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22. 新考法 归纳一般结论 观察下列等式：$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2},2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3},3×\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4},···.$
(1)猜想并写出第$n$个等式；
(2)证明你写出的等式的正确性.
(1)猜想并写出第$n$个等式；
(2)证明你写出的等式的正确性.
答案
22.(1)猜想:$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}.$
(2)$\mathrm{右边}=\frac{n^2 + n - n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}=\mathrm{左边},$
即$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}.$
(2)$\mathrm{右边}=\frac{n^2 + n - n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}=\mathrm{左边},$
即$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}.$
解析
【分析】
（1）观察给出的前3个等式，可发现规律：等式左边的整数与对应分数的分子相等，分数分母比分子大1；等式右边为该整数减去相同的分数，据此可归纳出第n个等式的形式。
（2）要证明猜想的等式成立，只需利用分式加减运算法则对等式右侧化简，对比化简结果与左侧是否相等，即可验证结论正确性。
【解析】
(1) 对照已知等式的结构特征：
第1个等式对应n=1，形式为$1×\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{1+1}$；
第2个等式对应n=2，形式为$2×\frac{2}{2+1}=2-\frac{2}{2+1}$；
第3个等式对应n=3，形式为$3×\frac{3}{3+1}=3-\frac{3}{3+1}$；
由此可猜想第n个等式的表达式。
(2) 证明时先对等式右侧通分化简：
将n变形为分母为n+1的分式，即$n=\frac{n(n+1)}{n+1}$，再与$\frac{n}{n+1}$相减，合并分子后化简，将结果与等式左侧对比，即可证明等式成立。
【答案】
(1) 猜想:$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}.$
(2)$\mathrm{右边}=\frac{n^2 + n - n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}=\mathrm{左边},$
即$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$，等式成立。
【知识点】
数字规律探究；分式运算；等式证明
【点评】
本题是数与式模块的典型规律探究题，考查从特殊案例归纳一般规律的能力，同时结合分式运算考查等式证明的基本逻辑，体现了从特殊到一般的数学思维，掌握规律归纳方法和分式运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
（1）观察给出的前3个等式，可发现规律：等式左边的整数与对应分数的分子相等，分数分母比分子大1；等式右边为该整数减去相同的分数，据此可归纳出第n个等式的形式。
（2）要证明猜想的等式成立，只需利用分式加减运算法则对等式右侧化简，对比化简结果与左侧是否相等，即可验证结论正确性。
【解析】
(1) 对照已知等式的结构特征：
第1个等式对应n=1，形式为$1×\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{1+1}$；
第2个等式对应n=2，形式为$2×\frac{2}{2+1}=2-\frac{2}{2+1}$；
第3个等式对应n=3，形式为$3×\frac{3}{3+1}=3-\frac{3}{3+1}$；
由此可猜想第n个等式的表达式。
(2) 证明时先对等式右侧通分化简：
将n变形为分母为n+1的分式，即$n=\frac{n(n+1)}{n+1}$，再与$\frac{n}{n+1}$相减，合并分子后化简，将结果与等式左侧对比，即可证明等式成立。
【答案】
(1) 猜想:$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}.$
(2)$\mathrm{右边}=\frac{n^2 + n - n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}=\mathrm{左边},$
