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1.设$m - n = mn$，则$\frac{1}{m} - \frac{1}{n}$的值是(
A.$\frac{1}{mn}$
B.0
C.1
D.$-1$
D
).A.$\frac{1}{mn}$
B.0
C.1
D.$-1$
答案
1.D
解析
【分析】
要求代数式$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$的值，首先可利用分式减法的运算法则对其通分化简，再观察化简后的式子与已知条件$m-n=mn$的联系，通过整体代入的方法即可求出结果，解题过程中要注意符号的变化。
【解析】
先对所求式子进行通分化简：
$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n}{mn}-\frac{m}{mn}=\frac{n-m}{mn}$
由已知$m-n=mn$，可得$n-m=-(m-n)$，将其代入上式：
$\frac{n-m}{mn}=\frac{-(m-n)}{mn}$
再把$m-n=mn$整体代入：
$\frac{-(m-n)}{mn}=\frac{-mn}{mn}$
由原式中$\frac{1}{m}$、$\frac{1}{n}$有意义，可知$m≠0$且$n≠0$，即$mn≠0$，约分后得结果为$-1$。
【答案】
D
【知识点】
分式加减运算；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是先化简所求代数式再结合已知条件代入计算，易错点是通分后分子的符号处理，掌握分式运算规则和整体代入思想就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要求代数式$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$的值，首先可利用分式减法的运算法则对其通分化简，再观察化简后的式子与已知条件$m-n=mn$的联系，通过整体代入的方法即可求出结果，解题过程中要注意符号的变化。
【解析】
先对所求式子进行通分化简：
$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n}{mn}-\frac{m}{mn}=\frac{n-m}{mn}$
由已知$m-n=mn$，可得$n-m=-(m-n)$，将其代入上式：
$\frac{n-m}{mn}=\frac{-(m-n)}{mn}$
再把$m-n=mn$整体代入：
$\frac{-(m-n)}{mn}=\frac{-mn}{mn}$
由原式中$\frac{1}{m}$、$\frac{1}{n}$有意义，可知$m≠0$且$n≠0$，即$mn≠0$，约分后得结果为$-1$。
【答案】
D
【知识点】
分式加减运算；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是先化简所求代数式再结合已知条件代入计算，易错点是通分后分子的符号处理，掌握分式运算规则和整体代入思想就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 已知$ab=1$，$M=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}$，$N=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$，则$M$与$N$的关系为（
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不能确定
B
）。A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不能确定
答案
2.B
解析
【分析】
要判断M和N的大小关系，常用的方法是作差法，即计算M-N的结果，根据结果的正负判断两者大小；也可以分别化简M、N的表达式，结合已知条件ab=1代入计算，再比较两个化简后的值。解题时先对分式进行通分化简，再代入ab=1的条件求值即可。
【解析】
方法一：作差法
计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})-(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b})\\&=\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}\\&=\frac{(1-a)(1+b)+(1-b)(1+a)}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{1+b-a-ab + 1+a-b-ab}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{2-2ab}{(1+a)(1+b)}\end{aligned}$
已知$ab=1$，代入得分子$2-2×1=0$，因此$M-N=0$，即$M=N$。
方法二：分别化简求值
先化简$M$：
$\begin{aligned}M&=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\\&=\frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{a+b+2}{1+a+b+ab}\end{aligned}$
代入$ab=1$，分母为$1+a+b+1=a+b+2$，因此$M=\frac{a+b+2}{a+b+2}=1$。
再化简$N$：
$\begin{aligned}N&=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\\&=\frac{a(1+b)+b(1+a)}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{a+ab+b+ab}{1+a+b+ab}\\&=\frac{a+b+2ab}{a+b+2}\end{aligned}$
代入$ab=1$，分子为$a+b+2×1=a+b+2$，因此$N=\frac{a+b+2}{a+b+2}=1$。
综上可得$M=N$。
【答案】
B
【知识点】
分式化简、作差法比较大小、整体代入求值
【点评】
本题核心考查分式的加减运算与代数式大小比较技巧，解题的关键是合理运用通分规则，结合已知条件整体代入化简，运算时注意合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
要判断M和N的大小关系，常用的方法是作差法，即计算M-N的结果，根据结果的正负判断两者大小；也可以分别化简M、N的表达式，结合已知条件ab=1代入计算，再比较两个化简后的值。解题时先对分式进行通分化简，再代入ab=1的条件求值即可。
【解析】
方法一：作差法
计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})-(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b})\\&=\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}\\&=\frac{(1-a)(1+b)+(1-b)(1+a)}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{1+b-a-ab + 1+a-b-ab}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{2-2ab}{(1+a)(1+b)}\end{aligned}$
已知$ab=1$，代入得分子$2-2×1=0$，因此$M-N=0$，即$M=N$。
方法二：分别化简求值
先化简$M$：
$\begin{aligned}M&=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\\&=\frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{a+b+2}{1+a+b+ab}\end{aligned}$
