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11.如图,一个容量为$400\ \mathrm{cm}^3$的水缸中装有$200\ \mathrm{cm}^3$的水,先将6颗相同的小玻璃球放入这个水缸中后,总体积变为$320\ \mathrm{cm}^3$,接着依次放入4个相同的小铁块,在放入第4个后,发现有水溢出.若每个小玻璃球的体积是$a\ \mathrm{cm}^3$,每个小铁块的体积是$b\ \mathrm{cm}^3$,则 (
A.$320+4b＜400$
B.$a+b＜40$
C.水缸中仅放入6个小铁块,水一定会溢出
D.水缸中仅放入8个小玻璃球,水一定不会溢出
D
)A.$320+4b＜400$
B.$a+b＜40$
C.水缸中仅放入6个小铁块,水一定会溢出
D.水缸中仅放入8个小玻璃球,水一定不会溢出
答案
11.D
解析
【分析】
解题时先根据放入玻璃球后的体积变化求出小玻璃球的体积a，再根据放入铁块时有水溢出的条件，列出不等式求出小铁块体积b的取值范围，最后将a、b的值或范围代入各个选项，逐一判断正误即可。
【解析】
1. 求小玻璃球的体积a：
已知水缸原有水$200\ \mathrm{cm}^3$，放入6个玻璃球后总体积为$320\ \mathrm{cm}^3$，无溢出，因此6个玻璃球的总体积为$320-200=120\ \mathrm{cm}^3$，即$6a=120$，解得$a=20\ \mathrm{cm}^3$。
2. 求小铁块体积b的取值范围：
水缸总容量为$400\ \mathrm{cm}^3$，放入玻璃球后剩余可容纳的体积为$400-320=80\ \mathrm{cm}^3$。放入第4个铁块后有水溢出，说明放入3个铁块时总体积不超过容量，放入4个时超过容量，因此列不等式：
$\begin{cases}3b≤80 \\4b＞80 \end{cases}$
解得$20＜ b≤\frac{80}{3}$。
3. 逐一判断选项：
选项A：放入4个铁块后溢出，说明$320+4b＞400$，A错误；
选项B：$a=20$，$b＞20$，因此$a+b＞40$，B错误；
选项C：仅放入6个小铁块时，总体积为$200+6b$，代入$b≤\frac{80}{3}$，得$200+6b≤200+6×\frac{80}{3}=360＜400$，不会溢出，C错误；
选项D：仅放入8个小玻璃球时，总体积为$200+8a=200+8×20=360＜400$，一定不会溢出，D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的应用，体积计算，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的排水场景考查不等式的实际应用，解题核心是准确根据“放入第4个铁块溢出”这一条件确定铁块体积的范围，再代入验证结论即可，易错点是容易搞错不等式的方向。
【难度系数】
0.7
解题时先根据放入玻璃球后的体积变化求出小玻璃球的体积a，再根据放入铁块时有水溢出的条件，列出不等式求出小铁块体积b的取值范围，最后将a、b的值或范围代入各个选项，逐一判断正误即可。
【解析】
1. 求小玻璃球的体积a：
已知水缸原有水$200\ \mathrm{cm}^3$，放入6个玻璃球后总体积为$320\ \mathrm{cm}^3$，无溢出，因此6个玻璃球的总体积为$320-200=120\ \mathrm{cm}^3$，即$6a=120$，解得$a=20\ \mathrm{cm}^3$。
2. 求小铁块体积b的取值范围：
水缸总容量为$400\ \mathrm{cm}^3$，放入玻璃球后剩余可容纳的体积为$400-320=80\ \mathrm{cm}^3$。放入第4个铁块后有水溢出，说明放入3个铁块时总体积不超过容量，放入4个时超过容量，因此列不等式：
$\begin{cases}3b≤80 \\4b＞80 \end{cases}$
解得$20＜ b≤\frac{80}{3}$。
3. 逐一判断选项：
选项A：放入4个铁块后溢出，说明$320+4b＞400$，A错误；
选项B：$a=20$，$b＞20$，因此$a+b＞40$，B错误；
选项C：仅放入6个小铁块时，总体积为$200+6b$，代入$b≤\frac{80}{3}$，得$200+6b≤200+6×\frac{80}{3}=360＜400$，不会溢出，C错误；
选项D：仅放入8个小玻璃球时，总体积为$200+8a=200+8×20=360＜400$，一定不会溢出，D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的应用，体积计算，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的排水场景考查不等式的实际应用，解题核心是准确根据“放入第4个铁块溢出”这一条件确定铁块体积的范围，再代入验证结论即可，易错点是容易搞错不等式的方向。
【难度系数】
0.7
12.“绿波”是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速为80 km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，
