得关于$x$的方程$(a-1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,且满足关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0,\\ -3+2x ≤ 1\\\end{cases}$只有三个整数解的概率是 ______ .
答案
若关于$x$的方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，则$\begin{cases}a-1≠0,\\ (-2)^2-4(a-1)×1＞0,\end{cases}$解得$a＜2$，且$a≠1$。记$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0①,\\ -3+2x≤1②,\end{cases}$解不等式①，得$x＞\dfrac{1}{2}a$；解不等式②，得$x≤2$。
∴ 不等式组的解集为$\dfrac{1}{2}a＜x≤2$。若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0,\\ -3+2x≤1\end{cases}$只有三个整数解，则$-1≤\dfrac{1}{2}a＜0$，解得$-2≤ a＜0$。
∴ 使得关于$x$的方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，且满足关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0,\\ -3+2x≤1\end{cases}$只有三个整数解的$a$的取值范围是$-2≤ a＜0$。
∵ 从$-2,-1,0,1,2$这五个数中随机抽取一个有5种等可能的结果，其中满足$-2≤ a＜0$的有2种等可能结果，
∴ 使得关于$x$的方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，且满足关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0,\\ -3+2x≤1\end{cases}$只有三个整数解的概率是$\dfrac{2}{5}$。
∴ 不等式组的解集为$\dfrac{1}{2}a＜x≤2$。若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0,\\ -3+2x≤1\end{cases}$只有三个整数解，则$-1≤\dfrac{1}{2}a＜0$，解得$-2≤ a＜0$。
∴ 使得关于$x$的方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，且满足关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0,\\ -3+2x≤1\end{cases}$只有三个整数解的$a$的取值范围是$-2≤ a＜0$。
∵ 从$-2,-1,0,1,2$这五个数中随机抽取一个有5种等可能的结果，其中满足$-2≤ a＜0$的有2种等可能结果，
∴ 使得关于$x$的方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，且满足关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0,\\ -3+2x≤1\end{cases}$只有三个整数解的概率是$\dfrac{2}{5}$。
解析
【分析】
这是一道概率与代数知识结合的综合题，解题思路可以拆为三步：
1. 先确定总等可能结果数：从给定的5个数中随机抽取1个，总共有5种等可能的抽取情况。
2. 分两步拆解题目给出的两个限制条件，推导同时满足条件的a的取值范围：
第一步先处理“方程有两个不相等的实数根”的条件：首先方程是一元二次方程，必须保证二次项系数不为0，再结合判别式大于0，得到a的初步取值范围。
第二步先解给定的一元一次不等式组，得到解集后，根据“只有三个整数解”的反向约束，推导得到a的第二个取值范围。
3. 取两个a的取值范围的公共部分，从候选的5个数中统计符合公共范围的a的个数，用符合条件的结果数除以总结果数，即可算出所求概率。
【解析】
解：① 由一元二次方程根的性质求a的范围：
已知方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程且判别式$\Delta＞0$，列不等式组：
$\begin{cases}a-1≠0 \\ \Delta=(-2)^2 - 4×(a-1)×1＞0\end{cases}$
解得：$a＜2$且$a≠1$。
② 解不等式组，结合整数解条件求a的范围：
给定不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0①\\ -3+2x ≤ 1②\end{cases}$
解不等式①，移项得$x＞\dfrac{1}{2}a$；
解不等式②，化简得$2x≤4$，即$x≤2$；
因此不等式组的解集为$\dfrac{1}{2}a ＜ x ≤ 2$。
已知该不等式组只有三个整数解，结合解集上限为2，可知三个整数解只能是0、1、2，因此解集左边界满足$-1≤ \dfrac{1}{2}a ＜ 0$，解得$-2≤ a ＜0$。
③ 取两个范围的公共部分：
同时满足$a＜2且a≠1$和$-2≤ a ＜0$的a的范围是$-2≤ a ＜0$，从给定的5个数中筛选，符合条件的a为-2、-1，共2种结果。
④ 计算概率：
总共有5种等可能的抽取结果，符合条件的结果共2种，因此所求概率为$\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式组的整数解，概率公式
【点评】
本题属于代数小综合题，有两个高频易错点：一是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，二是确定不等式组整数解对应的参数边界时容易出错，本题解集上限固定为2，三个整数解只能是0、1、2，据此反向推导左边界的取值范围，避免边界取错导致结果偏差。
【难度系数】
0.4
这是一道概率与代数知识结合的综合题，解题思路可以拆为三步：
1. 先确定总等可能结果数：从给定的5个数中随机抽取1个，总共有5种等可能的抽取情况。
2. 分两步拆解题目给出的两个限制条件，推导同时满足条件的a的取值范围：
第一步先处理“方程有两个不相等的实数根”的条件：首先方程是一元二次方程，必须保证二次项系数不为0，再结合判别式大于0，得到a的初步取值范围。
第二步先解给定的一元一次不等式组，得到解集后，根据“只有三个整数解”的反向约束，推导得到a的第二个取值范围。
3. 取两个a的取值范围的公共部分，从候选的5个数中统计符合公共范围的a的个数，用符合条件的结果数除以总结果数，即可算出所求概率。