代入$ab=1$，分母为$1+a+b+1=a+b+2$，因此$M=\frac{a+b+2}{a+b+2}=1$。
再化简$N$：
$\begin{aligned}N&=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\\&=\frac{a(1+b)+b(1+a)}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{a+ab+b+ab}{1+a+b+ab}\\&=\frac{a+b+2ab}{a+b+2}\end{aligned}$
代入$ab=1$，分子为$a+b+2×1=a+b+2$，因此$N=\frac{a+b+2}{a+b+2}=1$。
综上可得$M=N$。
【答案】
B
【知识点】
分式化简、作差法比较大小、整体代入求值
【点评】
本题核心考查分式的加减运算与代数式大小比较技巧，解题的关键是合理运用通分规则，结合已知条件整体代入化简，运算时注意合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
3. 化简$(\sqrt{2a -5})^2 - (2a +1)$的结果是(
A.$-4$
B.$-6$
C.$4a -4$
D.$4a -6$
B
).A.$-4$
B.$-6$
C.$4a -4$
D.$4a -6$
答案
3.B
解析
【分析】
要化简这个式子，首先需要用到二次根式的性质：$(\sqrt{x})^2 = x$，该性质成立的前提是根号下的被开方数$x≥0$，本题中被开方数为$2a-5$，说明原式有意义时$2a-5≥0$，因此$(\sqrt{2a-5})^2$可直接化简为$2a-5$；接下来对化简后的整式进行加减运算即可，注意去括号时括号前是负号，括号内每一项都要变号，最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$(\sqrt{2a-5})^2 = 2a-5$（$2a-5≥0$，保证原式有意义）
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(2a-5)-(2a+1)\\&=2a-5-2a-1\\&=(2a-2a)+(-5-1)\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握二次根式平方的化简规则，同时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要化简这个式子，首先需要用到二次根式的性质：$(\sqrt{x})^2 = x$，该性质成立的前提是根号下的被开方数$x≥0$，本题中被开方数为$2a-5$，说明原式有意义时$2a-5≥0$，因此$(\sqrt{2a-5})^2$可直接化简为$2a-5$；接下来对化简后的整式进行加减运算即可，注意去括号时括号前是负号，括号内每一项都要变号，最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$(\sqrt{2a-5})^2 = 2a-5$（$2a-5≥0$，保证原式有意义）
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(2a-5)-(2a+1)\\&=2a-5-2a-1\\&=(2a-2a)+(-5-1)\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握二次根式平方的化简规则，同时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
4. 化简$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a - b}$的结果是(
A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{b}{a - b}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{b}{a + b}$
A
)。A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{b}{a - b}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{b}{a + b}$
答案
4.A
解析
【分析】
这是一道分式化简的题目，解题时先观察分式的分子和分母特征：首先利用乘法公式对第一个分式的分子、分母因式分解，能约分的先约分，再按照同分母分式的减法规则计算即可。具体思考路径：1. 用完全平方公式分解第一个分式的分子，用平方差公式分解第一个分式的分母；2. 约分后发现两个分式分母相同，直接将分子相减，分母保持不变；3. 化简分子得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：先对第一个分式因式分解并约分：
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a+b}{a-b}$（$a+b≠0$）
代入原式计算：
原式$=\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{a-b}$
$=\frac{(a+b) - b}{a-b}$
$=\frac{a}{a-b}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；分式的加减运算
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题时优先对分子分母因式分解、约分，能简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简的题目，解题时先观察分式的分子和分母特征：首先利用乘法公式对第一个分式的分子、分母因式分解，能约分的先约分，再按照同分母分式的减法规则计算即可。具体思考路径：1. 用完全平方公式分解第一个分式的分子，用平方差公式分解第一个分式的分母；2. 约分后发现两个分式分母相同，直接将分子相减，分母保持不变；3. 化简分子得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：先对第一个分式因式分解并约分：
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a+b}{a-b}$（$a+b≠0$）
代入原式计算：
原式$=\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{a-b}$
$=\frac{(a+b) - b}{a-b}$
$=\frac{a}{a-b}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；分式的加减运算
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题时优先对分子分母因式分解、约分，能简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
5. 如果$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，那么$\frac{x+y+z}{x+y-z}$的值是（
A.7
B.8
C.9
D.10
C
）。A.7
B.8
C.9
D.10
答案
5.C
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们可以采用设参数法求解：设公共比值为k（题目已给出比例不等于0，可保证k≠0），将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求的分式中，参数k会被约掉，即可算出分式的具体数值。
【解析】
解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将上述关系代入$\frac{x+y+z}{x+y-z}$中得：
$\frac{x+y+z}{x+y-z}=\frac{2k+3k+4k}{2k+3k-4k}=\frac{9k}{k}$