前方第一个路口显示绿灯倒计时30 s，第二个路口显示红灯倒计时40 s，此时车辆分别距离两个路口480 m和880 m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30 s，50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45 s，60 s.若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40 km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口，则车速$v$(km/h)的取值范围是
前方第一个路口显示绿灯倒计时30 s，第二个路口显示红灯倒计时40 s，此时车辆分别距离两个路口480 m和880 m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30 s，50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45 s，60 s.若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40 km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口，则车速$v$(km/h)的取值范围是$57.6≤ v≤79.2$
(提示：1 km/h=$\frac{1}{3.6}$ m/s).答案
12.$57.6≤ v≤79.2$
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是明确车辆匀速到达两个路口时都需处于绿灯时间段，同时满足车速不低于40km/h、不高于80km/h的限制。首先统一速度单位，分别计算车辆到达两个路口的时间，结合两个路口的绿灯时间区间列不等式，求解后取公共范围即可。
【解析】
首先进行单位转换：速度$v$（km/h）换算为m/s为$\frac{v}{3.6}$ m/s。
1. 分析第一个路口的通行条件：
第一个路口当前绿灯倒计时30s，即0~30s为绿灯，30s后红灯持续30s（30~60s为红灯），之后绿灯再亮50s。
车辆到第一个路口的距离为480m，到达时间$t_1=\frac{480}{\frac{v}{3.6}}=\frac{480×3.6}{v}$ s。
若要绿灯通过第一个路口：
第一种情况：$t_1≤30s$，代入得$\frac{480×3.6}{v}≤30$，解得$v≥\frac{480×3.6}{30}=57.6$ km/h；
第二种情况：$60s≤ t_1≤110s$，解得$v≤\frac{480×3.6}{60}=28.8$ km/h，不符合车速不低于40km/h的要求，舍去。
2. 分析第二个路口的通行条件：
第二个路口当前红灯倒计时40s，即0~40s为红灯，40s后绿灯持续60s（40~100s为绿灯）。
车辆到第二个路口的距离为880m，到达时间$t_2=\frac{880}{\frac{v}{3.6}}=\frac{880×3.6}{v}$ s。
若要绿灯通过第二个路口，需满足$40s≤ t_2≤100s$：
由$t_2≥40s$得$\frac{880×3.6}{v}≥40$，解得$v≤\frac{880×3.6}{40}=79.2$ km/h；
由$t_2≤100s$得$v≥31.68$ km/h，和前面$v≥57.6$取交集无冲突。
3. 结合限速要求：最高限速80km/h，$79.2＜80$，最低限速40km/h，$57.6＞40$，均符合要求。
【答案】
$57.6≤ v≤79.2$
【知识点】
不等式的实际应用、行程问题、单位换算
【点评】
本题结合生活中绿波通行的场景考查不等式的应用，解题关键是准确梳理两个路口的绿灯时间区间，根据行程公式列不等式，舍去不符合实际要求的解即可得到正确范围。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心是明确车辆匀速到达两个路口时都需处于绿灯时间段，同时满足车速不低于40km/h、不高于80km/h的限制。首先统一速度单位，分别计算车辆到达两个路口的时间，结合两个路口的绿灯时间区间列不等式，求解后取公共范围即可。
【解析】
首先进行单位转换：速度$v$（km/h）换算为m/s为$\frac{v}{3.6}$ m/s。
1. 分析第一个路口的通行条件：
第一个路口当前绿灯倒计时30s，即0~30s为绿灯，30s后红灯持续30s（30~60s为红灯），之后绿灯再亮50s。
车辆到第一个路口的距离为480m，到达时间$t_1=\frac{480}{\frac{v}{3.6}}=\frac{480×3.6}{v}$ s。
若要绿灯通过第一个路口：
第一种情况：$t_1≤30s$，代入得$\frac{480×3.6}{v}≤30$，解得$v≥\frac{480×3.6}{30}=57.6$ km/h；