【解析】
解：① 由一元二次方程根的性质求a的范围：
已知方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程且判别式$\Delta＞0$，列不等式组：
$\begin{cases}a-1≠0 \\ \Delta=(-2)^2 - 4×(a-1)×1＞0\end{cases}$
解得：$a＜2$且$a≠1$。
② 解不等式组，结合整数解条件求a的范围：
给定不等式组$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}a＞0①\\ -3+2x ≤ 1②\end{cases}$
解不等式①，移项得$x＞\dfrac{1}{2}a$；
解不等式②，化简得$2x≤4$，即$x≤2$；
因此不等式组的解集为$\dfrac{1}{2}a ＜ x ≤ 2$。
已知该不等式组只有三个整数解，结合解集上限为2，可知三个整数解只能是0、1、2，因此解集左边界满足$-1≤ \dfrac{1}{2}a ＜ 0$，解得$-2≤ a ＜0$。
③ 取两个范围的公共部分：
同时满足$a＜2且a≠1$和$-2≤ a ＜0$的a的范围是$-2≤ a ＜0$，从给定的5个数中筛选，符合条件的a为-2、-1，共2种结果。
④ 计算概率：
总共有5种等可能的抽取结果，符合条件的结果共2种，因此所求概率为$\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式组的整数解，概率公式
【点评】
本题属于代数小综合题，有两个高频易错点：一是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，二是确定不等式组整数解对应的参数边界时容易出错，本题解集上限固定为2，三个整数解只能是0、1、2，据此反向推导左边界的取值范围，避免边界取错导致结果偏差。
【难度系数】
0.4
3. 从 1,2,3 中随机抽取两个不同的数字作为点 A 的横、纵坐标,则点 A 在双曲线$y=\dfrac{6}{x}$上的概率是（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
A
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
从1,2,3中随机抽取两个不同的数字作为点A的横、纵坐标，则点A的坐标共有6种等可能的结果：$(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)$，事件“点A在双曲线$y=\dfrac{6}{x}$上”包含2种等可能结果：$(2,3),(3,2)$，
∴ 这个事件的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
∴ 这个事件的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
这道题是古典概型和反比例函数结合的基础题，解题思路分三步：第一步，先明确试验规则是从1、2、3里不放回抽取两个不同数字分别作为横、纵坐标，按照排列的逻辑把所有等可能的点坐标全部列举出来，统计总结果数；第二步，把点在双曲线$y=\frac{6}{x}$上的条件转化为横纵坐标乘积等于6（即$xy=6$），从所有列举出的坐标里筛选出满足该条件的点，统计符合要求的结果数；第三步，用古典概型概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，计算出最终概率即可。
【解析】
1. 列举所有等可能的结果：
从1,2,3中随机抽取两个不同的数字作为点A的横、纵坐标，所有可能的坐标共6种，分别为：$(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)$，每种结果出现的可能性相等。
2. 筛选符合双曲线条件的点：
若点$A(x,y)$在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，代入变形可得$xy=6$，逐一验证上述6个点：
$1×2=2≠6$，$2×1=2≠6$
$1×3=3≠6$，$3×1=3≠6$
$2×3=6$，$3×2=6$
因此满足条件的点共2个，为$(2,3)$和$(3,2)$。
3. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型列举法、反比例函数点的特征
【点评】
本题属于概率与反比例函数结合的基础小综合题，核心考点是用列举法求解古典概型，解题的易错点是列举坐标时出现重复或者遗漏，误把总结果数算成3种导致结果算错，利用反比例函数横纵坐标乘积等于比例系数k的性质，可以快速判断点是否在双曲线上，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
这道题是古典概型和反比例函数结合的基础题，解题思路分三步：第一步，先明确试验规则是从1、2、3里不放回抽取两个不同数字分别作为横、纵坐标，按照排列的逻辑把所有等可能的点坐标全部列举出来，统计总结果数；第二步，把点在双曲线$y=\frac{6}{x}$上的条件转化为横纵坐标乘积等于6（即$xy=6$），从所有列举出的坐标里筛选出满足该条件的点，统计符合要求的结果数；第三步，用古典概型概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，计算出最终概率即可。
【解析】
1. 列举所有等可能的结果：
从1,2,3中随机抽取两个不同的数字作为点A的横、纵坐标，所有可能的坐标共6种，分别为：$(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)$，每种结果出现的可能性相等。
2. 筛选符合双曲线条件的点：
若点$A(x,y)$在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，代入变形可得$xy=6$，逐一验证上述6个点：
$1×2=2≠6$，$2×1=2≠6$
$1×3=3≠6$，$3×1=3≠6$
$2×3=6$，$3×2=6$
因此满足条件的点共2个，为$(2,3)$和$(3,2)$。
3. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型列举法、反比例函数点的特征
【点评】
本题属于概率与反比例函数结合的基础小综合题，核心考点是用列举法求解古典概型，解题的易错点是列举坐标时出现重复或者遗漏，误把总结果数算成3种导致结果算错，利用反比例函数横纵坐标乘积等于比例系数k的性质，可以快速判断点是否在双曲线上，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 现有四张完全相同的卡片，正面分别写有数$-4,-2,3,5$，将卡片的背面朝上并洗匀.
