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18.已知$a=2,b=-1$,求$1+\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}÷\dfrac{1}{a}$的值.
答案
18.$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+\frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)}·a=1 + a + b.\end{aligned}$
当$a=2,b=-1$时,原式$=2$.
当$a=2,b=-1$时,原式$=2$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则，可降低直接代入计算的错误率。首先根据分式运算法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘它的倒数）；再对分子分母因式分解，$a^2-b^2$符合平方差公式结构，可分解为$(a+b)(a-b)$，$a^2-ab$提取公因式$a$可得$a(a-b)$；之后约去分子分母的公因式，将原式化简为最简整式，最后代入$a、b$的数值计算即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+\frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}÷\frac{1}{a}\\&=1+\frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}·a \quad \mathrm{（除法转乘法：除以$\frac{1}{a}$等价于乘$a$）}\\&=1+\frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)}·a \quad \mathrm{（因式分解：分子用平方差公式，分母提取公因式$a$）}\\&=1+a+b \quad \mathrm{（约去公因式$a$和$a-b$，本题$a=2≠0,a-b=3≠0$，约分合法）}\end{aligned}$
将$a=2,b=-1$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=1+2+(-1)=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式化简求值，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的规则，先乘除后加减的运算顺序要牢记，将除法转化为乘法后通过因式分解约分是化简的关键步骤，先化简再求值的思路能大幅减少计算量，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则，可降低直接代入计算的错误率。首先根据分式运算法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘它的倒数）；再对分子分母因式分解，$a^2-b^2$符合平方差公式结构，可分解为$(a+b)(a-b)$，$a^2-ab$提取公因式$a$可得$a(a-b)$；之后约去分子分母的公因式，将原式化简为最简整式，最后代入$a、b$的数值计算即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+\frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}÷\frac{1}{a}\\&=1+\frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}·a \quad \mathrm{（除法转乘法：除以$\frac{1}{a}$等价于乘$a$）}\\&=1+\frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)}·a \quad \mathrm{（因式分解：分子用平方差公式，分母提取公因式$a$）}\\&=1+a+b \quad \mathrm{（约去公因式$a$和$a-b$，本题$a=2≠0,a-b=3≠0$，约分合法）}\end{aligned}$
将$a=2,b=-1$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=1+2+(-1)=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式化简求值，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的规则，先乘除后加减的运算顺序要牢记，将除法转化为乘法后通过因式分解约分是化简的关键步骤，先化简再求值的思路能大幅减少计算量，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
19. 用简便方法计算：
(1)$2× 572^2 - 2× 428^2$；
(2)$225 - 15× 26 + 13^2$。
(1)$2× 572^2 - 2× 428^2$；
(2)$225 - 15× 26 + 13^2$。
答案
19.(1)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(572^2 - 428^2)\\&=2×(572 + 428)×(572 - 428)\\&=2×1000×144=288\ 000.\end{aligned}$
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=15^2 - 2×15×13 + 13^2\\&=(15 - 13)^2=2^2=4.\end{aligned}$
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=15^2 - 2×15×13 + 13^2\\&=(15 - 13)^2=2^2=4.\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 观察第一小题的式子，两项都含有公因式2，第一步先提取公因式，剩下的部分是两个数的平方差，符合平方差公式的结构，利用平方差公式拆分后计算，不需要计算大数的平方，能大幅简化运算步骤。
(2) 观察第二小题的式子，225是15的平方，中间项$15×26$可以变形为$2×15×13$，最后一项是13的平方，整体正好符合完全平方差公式的结构，直接套用公式就能快速算出结果，避免复杂的乘法运算。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(572^2 - 428^2)\\&=2×(572 + 428)×(572 - 428)\\&=2×1000×144\\&=288000\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=15^2 - 2×15×13 + 13^2\\&=(15 - 13)^2\\&=2^2\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{288000}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是利用乘法公式进行简便运算的典型题型，解题核心是先观察式子的结构特征，匹配对应的因式分解公式，将复杂的高次运算转化为简单的加减乘运算，有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第一小题的式子，两项都含有公因式2，第一步先提取公因式，剩下的部分是两个数的平方差，符合平方差公式的结构，利用平方差公式拆分后计算，不需要计算大数的平方，能大幅简化运算步骤。
(2) 观察第二小题的式子，225是15的平方，中间项$15×26$可以变形为$2×15×13$，最后一项是13的平方，整体正好符合完全平方差公式的结构，直接套用公式就能快速算出结果，避免复杂的乘法运算。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(572^2 - 428^2)\\&=2×(572 + 428)×(572 - 428)\\&=2×1000×144\\&=288000\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=15^2 - 2×15×13 + 13^2\\&=(15 - 13)^2\\&=2^2\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{288000}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是利用乘法公式进行简便运算的典型题型，解题核心是先观察式子的结构特征，匹配对应的因式分解公式，将复杂的高次运算转化为简单的加减乘运算，有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
20. 已知$f(x)=\frac{1}{x(x+1)}$，则$f(1)=\frac{1}{1×(1+1)}=\frac{1}{1×2}$，$f(2)=\frac{1}{2×(2+1)}=\frac{1}{2×3}$，…，已知$f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=\frac{14}{15}$，求$n$的值。
答案
20.$\because f(x)=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1},$
$\begin{aligned}\therefore f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\&=1-\frac{1}{n+1}.\end{aligned}$
$\because f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)=\frac{14}{15},$
$\therefore 1-\frac{1}{n+1}=\frac{14}{15},$解得$n=14.$
经检验,$n=14$是上述方程的解.故$n$的值为$14$.