因为$k≠0$，可以约分，所以原式$=9$。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是比例类代数式求值的常规题型，核心解题方法是设参数法处理连比关系，计算时注意参数不为0的前提即可顺利求解，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，我们可以采用设参数法求解：设公共比值为k（题目已给出比例不等于0，可保证k≠0），将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求的分式中，参数k会被约掉，即可算出分式的具体数值。
【解析】
解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将上述关系代入$\frac{x+y+z}{x+y-z}$中得：
$\frac{x+y+z}{x+y-z}=\frac{2k+3k+4k}{2k+3k-4k}=\frac{9k}{k}$
因为$k≠0$，可以约分，所以原式$=9$。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是比例类代数式求值的常规题型，核心解题方法是设参数法处理连比关系，计算时注意参数不为0的前提即可顺利求解，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.8
6. 设$m＞n＞0$，$m^2 + n^2 = 4mn$，则$\frac{m^2 - n^2}{mn}$的值等于（
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.3
A
）。A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.3
答案
6.A
解析
【分析】
已知条件给出$m^2+n^2=4mn$，所求代数式为$\frac{m^2-n^2}{mn}$，我们可以借助完全平方公式，先推导$(m+n)^2$和$(m-n)^2$的表达式，再结合平方差公式将$m^2-n^2$转化为$(m+n)(m-n)$，根据$m＞n＞0$的条件确定开平方后的符号，最后代入所求代数式化简即可得到结果。
【解析】
解：$\because m^2 + n^2 = 4mn$
由完全平方公式可得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = (m^2+n^2) + 2mn = 4mn + 2mn = 6mn$
$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = (m^2+n^2) - 2mn = 4mn - 2mn = 2mn$
$\because m＞n＞0$，$\therefore m+n＞0$，$m-n＞0$
开平方得：$m+n=\sqrt{6mn}$，$m-n=\sqrt{2mn}$
由平方差公式：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
代入得：$m^2-n^2=\sqrt{6mn} × \sqrt{2mn} = \sqrt{12m^2n^2}=2\sqrt{3}mn$
$\therefore \frac{m^2-n^2}{mn}=\frac{2\sqrt{3}mn}{mn}=2\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是灵活运用乘法公式对已知条件和所求式子进行变形，解题时要注意根据字母的取值范围确定开平方后的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
已知条件给出$m^2+n^2=4mn$，所求代数式为$\frac{m^2-n^2}{mn}$，我们可以借助完全平方公式，先推导$(m+n)^2$和$(m-n)^2$的表达式，再结合平方差公式将$m^2-n^2$转化为$(m+n)(m-n)$，根据$m＞n＞0$的条件确定开平方后的符号，最后代入所求代数式化简即可得到结果。
【解析】
解：$\because m^2 + n^2 = 4mn$
由完全平方公式可得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = (m^2+n^2) + 2mn = 4mn + 2mn = 6mn$
$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = (m^2+n^2) - 2mn = 4mn - 2mn = 2mn$
$\because m＞n＞0$，$\therefore m+n＞0$，$m-n＞0$
开平方得：$m+n=\sqrt{6mn}$，$m-n=\sqrt{2mn}$
由平方差公式：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
代入得：$m^2-n^2=\sqrt{6mn} × \sqrt{2mn} = \sqrt{12m^2n^2}=2\sqrt{3}mn$
$\therefore \frac{m^2-n^2}{mn}=\frac{2\sqrt{3}mn}{mn}=2\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是灵活运用乘法公式对已知条件和所求式子进行变形，解题时要注意根据字母的取值范围确定开平方后的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
7.设$\sqrt{2}=a,\sqrt{3}=b$,用含$a,b$的式子表示$\sqrt{0.54}$,则下列表示正确的是(
A.$0.3ab$
B.$3ab$
C.$0.1ab^2$
D.$0.1a^2b$
A
).A.$0.3ab$
B.$3ab$
C.$0.1ab^2$
D.$0.1a^2b$
答案
7.A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要将$\sqrt{0.54}$转化为含有$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的形式，再用$a$、$b$代换即可。解题思路如下：第一步先把被开方数0.54转化为分数，再分解因数，拆分出完全平方数和含有2、3的因数；第二步利用二次根式的性质拆分根号，化简后将$\sqrt{2}=a$、$\sqrt{3}=b$代入，最后整理成最简形式对照选项判断。
【解析】
先化简$\sqrt{0.54}$：
$\sqrt{0.54}=\sqrt{\frac{54}{100}}=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{100}}$
将54拆分为$9×2×3$，代入得：
$\frac{\sqrt{9×2×3}}{10}=\frac{\sqrt{9}×\sqrt{2}×\sqrt{3}}{10}=\frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{10}$
已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，代入上式得：
$\frac{3ab}{10}=0.3ab$
对照选项，A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式的化简
2.二次根式的乘法性质
【点评】
本题考查二次根式的化简与代换运算，解题的核心是合理拆分被开方数，将其转化为含已知二次根式的形式，计算时注意小数和分数的转化，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要将$\sqrt{0.54}$转化为含有$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的形式，再用$a$、$b$代换即可。解题思路如下：第一步先把被开方数0.54转化为分数，再分解因数，拆分出完全平方数和含有2、3的因数；第二步利用二次根式的性质拆分根号，化简后将$\sqrt{2}=a$、$\sqrt{3}=b$代入，最后整理成最简形式对照选项判断。
【解析】
先化简$\sqrt{0.54}$：