（1）从中任意抽取一张，正面的数是偶数的概率为
（2）从中任意抽取一张，并将卡片上的数记作一次函数$y=kx+b$中的$k$；再从余下的卡片中任意抽取一张，并将卡片上的数记作一次函数$y=kx+b$中的$b$. 请用画树状图或列表的方法，求该一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.
（1）从中任意抽取一张，正面的数是偶数的概率为
$\dfrac{1}{2}$
.（2）从中任意抽取一张，并将卡片上的数记作一次函数$y=kx+b$中的$k$；再从余下的卡片中任意抽取一张，并将卡片上的数记作一次函数$y=kx+b$中的$b$. 请用画树状图或列表的方法，求该一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.
答案
（1）由题意，得所求概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
（2）画树状图如图所示
。由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中该一次函数的图象经过第一、二、四象限（$k＜0,b＞0$）的有4种等可能结果。∴ 该一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
先看第（1）问，我们要计算抽中偶数的概率，首先确定所有等可能的抽取结果总数是4，再找出其中属于偶数的数的个数，用符合条件的数量除以总数量就能得到对应概率。
再看第（2）问，首先回忆一次函数图像经过第一、二、四象限的性质，要满足斜率k＜0，截距b＞0；接下来因为是不放回先后抽取两张卡片，我们可以通过树状图把所有可能的(k,b)组合都列出来，先统计总共有多少种等可能的结果，再从中筛选出满足k＜0且b＞0的结果数量，最后用概率的古典定义计算出所求概率即可。
【解析】
（1）已知四张卡片上的数字分别为$-4,-2,3,5$，其中偶数为$-4$和$-2$，共2个。
根据古典概型概率公式，任意抽取一张，正面的数是偶数的概率为：
$P=\frac{\mathrm{偶数的个数}}{\mathrm{卡片总张数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
（2）一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限时，需要满足条件：$k＜0$，且$b＞0$。
根据题意绘制树状图：第一步抽取k，共有4种等可能结果，分别为$-4,-2,3,5$；第二步从余下的3张卡片中抽取b，每个k对应3种b的取值，由树状图可知，总共有$4×3=12$种等可能的结果。
其中满足$k＜0,b＞0$的结果有：$k=-4$时$b=3$、$b=5$；$k=-2$时$b=3$、$b=5$，共4种结果。
因此该一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为：
$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
【答案】
（1）$\dfrac{1}{2}$；（2）$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；一次函数图像性质；树状图求概率
【点评】
本题是一次函数性质和概率计算的基础综合题，难度不大，解题的关键是准确记忆一次函数不同象限对应的k、b符号特征，同时注意本题是不放回抽取，不要误将总结果数算为16，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
先看第（1）问，我们要计算抽中偶数的概率，首先确定所有等可能的抽取结果总数是4，再找出其中属于偶数的数的个数，用符合条件的数量除以总数量就能得到对应概率。
再看第（2）问，首先回忆一次函数图像经过第一、二、四象限的性质，要满足斜率k＜0，截距b＞0；接下来因为是不放回先后抽取两张卡片，我们可以通过树状图把所有可能的(k,b)组合都列出来，先统计总共有多少种等可能的结果，再从中筛选出满足k＜0且b＞0的结果数量，最后用概率的古典定义计算出所求概率即可。
【解析】
（1）已知四张卡片上的数字分别为$-4,-2,3,5$，其中偶数为$-4$和$-2$，共2个。
根据古典概型概率公式，任意抽取一张，正面的数是偶数的概率为：
$P=\frac{\mathrm{偶数的个数}}{\mathrm{卡片总张数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
（2）一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限时，需要满足条件：$k＜0$，且$b＞0$。
根据题意绘制树状图：第一步抽取k，共有4种等可能结果，分别为$-4,-2,3,5$；第二步从余下的3张卡片中抽取b，每个k对应3种b的取值，由树状图可知，总共有$4×3=12$种等可能的结果。
其中满足$k＜0,b＞0$的结果有：$k=-4$时$b=3$、$b=5$；$k=-2$时$b=3$、$b=5$，共4种结果。
