12. 定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为“勾股四边形”。如图,将$△ ABC$绕顶点B按顺时针方向转动$60°$,得到$△ DBE$,连接AD,DC,CE,已知$∠ DCB=30°$。
(1)求证:$△ BCE$是等边三角形;
(2)求证:$DC^2+BC^2=AC^2$,即四边形ABCD是“勾股四边形”。

证明：
(1) 由旋转的性质可得 $△ ABC ≌ △ DBE$，
$\therefore BC = BE$，
又$\because$ 旋转角 $∠ CBE = 60°$，
$\therefore △ BCE$ 是等边三角形。
(2) 由(1)知 $△ BCE$ 是等边三角形，
$\therefore BC = CE$，$∠ BCE = 60°$，
$\because ∠ DCB = 30°$，
$\therefore ∠ DCB + ∠ BCE = 30° + 60° = 90°$，即 $∠ DCE = 90°$，
$\therefore △ DCE$ 是直角三角形，
由勾股定理得：$DC^2 + CE^2 = DE^2$，
又由旋转的性质得 $AC = DE$，
将 $CE=BC$、$DE=AC$ 代入得：$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 中存在相邻两边 $DC$、$BC$ 的平方和等于对角线 $AC$ 的平方，即四边形 $ABCD$ 是“勾股四边形”。

13. 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E。
（1）如图1，若点B，C在DE的同侧，且AD=CE，求证：AB⊥AC。
（2）如图2，若点B，C在DE的两侧，且AD=CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由。

(1) 证明：
∵ $BD⊥ DE$，$CE⊥ DE$，
∴ $∠ D = ∠ E = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\AD = CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CAE\ (\mathrm{HL})$。
∴ $∠ BAD = ∠ ACE$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ BAC = 180° - (∠ BAD + ∠ CAE) = 90°$，
即 $AB⊥ AC$。
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(2) 解：$AB$与$AC$仍垂直，证明如下：
∵ $BD⊥ DE$，$CE⊥ DE$，
∴ $∠ ADB = ∠ CEA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\AD = CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CAE\ (\mathrm{HL})$。
∴ $∠ BAD = ∠ ACE$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAE = 90°$，
即 $∠ BAC = 90°$，
∴ $AB⊥ AC$。

14. 如图1，∠1，∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角。
(1)猜想∠1+∠2与∠A，∠C的数量关系并说明理由。
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O。若∠A=50°，∠C=150°，求∠BOD的度数。
(3)如图3，BO，DO分别是四边形ABCD外角∠CBE，∠CDF的平分线，猜想∠A，∠C与∠O的数量关系并证明。

解：
(1) ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C，理由如下：
由邻补角的定义，得∠1 + ∠ABC = 180°，∠2 + ∠ADC = 180°，
因此∠1 + ∠2 + ∠ABC + ∠ADC = 360°。
因为四边形ABCD的内角和为$(4-2)×180°=360°$，
所以∠A + ∠ABC + ∠C + ∠ADC = 360°，
对比两式可得∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C。
(2) 因为四边形ABCD内角和为360°，∠A=50°，∠C=150°，
所以∠ABC + ∠ADC = 360° - ∠A - ∠C = 360° - 50° - 150° = 160°。
因为BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，
所以$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ODC = \frac{1}{2}∠ ADC$，
因此$∠ OBC + ∠ ODC = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ADC) = \frac{1}{2} × 160° = 80°$。
在四边形OBCD中，内角和为360°，
所以$∠ BOD = 360° - (∠ OBC + ∠ ODC + ∠ C) = 360° - (80° + 150°) = 130°$。
(3) 猜想：$∠ C - ∠ A = 2∠ O$，证明如下：
因为BO平分∠CBE，DO平分∠CDF，
所以$∠ OBE = \frac{1}{2}∠ CBE$，$∠ ODF = \frac{1}{2}∠ CDF$。
由邻补角定义，得∠CBE = 180° - ∠ABC，∠CDF = 180° - ∠ADC，
所以$∠ CBE + ∠ CDF = 360° - (∠ ABC + ∠ ADC)$。
又因为四边形ABCD内角和为360°，所以∠ABC + ∠ADC = 360° - ∠A - ∠C，
代入得$∠ CBE + ∠ CDF = 360° - (360° - ∠ A - ∠ C) = ∠ A + ∠ C$，
因此$∠ OBE + ∠ ODF = \frac{1}{2}(∠ CBE + ∠ CDF) = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ C)$。
在四边形ABOD中，内角和为360°，
所以∠A + ∠ABO + ∠O + ∠ADO = 360°。
又因为∠ABO = 180° - ∠OBE，∠ADO = 180° - ∠ODF，
代入得$∠ A + 180° - ∠ OBE + ∠ O + 180° - ∠ ODF = 360°$，
整理得$∠ A + ∠ O = ∠ OBE + ∠ ODF$，
即$∠ A + ∠ O = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ C)$，
两边同乘2得$2∠ A + 2∠ O = ∠ A + ∠ C$，
化简得$∠ C - ∠ A = 2∠ O$。