$\sqrt{0.54}=\sqrt{\frac{54}{100}}=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{100}}$
将54拆分为$9×2×3$，代入得：
$\frac{\sqrt{9×2×3}}{10}=\frac{\sqrt{9}×\sqrt{2}×\sqrt{3}}{10}=\frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{10}$
已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，代入上式得：
$\frac{3ab}{10}=0.3ab$
对照选项，A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式的化简
2.二次根式的乘法性质
【点评】
本题考查二次根式的化简与代换运算，解题的核心是合理拆分被开方数，将其转化为含已知二次根式的形式，计算时注意小数和分数的转化，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
8. 已知$x$是整数，且$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$为整数，则所有符合条件的$x$的值的和为（
A.12
B.15
C.18
D.20
A
）。A.12
B.15
C.18
D.20
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先要明确分式有意义的条件，先排除使分母为0的x取值，避免后续出现增根；再对原式进行通分化简，注意第二个分式的分母3-x可变形为-(x-3)，通分后合并化简得到最简分式；最后根据结果为整数、x为整数的条件，确定最简分式分母是分子的整数因数，求出所有符合条件的x值，求和即可。
【解析】
要使原式有意义，则分母不为0：
$x+3≠0$，$3-x≠0$，$x^2-9≠0$，解得$x≠±3$。
对原式通分化简，最简公分母为$(x+3)(x-3)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2}{x-3} \quad (x≠-3)\end{aligned}$
因为原式结果为整数，且x为整数，所以$x-3$是2的整数因数，2的整数因数有$\pm1,\pm2$：
①当$x-3=1$时，$x=4$，符合条件；
②当$x-3=-1$时，$x=2$，符合条件；
③当$x-3=2$时，$x=5$，符合条件；
④当$x-3=-2$时，$x=1$，符合条件。
所有符合条件的x的值的和为$1+2+4+5=12$。
【答案】
A
【知识点】
分式的化简，分式有意义的条件，整数整除的性质
【点评】
本题是分式运算与整数性质结合的常规题型，易错点是容易忽略分式有意义的前提，未排除x=±3的情况，化简过程中要注意变号规则，避免通分计算分子时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确分式有意义的条件，先排除使分母为0的x取值，避免后续出现增根；再对原式进行通分化简，注意第二个分式的分母3-x可变形为-(x-3)，通分后合并化简得到最简分式；最后根据结果为整数、x为整数的条件，确定最简分式分母是分子的整数因数，求出所有符合条件的x值，求和即可。
【解析】
要使原式有意义，则分母不为0：
$x+3≠0$，$3-x≠0$，$x^2-9≠0$，解得$x≠±3$。
对原式通分化简，最简公分母为$(x+3)(x-3)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2}{x-3} \quad (x≠-3)\end{aligned}$
因为原式结果为整数，且x为整数，所以$x-3$是2的整数因数，2的整数因数有$\pm1,\pm2$：
①当$x-3=1$时，$x=4$，符合条件；
②当$x-3=-1$时，$x=2$，符合条件；
③当$x-3=2$时，$x=5$，符合条件；
④当$x-3=-2$时，$x=1$，符合条件。
所有符合条件的x的值的和为$1+2+4+5=12$。
【答案】
A
【知识点】
分式的化简，分式有意义的条件，整数整除的性质
【点评】
本题是分式运算与整数性质结合的常规题型，易错点是容易忽略分式有意义的前提，未排除x=±3的情况，化简过程中要注意变号规则，避免通分计算分子时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
9. 新考法 满足结论的条件开放 若计算$\sqrt{12} × m$的结果为正整数，则无理数$m$的值可以是
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
（写出一个即可）答案
9.$\sqrt{3}$（答案不唯一）
[解析]$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$,若计算$\sqrt{12}×m$的结果为正整数,则无理数$m$的值可以是$\sqrt{3}$.
[解析]$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$,若计算$\sqrt{12}×m$的结果为正整数,则无理数$m$的值可以是$\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时首先应将已知的二次根式$\sqrt{12}$化简为最简形式，观察其无理部分的特征；要使$\sqrt{12} × m$的结果为正整数，且$m$是无理数，只需让$m$的无理部分和$\sqrt{12}$的无理部分相乘后得到有理数，同时保证整体乘积为正整数即可，可选择最简单的符合要求的无理数作答。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
第二步：构造符合要求的无理数$m$，取$m=\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$是无理数），代入计算：
$\sqrt{12}× m=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$
6是正整数，满足题目要求，因此$m$可以取$\sqrt{3}$，也可取$2\sqrt{3}$等其他符合要求的无理数，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式化简；二次根式乘法运算；无理数的概念
【点评】
本题属于条件开放类试题，解题核心是先将已知二次根式化为最简形式，再根据乘积为正整数的要求构造符合条件的无理数，答案不唯一，能有效考查对二次根式运算的灵活掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先应将已知的二次根式$\sqrt{12}$化简为最简形式，观察其无理部分的特征；要使$\sqrt{12} × m$的结果为正整数，且$m$是无理数，只需让$m$的无理部分和$\sqrt{12}$的无理部分相乘后得到有理数，同时保证整体乘积为正整数即可，可选择最简单的符合要求的无理数作答。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
第二步：构造符合要求的无理数$m$，取$m=\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$是无理数），代入计算：
$\sqrt{12}× m=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$
6是正整数，满足题目要求，因此$m$可以取$\sqrt{3}$，也可取$2\sqrt{3}$等其他符合要求的无理数，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式化简；二次根式乘法运算；无理数的概念
【点评】
本题属于条件开放类试题，解题核心是先将已知二次根式化为最简形式，再根据乘积为正整数的要求构造符合条件的无理数，答案不唯一，能有效考查对二次根式运算的灵活掌握程度。
【难度系数】
0.8
10.已知$2+\frac{2}{3}=2^2×\frac{2}{3}$，$3+\frac{3}{8}=3^2×\frac{3}{8}$，$4+\frac{4}{15}=4^2×\frac{4}{15}$，….若$10+\frac{a}{b}=10^2×\frac{a}{b}$（$a$，$b$为正整数），则$a=$