第二种情况：$60s≤ t_1≤110s$，解得$v≤\frac{480×3.6}{60}=28.8$ km/h，不符合车速不低于40km/h的要求，舍去。
2. 分析第二个路口的通行条件：
第二个路口当前红灯倒计时40s，即0~40s为红灯，40s后绿灯持续60s（40~100s为绿灯）。
车辆到第二个路口的距离为880m，到达时间$t_2=\frac{880}{\frac{v}{3.6}}=\frac{880×3.6}{v}$ s。
若要绿灯通过第二个路口，需满足$40s≤ t_2≤100s$：
由$t_2≥40s$得$\frac{880×3.6}{v}≥40$，解得$v≤\frac{880×3.6}{40}=79.2$ km/h；
由$t_2≤100s$得$v≥31.68$ km/h，和前面$v≥57.6$取交集无冲突。
3. 结合限速要求：最高限速80km/h，$79.2＜80$，最低限速40km/h，$57.6＞40$，均符合要求。
【答案】
$57.6≤ v≤79.2$
【知识点】
不等式的实际应用、行程问题、单位换算
【点评】
本题结合生活中绿波通行的场景考查不等式的应用，解题关键是准确梳理两个路口的绿灯时间区间，根据行程公式列不等式，舍去不符合实际要求的解即可得到正确范围。
【难度系数】
0.6
13.某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A,B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本）
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台(两种型号电风扇进价保持不变).
(3)在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇后能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本）
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台(两种型号电风扇进价保持不变).
(3)在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇后能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
答案
13.解:(1)设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,
依题意,得$\begin{cases} 3x+4y=1\ 200, \\ 5x+6y=1\ 900, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=200, \\ y=150. \end{cases}$
答:A,B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元.
(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇$(50-a)$台.
依题意,得$160a+120(50-a)≤7\ 500$,解得$a≤37\dfrac{1}{2}$.
∵a是整数,
∴a最大是37.
答:超市最多采购A种型号电风扇37台时,采购金额不多于7 500元.
(3)根据题意,得$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1\ 850$,解得$a＞35$.
∵$a≤37\dfrac{1}{2}$,且a应为整数,
∴在(2)的条件下超市能实现利润超过1 850元的目标.
相应方案有两种:
当$a=36$时,采购A种型号的电风扇36台,B种型号的电风扇14台;
当$a=37$时,采购A种型号的电风扇37台,B种型号的电风扇13台.
依题意,得$\begin{cases} 3x+4y=1\ 200, \\ 5x+6y=1\ 900, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=200, \\ y=150. \end{cases}$
答:A,B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元.
(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇$(50-a)$台.
依题意,得$160a+120(50-a)≤7\ 500$,解得$a≤37\dfrac{1}{2}$.
∵a是整数,
∴a最大是37.
答:超市最多采购A种型号电风扇37台时,采购金额不多于7 500元.
(3)根据题意,得$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1\ 850$,解得$a＞35$.
∵$a≤37\dfrac{1}{2}$,且a应为整数,
∴在(2)的条件下超市能实现利润超过1 850元的目标.
相应方案有两种:
当$a=36$时,采购A种型号的电风扇36台,B种型号的电风扇14台;
当$a=37$时,采购A种型号的电风扇37台,B种型号的电风扇13台.