$\begin{aligned}\therefore f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\&=1-\frac{1}{n+1}.\end{aligned}$
$\because f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)=\frac{14}{15},$
$\therefore 1-\frac{1}{n+1}=\frac{14}{15},$解得$n=14.$
经检验,$n=14$是上述方程的解.故$n$的值为$14$.
解析
【分析】
首先观察函数$f(x)$的表达式，分母是两个连续正整数的乘积，这类分式可利用裂项法拆分，即把$\frac{1}{x(x+1)}$拆成$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的形式。再将$f(1)$到$f(n)$全部按此方法拆分后相加，中间互为相反数的项会相互抵消，只剩下首项和末项，即可得到求和的最简结果，最后结合已知的和为$\frac{14}{15}$列方程求解$n$即可，注意解分式方程需要检验。
【解析】
$\because f(x)=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1},$
$\begin{aligned}\therefore f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\&=1-\frac{1}{n+1}.\end{aligned}$
$\because f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)=\frac{14}{15},$
$\therefore 1-\frac{1}{n+1}=\frac{14}{15},$
移项计算得$\frac{1}{n+1}=\frac{1}{15},$
解得$n=14.$
经检验，$n=14$时分母不为0，是上述方程的解。
【答案】
$\boldsymbol{n=14}$
【知识点】
1. 分式裂项相消 2. 解分式方程
【点评】
本题是分式求和的典型题型，核心是掌握裂项拆分的技巧，通过拆分后中间项抵消可大大简化求和运算，求解后注意检验分式方程的解是否符合要求。
【难度系数】
0.7
首先观察函数$f(x)$的表达式，分母是两个连续正整数的乘积，这类分式可利用裂项法拆分，即把$\frac{1}{x(x+1)}$拆成$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的形式。再将$f(1)$到$f(n)$全部按此方法拆分后相加，中间互为相反数的项会相互抵消，只剩下首项和末项，即可得到求和的最简结果，最后结合已知的和为$\frac{14}{15}$列方程求解$n$即可，注意解分式方程需要检验。
【解析】
$\because f(x)=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1},$
$\begin{aligned}\therefore f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\&=1-\frac{1}{n+1}.\end{aligned}$
$\because f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(n)=\frac{14}{15},$
$\therefore 1-\frac{1}{n+1}=\frac{14}{15},$
移项计算得$\frac{1}{n+1}=\frac{1}{15},$
解得$n=14.$
经检验，$n=14$时分母不为0，是上述方程的解。
【答案】
$\boldsymbol{n=14}$
【知识点】
1. 分式裂项相消 2. 解分式方程
【点评】
本题是分式求和的典型题型，核心是掌握裂项拆分的技巧，通过拆分后中间项抵消可大大简化求和运算，求解后注意检验分式方程的解是否符合要求。
【难度系数】
0.7
21. 新考法 解题方法型阅读理解题 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的化简，只要我们找到两个数$a,b$，使$a+b=m$，$ab=n$，这样$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2=m$，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{n}$，那么便有$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}=\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}(a＞b)$。
例如：化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$。
解：首先把$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$化为$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$，这里$m=7,n=12$。
由于$4+3=7,4×3=12$，即$(\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2=7$，$\sqrt{4}·\sqrt{3}=\sqrt{12}$，
$\therefore\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$。
由上述例题的方法化简：
(1)$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$；
(2)$\sqrt{7-\sqrt{40}}$；
(3)$\sqrt{2-\sqrt{3}}$。
形如$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的化简，只要我们找到两个数$a,b$，使$a+b=m$，$ab=n$，这样$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2=m$，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{n}$，那么便有$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}=\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}(a＞b)$。
例如：化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$。
解：首先把$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$化为$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$，这里$m=7,n=12$。
由于$4+3=7,4×3=12$，即$(\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2=7$，$\sqrt{4}·\sqrt{3}=\sqrt{12}$，
$\therefore\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$。
由上述例题的方法化简：
(1)$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$；
(2)$\sqrt{7-\sqrt{40}}$；
(3)$\sqrt{2-\sqrt{3}}$。
答案
21.(1)$\sqrt{7}-\sqrt{6}$ (2)$\sqrt{5}-\sqrt{2}$ (3)$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