10
，$b=$99
.答案
10. $a=10$，$b=99$
解析
【分析】
这道题可通过两种思路求解：思路一：观察已知等式的结构特征，归纳总结规律即可得出a、b的值；思路二：将$\frac{a}{b}$看作整体，通过移项、合并同类项求出$\frac{a}{b}$的比值，再结合a、b为正整数的条件确定a、b的取值。观察已知等式可知，每个等式左侧的整数与分数的分子相同，分母等于该整数的平方减1，若设整数为n，则通用规律为$n+\frac{n}{n^2-1}=n^2×\frac{n}{n^2-1}$；也可对$10+\frac{a}{b}=10^2×\frac{a}{b}$移项，将含$\frac{a}{b}$的项移到右侧，计算后即可得到a和b的比值。
【解析】
方法一：找规律法
观察已知等式：
当整数为2时，$2+\frac{2}{3}=2^2×\frac{2}{3}$，此时分数分子=2，分母$3=2^2-1$；
当整数为3时，$3+\frac{3}{8}=3^2×\frac{3}{8}$，此时分数分子=3，分母$8=3^2-1$；
当整数为4时，$4+\frac{4}{15}=4^2×\frac{4}{15}$，此时分数分子=4，分母$15=4^2-1$；
可归纳规律：若整数为$n$（$n≥2$且为正整数），则等式为$n+\frac{n}{n^2-1}=n^2×\frac{n}{n^2-1}$。
已知$10+\frac{a}{b}=10^2×\frac{a}{b}$，对应$n=10$，因此$a=n=10$，$b=n^2-1=10^2-1=99$。
方法二：代数运算法
对等式$10+\frac{a}{b}=10^2×\frac{a}{b}$移项，得：
$10=100×\frac{a}{b}-\frac{a}{b}$
合并同类项，得：
$10=(100-1)×\frac{a}{b}=99×\frac{a}{b}$
整理得$\frac{a}{b}=\frac{10}{99}$，因为a、b为正整数，所以$a=10$，$b=99$。
【答案】
10；99
【知识点】
数字规律探究；等式的性质；分式的基本性质
【点评】
本题既可以通过观察归纳规律求解，也可以通过基础的代数变形计算得到结果，解题时可灵活选择方法，只要细心观察特征或者熟练掌握等式运算的规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这道题可通过两种思路求解：思路一：观察已知等式的结构特征，归纳总结规律即可得出a、b的值；思路二：将$\frac{a}{b}$看作整体，通过移项、合并同类项求出$\frac{a}{b}$的比值，再结合a、b为正整数的条件确定a、b的取值。观察已知等式可知，每个等式左侧的整数与分数的分子相同，分母等于该整数的平方减1，若设整数为n，则通用规律为$n+\frac{n}{n^2-1}=n^2×\frac{n}{n^2-1}$；也可对$10+\frac{a}{b}=10^2×\frac{a}{b}$移项，将含$\frac{a}{b}$的项移到右侧，计算后即可得到a和b的比值。
【解析】
方法一：找规律法
观察已知等式：
当整数为2时，$2+\frac{2}{3}=2^2×\frac{2}{3}$，此时分数分子=2，分母$3=2^2-1$；
当整数为3时，$3+\frac{3}{8}=3^2×\frac{3}{8}$，此时分数分子=3，分母$8=3^2-1$；
当整数为4时，$4+\frac{4}{15}=4^2×\frac{4}{15}$，此时分数分子=4，分母$15=4^2-1$；
可归纳规律：若整数为$n$（$n≥2$且为正整数），则等式为$n+\frac{n}{n^2-1}=n^2×\frac{n}{n^2-1}$。
已知$10+\frac{a}{b}=10^2×\frac{a}{b}$，对应$n=10$，因此$a=n=10$，$b=n^2-1=10^2-1=99$。
方法二：代数运算法
对等式$10+\frac{a}{b}=10^2×\frac{a}{b}$移项，得：
$10=100×\frac{a}{b}-\frac{a}{b}$
合并同类项，得：
$10=(100-1)×\frac{a}{b}=99×\frac{a}{b}$
整理得$\frac{a}{b}=\frac{10}{99}$，因为a、b为正整数，所以$a=10$，$b=99$。
【答案】
10；99
【知识点】
数字规律探究；等式的性质；分式的基本性质
【点评】
本题既可以通过观察归纳规律求解，也可以通过基础的代数变形计算得到结果，解题时可灵活选择方法，只要细心观察特征或者熟练掌握等式运算的规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
11.已知：$x + y = 6$，$xy = -3$，则$x^3y + xy^3 =$
$-126$
答案
11.$-126$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此第一步先提取公因式进行因式分解；分解后得到的式子中含有$x^2+y^2$，而我们已知$x+y$和$xy$的值，可根据完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，将$x^2+y^2$转化为用已知条件表示的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$
根据完全平方公式变形得：$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
代入上式可得：
$x^3y + xy^3 = xy[(x+y)^2 - 2xy]$
将$x+y=6$，$xy=-3$代入式子计算：
$\begin{aligned}原式&= -3×[6^2 - 2×(-3)]\\&= -3×(36 + 6)\\&= -3×42\\&= -126\end{aligned}$
【答案】
$-126$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，核心解题思路是通过因式分解和完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知条件的形式，采用整体代入法计算，避免了单独求解未知数的繁琐，做题时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此第一步先提取公因式进行因式分解；分解后得到的式子中含有$x^2+y^2$，而我们已知$x+y$和$xy$的值，可根据完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，将$x^2+y^2$转化为用已知条件表示的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$
根据完全平方公式变形得：$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
代入上式可得：
$x^3y + xy^3 = xy[(x+y)^2 - 2xy]$
将$x+y=6$，$xy=-3$代入式子计算：
$\begin{aligned}原式&= -3×[6^2 - 2×(-3)]\\&= -3×(36 + 6)\\&= -3×42\\&= -126\end{aligned}$
【答案】
$-126$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，核心解题思路是通过因式分解和完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知条件的形式，采用整体代入法计算，避免了单独求解未知数的繁琐，做题时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
12.设$a=2\sqrt{2}-3$，$b=\frac{1}{a}$，则$a,b$大小关系是
$a＞b$
答案
12.$a＞b$
解析
【分析】要比较a和b的大小，首先可通过估算二次根式的值确定a的正负及绝对值范围，再结合倒数的性质得到b的绝对值范围，最后根据负数比较大小的规则判断两者大小即可，也可以通过作差法验证结论。