因此该一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为：
$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
【答案】
（1）$\dfrac{1}{2}$；（2）$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；一次函数图像性质；树状图求概率
【点评】
本题是一次函数性质和概率计算的基础综合题，难度不大，解题的关键是准确记忆一次函数不同象限对应的k、b符号特征，同时注意本题是不放回抽取，不要误将总结果数算为16，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 把一元二次方程 $y^{2}-5y+4=0$ 和 $y^{2}-5y+6=0$ 的根写在四张背面无差别的卡片上(一张卡片上写一个根),将这些卡片背面朝上并洗匀后放在桌面上.小李从中随机抽取一张,将卡片上的数字记作点 $N$ 的横坐标,放回重新洗匀后再随机抽取一张,将卡片上的数字记作点 $N$ 的纵坐标,则点 $N$ 在以原点为圆心、5 为半径的圆上的概率是（
A.$\dfrac{3}{8}$
B.$\dfrac{5}{8}$
C.$\dfrac{7}{8}$
D.$\dfrac{1}{8}$
D
）A.$\dfrac{3}{8}$
B.$\dfrac{5}{8}$
C.$\dfrac{7}{8}$
D.$\dfrac{1}{8}$
答案
解一元二次方程$y^2-5y+4=0$，得$y_1=1,y_2=4$；解一元二次方程$y^2-5y+6=0$，得$y_3=2,y_4=3$。
∴ 四张卡片上分别写有1,2,3,4四个根。画树状图如图所示。由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中事件“点N在以原点为圆心、5为半径的圆上”包含2种等可能结果：$(3,4),(4,3)$，
∴ 点N在以原点为圆心、5为半径的圆上的概率是$\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}$。
∴ 四张卡片上分别写有1,2,3,4四个根。画树状图如图所示。由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中事件“点N在以原点为圆心、5为半径的圆上”包含2种等可能结果：$(3,4),(4,3)$，
∴ 点N在以原点为圆心、5为半径的圆上的概率是$\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}$。
解析
【分析】
解题思路分三步推进：第一步先求解题干给出的两个一元二次方程，得到所有根，确定四张卡片上的数字分别为1、2、3、4；第二步明确抽取规则是有放回的两次抽取，第一次抽横坐标有4种可能，第二次抽纵坐标也有4种可能，总共有4×4=16种等可能的坐标组合；第三步回忆点在以原点为圆心、半径为5的圆上的判定条件：点(x,y)到原点的距离等于半径5，即满足$x^2+y^2=5^2=25$，从所有16种组合里找出符合该等式的点的数量，最后用古典概型概率公式“符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
1. 求解两个一元二次方程：
对$y^2-5y+4=0$因式分解得$(y-1)(y-4)=0$，解得根为$y_1=1$，$y_2=4$；
对$y^2-5y+6=0$因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得根为$y_3=2$，$y_4=3$；
因此四张卡片上的数字分别为1、2、3、4。
2. 计算总等可能结果数：
抽取为放回抽取，第一次抽取横坐标有4种可能，第二次抽取纵坐标也有4种可能，总共有$4×4=16$种等可能的点N的坐标组合。
3. 筛选符合条件的点：
点$(x,y)$在以原点为圆心、5为半径的圆上的充要条件是点到原点的距离等于半径5，即$\sqrt{x^2+y^2}=5$，整理得$x^2+y^2=25$。
从所有坐标组合中筛选，仅$(3,4)$满足$3^2+4^2=25$，$(4,3)$满足$4^2+3^2=25$，共2种符合条件的结果。
4. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
D.$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程求解，点与圆的位置关系，古典概型概率计算
【点评】