这是一道阅读理解型的二次根式化简题，解题核心是利用题目给出的“凑完全平方”方法化简复合二次根式。解题思路分三步：①先将待化简的根式变形为$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的标准形式，若根号内$\sqrt{n}$前的系数不是2，可通过调整倍数凑出系数2；②找到两个数a、b，满足$a+b=m$，$ab=n$且$a＞b$，将根号内的式子改写为$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2$的形式；③利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，因为$a＞b$，所以$\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$（原式根号内为减号则结果也为减号）。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$：
该式已为$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$的标准形式，其中$m=13$，$n=42$。
因为$7+6=13$，$7×6=42$，即$(\sqrt{7})^2+(\sqrt{6})^2=13$，$\sqrt{7}×\sqrt{6}=\sqrt{42}$，
所以$\sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$（二次根式结果非负，$\sqrt{7}＞\sqrt{6}$）。
(2) 化简$\sqrt{7-\sqrt{40}}$：
先变形根号内的根式：$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$，原式化为$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$，其中$m=7$，$n=10$。
因为$5+2=7$，$5×2=10$，即$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2=7$，$\sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{10}$，
所以$\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
(3) 化简$\sqrt{2-\sqrt{3}}$：
根号内$\sqrt{3}$前系数为1，将根号内式子分子分母同乘2凑系数2：
$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$，
分子$4-2\sqrt{3}$符合标准形式的内部结构，其中$m=4$，$n=3$。
因为$3+1=4$，$3×1=3$，即$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{1})^2=4$，$\sqrt{3}×\sqrt{1}=\sqrt{3}$，
分子可改写为$(\sqrt{3}-1)^2$，则原式=$\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$得：$\frac{(\sqrt{3}-1)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2)$\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(3)$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
复合二次根式化简；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于方法迁移类阅读题，解题关键是读懂题目给出的化简规则，灵活对根号内的式子进行变形凑完全平方，解题过程中要注意二次根式的结果为非负数，必要时需进行分母有理化得到最简结果。
【难度系数】
0.7
这是一道阅读理解型的二次根式化简题，解题核心是利用题目给出的“凑完全平方”方法化简复合二次根式。解题思路分三步：①先将待化简的根式变形为$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的标准形式，若根号内$\sqrt{n}$前的系数不是2，可通过调整倍数凑出系数2；②找到两个数a、b，满足$a+b=m$，$ab=n$且$a＞b$，将根号内的式子改写为$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2$的形式；③利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，因为$a＞b$，所以$\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$（原式根号内为减号则结果也为减号）。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$：
该式已为$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$的标准形式，其中$m=13$，$n=42$。
因为$7+6=13$，$7×6=42$，即$(\sqrt{7})^2+(\sqrt{6})^2=13$，$\sqrt{7}×\sqrt{6}=\sqrt{42}$，
所以$\sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$（二次根式结果非负，$\sqrt{7}＞\sqrt{6}$）。
(2) 化简$\sqrt{7-\sqrt{40}}$：
先变形根号内的根式：$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$，原式化为$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$，其中$m=7$，$n=10$。
因为$5+2=7$，$5×2=10$，即$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2=7$，$\sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{10}$，
所以$\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
(3) 化简$\sqrt{2-\sqrt{3}}$：
根号内$\sqrt{3}$前系数为1，将根号内式子分子分母同乘2凑系数2：
$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$，
分子$4-2\sqrt{3}$符合标准形式的内部结构，其中$m=4$，$n=3$。
因为$3+1=4$，$3×1=3$，即$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{1})^2=4$，$\sqrt{3}×\sqrt{1}=\sqrt{3}$，
分子可改写为$(\sqrt{3}-1)^2$，则原式=$\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$得：$\frac{(\sqrt{3}-1)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2)$\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(3)$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
复合二次根式化简；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于方法迁移类阅读题，解题关键是读懂题目给出的化简规则，灵活对根号内的式子进行变形凑完全平方，解题过程中要注意二次根式的结果为非负数，必要时需进行分母有理化得到最简结果。
【难度系数】
0.7