【解析】
1. 估算a的取值：
已知$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$2\sqrt{2}\approx2×1.414=2.828$，
则$a=2\sqrt{2}-3\approx2.828-3=-0.172$，可得$a＜0$，且$\vert a\vert\approx0.172＜1$。
2. 推导b的范围：
因为$b=\frac{1}{a}$，所以b也为负数，且$\vert b\vert=\frac{1}{\vert a\vert}\approx\frac{1}{0.172}\approx5.8＞1$。
3. 比较大小：
根据负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的数反而小。
因为$\vert a\vert＜\vert b\vert$，所以$a＞b$。
【答案】$a＞b$
【知识点】实数大小比较；倒数的性质；二次根式估算
【点评】本题考查二次根式的估算和实数的大小比较，解题时既可以通过估算的方法快速判断，也可以用作差法等代数方法严谨推导，方法灵活。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 估算a的取值：
已知$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$2\sqrt{2}\approx2×1.414=2.828$，
则$a=2\sqrt{2}-3\approx2.828-3=-0.172$，可得$a＜0$，且$\vert a\vert\approx0.172＜1$。
2. 推导b的范围：
因为$b=\frac{1}{a}$，所以b也为负数，且$\vert b\vert=\frac{1}{\vert a\vert}\approx\frac{1}{0.172}\approx5.8＞1$。
3. 比较大小：
根据负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的数反而小。
因为$\vert a\vert＜\vert b\vert$，所以$a＞b$。
【答案】$a＞b$
【知识点】实数大小比较；倒数的性质；二次根式估算
【点评】本题考查二次根式的估算和实数的大小比较，解题时既可以通过估算的方法快速判断，也可以用作差法等代数方法严谨推导，方法灵活。
【难度系数】0.8
13.若$(x+\dfrac{1}{x})^2=9$,则$(x-\dfrac{1}{x})^2$的值为
5
.答案
13.5
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的展开形式，观察已知式和待求式的结构特点：二者都是两数和（差）的平方，且两个式子中的两数都为$x$和$\frac{1}{x}$。我们可以先将已知的完全平方展开，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，再将待求的完全平方展开，代入$x^2+\frac{1}{x^2}$的值就能算出结果，核心是利用两个完全平方展开式中都含有的公共部分$x^2+\frac{1}{x^2}$搭建联系。
【解析】
第一步：展开已知式$(x+\frac{1}{x})^2=9$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得：
$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=9$
因为$x· \frac{1}{x}=1$，化简得：$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$，计算得$x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7$。
第二步：展开待求式$(x-\frac{1}{x})^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$可得：
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-2$
第三步：将$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入上式，得：$7-2=5$。
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题的关键是找到已知式和待求式之间的公共部分$x^2+\frac{1}{x^2}$，同时要注意$x$与$\frac{1}{x}$互为倒数、乘积为1的隐含条件，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方公式的展开形式，观察已知式和待求式的结构特点：二者都是两数和（差）的平方，且两个式子中的两数都为$x$和$\frac{1}{x}$。我们可以先将已知的完全平方展开，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，再将待求的完全平方展开，代入$x^2+\frac{1}{x^2}$的值就能算出结果，核心是利用两个完全平方展开式中都含有的公共部分$x^2+\frac{1}{x^2}$搭建联系。
【解析】
第一步：展开已知式$(x+\frac{1}{x})^2=9$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得：
$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=9$
因为$x· \frac{1}{x}=1$，化简得：$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$，计算得$x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7$。
第二步：展开待求式$(x-\frac{1}{x})^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$可得：
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-2$
第三步：将$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入上式，得：$7-2=5$。
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题的关键是找到已知式和待求式之间的公共部分$x^2+\frac{1}{x^2}$，同时要注意$x$与$\frac{1}{x}$互为倒数、乘积为1的隐含条件，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
14.若$\sqrt{a^2 - 3a + 1} + b^2 + 2b + 1 = 0$,则$a^2 + \frac{1}{a^2} - |b| =$
6
.答案
14.6
解析
【分析】
首先观察等式结构，先将含b的三项配方为完全平方形式，根据算术平方根、完全平方的非负性：若两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可分别得到关于a的等式和b的取值；再对a的等式变形，结合完全平方公式的变形求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，最后代入所求式子计算即可。
【解析】
解：对原等式变形可得：
$\sqrt{a^2 - 3a + 1} + (b+1)^2 = 0$
∵ $\sqrt{a^2 - 3a + 1} ≥ 0$，$(b+1)^2 ≥ 0$，且两者和为0
∴ $\begin{cases} a^2 - 3a + 1 = 0 \\ b+1 = 0 \end{cases}$
由$b+1=0$解得$b=-1$，故$|b|=1$。
由$a^2 - 3a +1=0$可知$a ≠ 0$，将等式两边同时除以a得：
$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$
根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
