14.(代数推理)生活常识告诉我们:糖水里再添加糖,在糖完全溶解的情况下,糖水会变得更甜.我们把糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度,甜度越大糖水越甜.小观现在有一杯质量为100 g的糖水,其中含有a g糖(0＜a＜100).他尝了一下感觉不够甜,又向其中添加了10 g糖,并搅拌至完全溶解.
(1)原来糖水的甜度为,加糖后糖水的甜度为.
(2)根据加糖前后糖水的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后糖水确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于10%,又不超过15%.如果上述操作后糖水甜度符合要求,那么a应该在什么范围?

14.解:(1)$\dfrac{a}{100}$ $\dfrac{a+10}{110}$
(2)加糖前糖水的甜度为$\dfrac{a}{100}$,加糖后糖水的甜度为$\dfrac{a+10}{110}$,
$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10a+100}{1\ 100}-\dfrac{11a}{1\ 100}=\dfrac{10a+100-11a}{1\ 100}=\dfrac{100-a}{1\ 100}$,
∵$0＜a＜100$,
∴$100-a＞0$.
∴$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}＞0$,即$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$.
∴加糖后糖水确实变甜了.
(3)根据题意,得$\begin{cases} \dfrac{a+10}{110}≥10\%, \\ \dfrac{a+10}{110}≤15\%, \end{cases}$解得$1≤ a≤6.5$.
∴a的取值范围为$1≤ a≤6.5$

【分析】
(1) 根据题目给出的甜度定义：甜度=糖的质量÷糖水的质量，直接代入对应质量即可计算两个甜度；加糖后糖的总质量和糖水总质量都增加10g，代入定义即可得到新的甜度。
(2) 要证明糖水变甜，本质是证明加糖后的甜度大于加糖前的甜度，采用作差法比较两个代数式的大小：将两个甜度作差，通分化简后结合a的取值范围判断差的正负，若差为正，则被减数更大，即可证明甜度升高。
(3) “甜度不低于10%”即加糖后的甜度≥10%，“不超过15%”即加糖后的甜度≤15%，据此列出一元一次不等式组，分别求解两个不等式后取公共解集，即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 原来糖水质量为100g，含糖a g，根据甜度定义，原来的甜度为$\dfrac{a}{100}$；
加入10g糖完全溶解后，糖的总质量为$(a+10)$g，糖水总质量为$100+10=110$g，因此加糖后的甜度为$\dfrac{a+10}{110}$。
(2) 证明：加糖前甜度为$\dfrac{a}{100}$，加糖后甜度为$\dfrac{a+10}{110}$，将两个甜度作差：
$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10(a+10)}{1100}-\dfrac{11a}{1100}=\dfrac{10a+100-11a}{1100}=\dfrac{100-a}{1100}$
∵$0＜a＜100$
∴$100-a＞0$
∴$\dfrac{100-a}{1100}＞0$，即$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}＞0$
∴$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$，因此加糖后糖水确实变甜了。
(3) 根据甜度要求可列不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{a+10}{110}≥10\% \\ \dfrac{a+10}{110}≤15\% \end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘110得$a+10≥11$，解得$a≥1$；
解第二个不等式：两边同乘110得$a+10≤16.5$，解得$a≤6.5$；
因此不等式组的解集为$1≤a≤6.5$。
【答案】
(1)$\dfrac{a}{100}$；$\dfrac{a+10}{110}$
(2)证明见上述解析，可得$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$，加糖后糖水变甜
(3)a的取值范围为$1≤a≤6.5$
【知识点】
列代数式，作差法比较大小，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生活常识设计问题，将代数运算和实际场景结合，既考查了代数式表示、不等式运算等基础知识点，也能引导学生建立用数学知识解释生活现象、解决实际问题的思维。
【难度系数】
0.7