解析
【分析】
(1) 求A、B两种型号的销售单价有两个未知量，可设两个未知数，结合表格中两周的销售收入找等量关系：3台A的销售额+4台B的销售额=1200元，5台A的销售额+6台B的销售额=1900元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 求A种型号最多采购的台数，设A的采购量为a台，则B的采购量为(50-a)台，根据采购总金额不超过7500元的限制，结合两种型号的进价列一元一次不等式，求解后因为台数为正整数，取解集中最大的整数即可。
(3) 判断能否实现利润目标，先计算单台A、B的利润，根据总利润=A的总利润+B的总利润，列利润超过1850元的不等式，求出a的范围后结合第二问的a的上限，判断范围内是否存在正整数a，若存在则说明可实现目标，再写出对应采购方案即可。
【解析】
(1) 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意列方程组：
$\begin{cases} 3x+4y=1200 \\ 5x+6y=1900 \end{cases}$
将第一个方程乘3得$9x+12y=3600$，第二个方程乘2得$10x+12y=3800$，两式相减得$x=200$，将$x=200$代入$3x+4y=1200$，解得$y=150$。
(2) 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(50-a)$台，依题意列不等式：
$160a+120(50-a)≤7500$
化简得$40a≤1500$，解得$a≤37\dfrac{1}{2}$。
因为a为正整数，所以a的最大值为37。
(3) 依题意列利润不等式：
$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1850$
化简得$10a＞350$，解得$a＞35$。
结合(2)的结论$a≤37\dfrac{1}{2}$，且a为正整数，可得$a=36$或$a=37$，对应两种采购方案：
当$a=36$时，采购A型号36台，B型号$50-36=14$台；
当$a=37$时，采购A型号37台，B型号$50-37=13$台。
【答案】
(1) A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元；
(2) A种型号的电风扇最多能采购37台；
(3) 能实现利润超过1850元的目标，采购方案有两种：①采购A型号电风扇36台，B型号电风扇14台；②采购A型号电风扇37台，B型号电风扇13台。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合销售实际场景，考查方程组和不等式的实际应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，注意实际问题中未知数的取值要符合实际意义，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求A、B两种型号的销售单价有两个未知量，可设两个未知数，结合表格中两周的销售收入找等量关系：3台A的销售额+4台B的销售额=1200元，5台A的销售额+6台B的销售额=1900元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 求A种型号最多采购的台数，设A的采购量为a台，则B的采购量为(50-a)台，根据采购总金额不超过7500元的限制，结合两种型号的进价列一元一次不等式，求解后因为台数为正整数，取解集中最大的整数即可。
(3) 判断能否实现利润目标，先计算单台A、B的利润，根据总利润=A的总利润+B的总利润，列利润超过1850元的不等式，求出a的范围后结合第二问的a的上限，判断范围内是否存在正整数a，若存在则说明可实现目标，再写出对应采购方案即可。
【解析】
(1) 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意列方程组：
$\begin{cases} 3x+4y=1200 \\ 5x+6y=1900 \end{cases}$
将第一个方程乘3得$9x+12y=3600$，第二个方程乘2得$10x+12y=3800$，两式相减得$x=200$，将$x=200$代入$3x+4y=1200$，解得$y=150$。
(2) 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(50-a)$台，依题意列不等式：
$160a+120(50-a)≤7500$
化简得$40a≤1500$，解得$a≤37\dfrac{1}{2}$。
因为a为正整数，所以a的最大值为37。
(3) 依题意列利润不等式：
$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1850$
化简得$10a＞350$，解得$a＞35$。
结合(2)的结论$a≤37\dfrac{1}{2}$，且a为正整数，可得$a=36$或$a=37$，对应两种采购方案：
当$a=36$时，采购A型号36台，B型号$50-36=14$台；
当$a=37$时，采购A型号37台，B型号$50-37=13$台。
【答案】
(1) A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元；
(2) A种型号的电风扇最多能采购37台；
(3) 能实现利润超过1850元的目标，采购方案有两种：①采购A型号电风扇36台，B型号电风扇14台；②采购A型号电风扇37台，B型号电风扇13台。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合销售实际场景，考查方程组和不等式的实际应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，注意实际问题中未知数的取值要符合实际意义，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