将$a^2+\frac{1}{a^2}=7$、$|b|=1$代入所求式子：
$a^2 + \frac{1}{a^2} - |b| = 7 - 1 = 6$
【答案】
6
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型综合题，解题关键是熟练掌握非负数的性质以及完全平方公式的常见变形，重点考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察等式结构，先将含b的三项配方为完全平方形式，根据算术平方根、完全平方的非负性：若两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可分别得到关于a的等式和b的取值；再对a的等式变形，结合完全平方公式的变形求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，最后代入所求式子计算即可。
【解析】
解：对原等式变形可得：
$\sqrt{a^2 - 3a + 1} + (b+1)^2 = 0$
∵ $\sqrt{a^2 - 3a + 1} ≥ 0$，$(b+1)^2 ≥ 0$，且两者和为0
∴ $\begin{cases} a^2 - 3a + 1 = 0 \\ b+1 = 0 \end{cases}$
由$b+1=0$解得$b=-1$，故$|b|=1$。
由$a^2 - 3a +1=0$可知$a ≠ 0$，将等式两边同时除以a得：
$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$
根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$
将$a^2+\frac{1}{a^2}=7$、$|b|=1$代入所求式子：
$a^2 + \frac{1}{a^2} - |b| = 7 - 1 = 6$
【答案】
6
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型综合题，解题关键是熟练掌握非负数的性质以及完全平方公式的常见变形，重点考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
15.已知$a,b$为有理数，$m,n$分别表示$7-\sqrt{7}$的整数部分和小数部分，且$amn + bn^2 = 4$，则$2a + b=$
4
答案
15.4
解析
【分析】
解题第一步先确定无理数$7-\sqrt{7}$的整数部分和小数部分：首先估算$\sqrt{7}$的取值范围，进而得到$7-\sqrt{7}$的范围，即可确定整数部分$m$，再用原数减去整数部分得到小数部分$n$；第二步将$m$、$n$代入已知等式，展开整理后根据有理数的性质：等式两边有理数部分相等、无理数部分的系数为0，建立关于$a$、$b$的方程组，求解$a$、$b$后代入$2a+b$计算即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式两边同时乘$-1$得：$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，
再加7得：$4＜7-\sqrt{7}＜5$，
因此$7-\sqrt{7}$的整数部分$m=4$，小数部分$n=(7-\sqrt{7})-4=3-\sqrt{7}$。
2. 代入等式$amn + bn^2=4$：
把$m=4$，$n=3-\sqrt{7}$代入得：
$4a(3-\sqrt{7}) + b(3-\sqrt{7})^2 = 4$，
先计算$(3-\sqrt{7})^2=9 - 6\sqrt{7} +7=16-6\sqrt{7}$，
代入后展开整理：
$12a -4\sqrt{7}a +16b -6\sqrt{7}b =4$，
将有理数部分和无理数部分分离：
$(12a +16b) + (-4a -6b)\sqrt{7} = 4$。
3. 根据有理数性质列方程组：
因为$a$、$b$为有理数，等式右边$4$是有理数，所以无理数部分的系数必须为0，有理数部分等于4，可得：
$\begin{cases}-4a -6b =0 \\12a +16b =4 \end{cases}$，
化简第一个方程得：$2a +3b=0$，即$2a=-3b$，
将$2a=-3b$代入第二个方程：$6×(-3b) +16b=4$，
解得：$-18b +16b=4 \implies -2b=4 \implies b=-2$，
再代入$2a=-3b$得：$2a=-3×(-2)=6 \implies a=3$。
4. 计算$2a +b$：
$2a +b=6 + (-2)=4$。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算；二次根式的运算；有理数的性质
【点评】
本题解题的核心是正确估算无理数的取值范围，准确分离无理数的整数部分和小数部分，再利用“有理数运算结果仍为有理数，无理数系数为0”的性质建立方程组求解，是数与式部分的典型综合题。
【难度系数】
0.6
解题第一步先确定无理数$7-\sqrt{7}$的整数部分和小数部分：首先估算$\sqrt{7}$的取值范围，进而得到$7-\sqrt{7}$的范围，即可确定整数部分$m$，再用原数减去整数部分得到小数部分$n$；第二步将$m$、$n$代入已知等式，展开整理后根据有理数的性质：等式两边有理数部分相等、无理数部分的系数为0，建立关于$a$、$b$的方程组，求解$a$、$b$后代入$2a+b$计算即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式两边同时乘$-1$得：$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，
再加7得：$4＜7-\sqrt{7}＜5$，
因此$7-\sqrt{7}$的整数部分$m=4$，小数部分$n=(7-\sqrt{7})-4=3-\sqrt{7}$。
2. 代入等式$amn + bn^2=4$：
把$m=4$，$n=3-\sqrt{7}$代入得：
$4a(3-\sqrt{7}) + b(3-\sqrt{7})^2 = 4$，
先计算$(3-\sqrt{7})^2=9 - 6\sqrt{7} +7=16-6\sqrt{7}$，
代入后展开整理：
$12a -4\sqrt{7}a +16b -6\sqrt{7}b =4$，
将有理数部分和无理数部分分离：
$(12a +16b) + (-4a -6b)\sqrt{7} = 4$。
3. 根据有理数性质列方程组：
因为$a$、$b$为有理数，等式右边$4$是有理数，所以无理数部分的系数必须为0，有理数部分等于4，可得：
$\begin{cases}-4a -6b =0 \\12a +16b =4 \end{cases}$，
化简第一个方程得：$2a +3b=0$，即$2a=-3b$，
将$2a=-3b$代入第二个方程：$6×(-3b) +16b=4$，
解得：$-18b +16b=4 \implies -2b=4 \implies b=-2$，
再代入$2a=-3b$得：$2a=-3×(-2)=6 \implies a=3$。
4. 计算$2a +b$：
$2a +b=6 + (-2)=4$。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算；二次根式的运算；有理数的性质
【点评】
本题解题的核心是正确估算无理数的取值范围，准确分离无理数的整数部分和小数部分，再利用“有理数运算结果仍为有理数，无理数系数为0”的性质建立方程组求解，是数与式部分的典型综合题。
【难度系数】
0.6
16.已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=3$，则代数式$\frac{2a -5ab +4b}{4ab -3a -6b}$的值为
$-\frac{1}{2}$
。答案
16.$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先观察已知等式和所求代数式的结构特征，已知条件是两个分式的和，可先通过通分变形得到a+2b与ab的数量关系；再将所求代数式的分子、分母整理为含有(a+2b)和ab的形式，最后将变形得到的关系整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件变形