即$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$，等式成立。
【知识点】
数字规律探究；分式运算；等式证明
【点评】
本题是数与式模块的典型规律探究题，考查从特殊案例归纳一般规律的能力，同时结合分式运算考查等式证明的基本逻辑，体现了从特殊到一般的数学思维，掌握规律归纳方法和分式运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
23. 对于任意正实数 $a,b$，因为 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0$，所以 $a - 2\sqrt{ab} + b ≥ 0$。所以 $a + b ≥ 2\sqrt{ab}$，只有当 $a = b$ 时，等号成立。
结论：在 $a + b ≥ 2\sqrt{ab}$（$a,b$ 均为正实数）中，若 $ab$ 为定值 $p$，则 $a + b ≥ 2\sqrt{p}$，只有当 $a = b$ 时，$a + b$ 有最小值 $2\sqrt{p}$。
你能用上面的结论解决下面的问题吗？
(1) 某同学在做一个面积为 $3600\ \mathrm{cm}^2$、对角线互相垂直的四边形风筝时，运用上述规律，用来做对角线的竹条至少需要准备多少？
(2) 有一架不准确的天平（左臂长为 $a\ \mathrm{cm}$，右臂长为 $b\ \mathrm{cm}$，$a ≠ b$）。某人用它来计量某件重物。先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用 $m_1\ \mathrm{kg}$ 使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘，需用 $m_2\ \mathrm{kg}$ 使天平平衡，于是用 $Q = \frac{m_1 + m_2}{2}\ \mathrm{kg}$ 估算重物的实际重量，若重物的实际重量为 $P\ \mathrm{kg}$，试比较 $P,Q$ 的大小。
结论：在 $a + b ≥ 2\sqrt{ab}$（$a,b$ 均为正实数）中，若 $ab$ 为定值 $p$，则 $a + b ≥ 2\sqrt{p}$，只有当 $a = b$ 时，$a + b$ 有最小值 $2\sqrt{p}$。
你能用上面的结论解决下面的问题吗？
(1) 某同学在做一个面积为 $3600\ \mathrm{cm}^2$、对角线互相垂直的四边形风筝时，运用上述规律，用来做对角线的竹条至少需要准备多少？
(2) 有一架不准确的天平（左臂长为 $a\ \mathrm{cm}$，右臂长为 $b\ \mathrm{cm}$，$a ≠ b$）。某人用它来计量某件重物。先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用 $m_1\ \mathrm{kg}$ 使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘，需用 $m_2\ \mathrm{kg}$ 使天平平衡，于是用 $Q = \frac{m_1 + m_2}{2}\ \mathrm{kg}$ 估算重物的实际重量，若重物的实际重量为 $P\ \mathrm{kg}$，试比较 $P,Q$ 的大小。
答案
23.(1)至少需要准备$120\sqrt{2}\ \mathrm{cm}.$
(2)根据杠杆原理可知 $aP=bm_1,bP=am_2.$
两式相乘,得 $abP^2=abm_1m_2.$
又 $ab≠0,P＞0,a≠b,$
所以 $m_1≠m_2,P=\sqrt{m_1m_2},$ 而 $Q=\frac{m_1 + m_2}{2},$
根据前面的结论,得 $m_1 + m_2＞2\sqrt{m_1m_2},$
即$\frac{m_1 + m_2}{2}＞\sqrt{m_1m_2}.$所以 $Q＞P.$
(2)根据杠杆原理可知 $aP=bm_1,bP=am_2.$
两式相乘,得 $abP^2=abm_1m_2.$
又 $ab≠0,P＞0,a≠b,$
所以 $m_1≠m_2,P=\sqrt{m_1m_2},$ 而 $Q=\frac{m_1 + m_2}{2},$
根据前面的结论,得 $m_1 + m_2＞2\sqrt{m_1m_2},$
即$\frac{m_1 + m_2}{2}＞\sqrt{m_1m_2}.$所以 $Q＞P.$
解析
【分析】
(1) 首先回忆对角线互相垂直的四边形面积公式：面积等于两条对角线乘积的一半。设两条对角线长度分别为x、y，由已知面积可求出xy的定值，再根据题干给出的“若ab为定值p，则a+b≥2√p，当a=b时取最小值”的结论，即可求出x+y的最小值，也就是竹条的最小总长度。
(2) 首先根据天平平衡的杠杆原理，分别列出两次称量时的平衡等式，联立两式消去臂长a、b，推导得出实际重量P与m₁、m₂的关系，再将Q与P作对比，结合题干给出的不等式结论即可比较两者大小，注意a≠b时等号不成立。
【解析】