本题属于小综合类概率题，融合了三个关联考点，易错点有两处：一是混淆放回和不放回抽取的总结果数，误算总结果为12种；二是记错点在圆上的坐标特征，错把圆内的点当成符合条件的点，解题时先明确抽取规则，再准确应用点在圆上的判定条件即可避免出错。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步推进：第一步先求解题干给出的两个一元二次方程，得到所有根，确定四张卡片上的数字分别为1、2、3、4；第二步明确抽取规则是有放回的两次抽取，第一次抽横坐标有4种可能，第二次抽纵坐标也有4种可能，总共有4×4=16种等可能的坐标组合；第三步回忆点在以原点为圆心、半径为5的圆上的判定条件：点(x,y)到原点的距离等于半径5，即满足$x^2+y^2=5^2=25$，从所有16种组合里找出符合该等式的点的数量，最后用古典概型概率公式“符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
1. 求解两个一元二次方程：
对$y^2-5y+4=0$因式分解得$(y-1)(y-4)=0$，解得根为$y_1=1$，$y_2=4$；
对$y^2-5y+6=0$因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得根为$y_3=2$，$y_4=3$；
因此四张卡片上的数字分别为1、2、3、4。
2. 计算总等可能结果数：
抽取为放回抽取，第一次抽取横坐标有4种可能，第二次抽取纵坐标也有4种可能，总共有$4×4=16$种等可能的点N的坐标组合。
3. 筛选符合条件的点：
点$(x,y)$在以原点为圆心、5为半径的圆上的充要条件是点到原点的距离等于半径5，即$\sqrt{x^2+y^2}=5$，整理得$x^2+y^2=25$。
从所有坐标组合中筛选，仅$(3,4)$满足$3^2+4^2=25$，$(4,3)$满足$4^2+3^2=25$，共2种符合条件的结果。
4. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
D.$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程求解，点与圆的位置关系，古典概型概率计算
【点评】
本题属于小综合类概率题，融合了三个关联考点，易错点有两处：一是混淆放回和不放回抽取的总结果数，误算总结果为12种；二是记错点在圆上的坐标特征，错把圆内的点当成符合条件的点，解题时先明确抽取规则，再准确应用点在圆上的判定条件即可避免出错。
【难度系数】
0.6
6. 一个口袋中有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同. 将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中. 不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有79次摸到红球，估计这个口袋中红球有
6
个.答案
∵ 共摸了200次球，发现有79次摸到红球，
∴ 估计摸到红球的概率为$\dfrac{79}{200}\approx0.4$，
∴ 估计这个口袋中红球有$15×0.4=6$（个）。
解析
【分析】
这道题是利用频率估计概率的典型实际应用题，解题思路如下：首先回忆相关原理，大量重复的有放回摸球试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在对应事件的理论概率附近，因此我们可以用本次试验中摸到红球的频率，作为摸到红球概率的估计值；之后已知口袋里球的总数量，用总球数乘估算得到的红球概率，就能算出红球的估计数量，注意球的个数是正整数，计算时对概率取合理近似即可得到符合实际的整数结果。
【解析】
解：
∵ 共进行了200次摸球试验，其中有79次摸到红球，
∴ 摸到红球的频率为$\frac{79}{200}\approx0.4$，根据频率估计概率的原理，估算摸到红球的概率约为0.4，
∴ 该口袋中红球的估计数量为$15×0.4=6$（个）。
【答案】6
【知识点】频率估计概率，概率实际应用
【点评】本题属于基础题，重点考察频率估计概率的基础概念，易错点是不要直接用15乘$\frac{79}{200}$得到非整数结果，结合实际球的个数为整数的要求对概率取近似值即可，整体难度低，绝大多数学生都可以顺利求解。
【难度系数】0.8
这道题是利用频率估计概率的典型实际应用题，解题思路如下：首先回忆相关原理，大量重复的有放回摸球试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在对应事件的理论概率附近，因此我们可以用本次试验中摸到红球的频率，作为摸到红球概率的估计值；之后已知口袋里球的总数量，用总球数乘估算得到的红球概率，就能算出红球的估计数量，注意球的个数是正整数，计算时对概率取合理近似即可得到符合实际的整数结果。
【解析】
解：
∵ 共进行了200次摸球试验，其中有79次摸到红球，
∴ 摸到红球的频率为$\frac{79}{200}\approx0.4$，根据频率估计概率的原理，估算摸到红球的概率约为0.4，
∴ 该口袋中红球的估计数量为$15×0.4=6$（个）。
【答案】6
【知识点】频率估计概率，概率实际应用
【点评】本题属于基础题，重点考察频率估计概率的基础概念，易错点是不要直接用15乘$\frac{79}{200}$得到非整数结果，结合实际球的个数为整数的要求对概率取近似值即可，整体难度低，绝大多数学生都可以顺利求解。
【难度系数】0.8