已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=3$，对等式左边通分（公分母为$2ab$），得：
$\frac{2b + a}{2ab}=3$
两边同时乘$2ab$（由原式可知$a≠0,b≠0$，故$2ab≠0$），得：
$a + 2b = 6ab$
第二步：化简所求代数式
将代数式$\frac{2a -5ab +4b}{4ab -3a -6b}$的分子、分母整理变形：
分子$2a -5ab +4b = 2(a + 2b) - 5ab$
分母$4ab -3a -6b = 4ab - 3(a + 2b)$
第三步：整体代入计算
把$a + 2b = 6ab$代入变形后的分子、分母：
分子$=2×6ab - 5ab = 12ab - 5ab = 7ab$
分母$=4ab - 3×6ab = 4ab - 18ab = -14ab$
因为$ab≠0$，分子分母同时约去$ab$，得：
原式$=\frac{7ab}{-14ab}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题核心是通过对已知条件的变形，找到可整体代入的关系式，能有效减少计算量，考查学生对代数式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式和所求代数式的结构特征，已知条件是两个分式的和，可先通过通分变形得到a+2b与ab的数量关系；再将所求代数式的分子、分母整理为含有(a+2b)和ab的形式，最后将变形得到的关系整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件变形
已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=3$，对等式左边通分（公分母为$2ab$），得：
$\frac{2b + a}{2ab}=3$
两边同时乘$2ab$（由原式可知$a≠0,b≠0$，故$2ab≠0$），得：
$a + 2b = 6ab$
第二步：化简所求代数式
将代数式$\frac{2a -5ab +4b}{4ab -3a -6b}$的分子、分母整理变形：
分子$2a -5ab +4b = 2(a + 2b) - 5ab$
分母$4ab -3a -6b = 4ab - 3(a + 2b)$
第三步：整体代入计算
把$a + 2b = 6ab$代入变形后的分子、分母：
分子$=2×6ab - 5ab = 12ab - 5ab = 7ab$
分母$=4ab - 3×6ab = 4ab - 18ab = -14ab$
因为$ab≠0$，分子分母同时约去$ab$，得：
原式$=\frac{7ab}{-14ab}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题核心是通过对已知条件的变形，找到可整体代入的关系式，能有效减少计算量，考查学生对代数式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 把下列各式因式分解：
(1)$(x^2 + 4)^2 - (x + 3)^2$；
(2)$(x + y)^2 + 25 - 10(x + y)$。
17. 把下列各式因式分解：
(1)$(x^2 + 4)^2 - (x + 3)^2$；
(2)$(x + y)^2 + 25 - 10(x + y)$。
答案
17.(1)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x^2 + 4)+(x + 3)][(x^2 + 4)-(x + 3)]\\&=(x^2 + 4 + x + 3)(x^2 + 4 - x - 3)\\&=(x^2 + x + 7)(x^2 - x + 1).\end{aligned}$
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x + y)^2 - 10(x + y) + 25\\&=(x + y - 5)^2.\end{aligned}$
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x + y)^2 - 10(x + y) + 25\\&=(x + y - 5)^2.\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 观察式子结构，是两个整式的平方作差，符合平方差公式的形式，因此先运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，其中$a=x^2+4$，$b=x+3$；分解后对每个因式去括号、合并同类项，再检查是否还能继续分解即可。
(2) 观察式子，把$(x+y)$看作一个整体，式子可整理为关于$(x+y)$的二次三项式，符合完全平方差公式的结构特征$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x+y$，$b=5$，直接套用公式分解即可。
【解析】
(1) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x^2 + 4)+(x + 3)][(x^2 + 4)-(x + 3)]\\&=(x^2 + 4 + x + 3)(x^2 + 4 - x - 3)\\&=(x^2 + x + 7)(x^2 - x + 1).\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x + y)^2 - 10(x + y) + 25\\&=(x + y - 5)^2.\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x^2+x+7)(x^2-x+1)$；
(2) $(x+y-5)^2$
【知识点】
公式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，解题时需先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，必要时可运用整体思想简化运算，因式分解需注意分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子结构，是两个整式的平方作差，符合平方差公式的形式，因此先运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，其中$a=x^2+4$，$b=x+3$；分解后对每个因式去括号、合并同类项，再检查是否还能继续分解即可。
(2) 观察式子，把$(x+y)$看作一个整体，式子可整理为关于$(x+y)$的二次三项式，符合完全平方差公式的结构特征$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x+y$，$b=5$，直接套用公式分解即可。
【解析】
(1) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x^2 + 4)+(x + 3)][(x^2 + 4)-(x + 3)]\\&=(x^2 + 4 + x + 3)(x^2 + 4 - x - 3)\\&=(x^2 + x + 7)(x^2 - x + 1).\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x + y)^2 - 10(x + y) + 25\\&=(x + y - 5)^2.\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x^2+x+7)(x^2-x+1)$；
(2) $(x+y-5)^2$
【知识点】
公式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，解题时需先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，必要时可运用整体思想简化运算，因式分解需注意分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