(1) 设四边形风筝的两条互相垂直的对角线长度分别为$x\ \mathrm{cm}$、$y\ \mathrm{cm}$。
对角线互相垂直的四边形面积为两条对角线乘积的一半，因此可得：
$\frac{1}{2}xy=3600$，整理得$xy=7200$。
根据题干给出的结论：$a,b$均为正实数时，$a+b≥2\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
这里$x、y$均为正实数，$xy$为定值7200，因此：
$x+y≥2\sqrt{xy}=2\sqrt{7200}=2×60\sqrt{2}=120\sqrt{2}$，当$x=y=60\sqrt{2}$时等号成立。
即用来做对角线的竹条总长度最小为$120\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 根据杠杆平衡原理，力矩相等即重物质量×对应臂长=砝码质量×对应臂长：
第一次将重物放在左盘时：$aP = bm_1$ ①
第二次将重物放在右盘时：$bP = am_2$ ②
将①②两式左右分别相乘，得：$aP·bP = bm_1·am_2$
整理得：$abP^2 = abm_1m_2$，由于$a、b$为臂长均不为0，两边同时除以$ab$得$P^2=m_1m_2$。
又$P$为重物实际重量，是正实数，因此$P=\sqrt{m_1m_2}$。
已知$Q=\frac{m_1+m_2}{2}$，且$a≠b$，因此$m_1≠m_2$，根据题干给出的不等式结论，正实数$m_1、m_2$满足：
$m_1+m_2＞2\sqrt{m_1m_2}$，两边同时除以2得$\frac{m_1+m_2}{2}＞\sqrt{m_1m_2}$，即$Q＞P$。
【答案】
(1)至少需要准备$120\sqrt{2}\ \mathrm{cm}.$
(2)$Q＞P$
【知识点】
均值不等式应用，特殊四边形面积计算，代数式大小比较
【点评】
本题属于材料阅读类应用题，首先给出基础不等式的推导及结论，再结合几何、生活实际场景考查知识迁移应用能力，解题核心是准确提取不同场景下的数量关系，匹配材料给出的不等式模型求解，注重对阅读理解和灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆对角线互相垂直的四边形面积公式：面积等于两条对角线乘积的一半。设两条对角线长度分别为x、y，由已知面积可求出xy的定值，再根据题干给出的“若ab为定值p，则a+b≥2√p，当a=b时取最小值”的结论，即可求出x+y的最小值，也就是竹条的最小总长度。
(2) 首先根据天平平衡的杠杆原理，分别列出两次称量时的平衡等式，联立两式消去臂长a、b，推导得出实际重量P与m₁、m₂的关系，再将Q与P作对比，结合题干给出的不等式结论即可比较两者大小，注意a≠b时等号不成立。
【解析】
(1) 设四边形风筝的两条互相垂直的对角线长度分别为$x\ \mathrm{cm}$、$y\ \mathrm{cm}$。
对角线互相垂直的四边形面积为两条对角线乘积的一半，因此可得：
$\frac{1}{2}xy=3600$，整理得$xy=7200$。
根据题干给出的结论：$a,b$均为正实数时，$a+b≥2\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
这里$x、y$均为正实数，$xy$为定值7200，因此：
$x+y≥2\sqrt{xy}=2\sqrt{7200}=2×60\sqrt{2}=120\sqrt{2}$，当$x=y=60\sqrt{2}$时等号成立。
即用来做对角线的竹条总长度最小为$120\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 根据杠杆平衡原理，力矩相等即重物质量×对应臂长=砝码质量×对应臂长：
第一次将重物放在左盘时：$aP = bm_1$ ①
第二次将重物放在右盘时：$bP = am_2$ ②
将①②两式左右分别相乘，得：$aP·bP = bm_1·am_2$
整理得：$abP^2 = abm_1m_2$，由于$a、b$为臂长均不为0，两边同时除以$ab$得$P^2=m_1m_2$。
又$P$为重物实际重量，是正实数，因此$P=\sqrt{m_1m_2}$。
已知$Q=\frac{m_1+m_2}{2}$，且$a≠b$，因此$m_1≠m_2$，根据题干给出的不等式结论，正实数$m_1、m_2$满足：
$m_1+m_2＞2\sqrt{m_1m_2}$，两边同时除以2得$\frac{m_1+m_2}{2}＞\sqrt{m_1m_2}$，即$Q＞P$。
【答案】
(1)至少需要准备$120\sqrt{2}\ \mathrm{cm}.$
(2)$Q＞P$
【知识点】
均值不等式应用，特殊四边形面积计算，代数式大小比较
【点评】
本题属于材料阅读类应用题，首先给出基础不等式的推导及结论，再结合几何、生活实际场景考查知识迁移应用能力，解题核心是准确提取不同场景下的数量关系，匹配材料给出的不等式模型求解，注重对阅读理解和灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
