1.在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点。下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（）

A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$

D

逐个分析选项：
1. 选项A：连接AC、AD，由AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，可证△ABC≌△AED(SAS)，得AC=AD，又F是CD中点，根据等腰三角形三线合一，推出AF⊥CD。
2. 选项B：连接BF、EF，由AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF为公共边，可证△ABF≌△AEF(SAS)，得BF=EF，结合BC=DE，CF=DF，证得△BCF≌△EDF(SSS)，进一步可推得AC=AD，由等腰三角形三线合一推出AF⊥CD。
3. 选项C：由∠BCF=∠EDF，BC=DE，CF=DF，可证△BCF≌△EDF(SAS)，得BF=EF，结合AB=AE，AF为公共边，证得△ABF≌△AEF(SSS)，进一步可推得AC=AD，由等腰三角形三线合一推出AF⊥CD。
4. 选项D：仅∠ABD=∠AEC的条件，无法构造全等三角形得到AC=AD，不能推出AF与CD一定垂直。

2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 D,若△ACD 的周长为50 cm,则 AC+BC= ()

A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm

C

∵DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。
∵△ACD的周长为AC+CD+AD=50 cm，将AD替换为BD，可得AC+CD+BD=AC+BC=50 cm。

3. 如图，兔子的三个洞口A,B,C构成$△ ABC$，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）

A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点
D.三角形三条中线的交点

A

根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。因此△ABC三条边的垂直平分线的交点到三个顶点A、B、C的距离相等，满足猎狗到三个洞口距离都相等的要求。其余选项里，角平分线的交点到三角形三边距离相等，三角形三条高的交点、三条中线的交点均不满足到三个顶点距离相等的条件。

4.如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是 （）

A.4
B.3
C.2
D.1

C

过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA，可得PE=PD。因为PD=2，所以PE=2，即点P到OA的距离是2。

5. 如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠DCF=20°，DE垂直平分AB，交BC于点D，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，连接CF，则∠BAC=（）

A.60°
B.70°
C.80°
D.90°

C

根据线段垂直平分线的性质：
1. 因为DE垂直平分AB，所以AD=BD，由等边对等角得∠BAD=∠ABC=40°。
2. 由三角形外角性质，∠ADC=∠BAD+∠ABC=80°。
3. 在△DFC中，已知∠FDC=∠ADC=80°，∠DCF=20°，由三角形内角和得∠DFC=180°-80°-20°=80°。
4. 因为FG垂直平分AC，所以AF=CF，由等边对等角得∠FAC=∠FCA。
5. 由于A、F、D三点共线，∠AFC=180°-∠DFC=100°，在△AFC中，∠FAC+∠FCA=180°-100°=80°，因此∠FAC=40°。
6. 最终∠BAC=∠BAD+∠FAC=40°+40°=80°。