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7. 如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，连接 PA，PB，PC，PA:PB:PC=3:4:5，以 AC 为边作$△ AP'C ≌ △ APB$，连接 $PP'$，则有以下结论：①$△ APP'$是等边三角形；②$△ PCP'$是直角三角形；③$∠ APB=150°$；④$∠ APC=105°$。其中一定正确的是（填序号）。
答案
解：
∵ $△ AP'C ≌ △ APB$，
∴ $AP' = AP$，$∠ P'AC = ∠ PAB$，$P'C = PB$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$，即$∠ PAB + ∠ PAC = 60°$，
∴ $∠ P'AP = ∠ P'AC + ∠ PAC = ∠ PAB + ∠ PAC = 60°$，
又∵ $AP' = AP$，
∴ $△ APP'$是等边三角形，结论①正确。
设$PA = 3k$，$PB = 4k$，$PC = 5k$（$k＞0$），
则$P'C = PB = 4k$，由$△ APP'$是等边三角形得$PP' = AP = 3k$。
在$△ PCP'$中，$PP'^2 + P'C^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 25k^2 = (5k)^2 = PC^2$，
∴ $△ PCP'$是直角三角形，且$∠ PP'C = 90°$，结论②正确。
∵ $△ AP'C ≌ △ APB$，
∴ $∠ APB = ∠ AP'C$，
又∵ $△ APP'$是等边三角形，∴ $∠ AP'P = 60°$，
∴ $∠ AP'C = ∠ AP'P + ∠ PP'C = 60° + 90° = 150°$，
∴ $∠ APB = 150°$，结论③正确。
由$PP'=3k$，$P'C=4k$，$PC=5k$可知$∠ P'PC ≠ 45°$，
∴ $∠ APC = ∠ APP' + ∠ P'PC = 60° + ∠ P'PC ≠ 105°$，结论④错误。
综上，一定正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
∵ $△ AP'C ≌ △ APB$，
∴ $AP' = AP$，$∠ P'AC = ∠ PAB$，$P'C = PB$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$，即$∠ PAB + ∠ PAC = 60°$，
∴ $∠ P'AP = ∠ P'AC + ∠ PAC = ∠ PAB + ∠ PAC = 60°$，
又∵ $AP' = AP$，
∴ $△ APP'$是等边三角形，结论①正确。
设$PA = 3k$，$PB = 4k$，$PC = 5k$（$k＞0$），
则$P'C = PB = 4k$，由$△ APP'$是等边三角形得$PP' = AP = 3k$。
在$△ PCP'$中，$PP'^2 + P'C^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 25k^2 = (5k)^2 = PC^2$，
∴ $△ PCP'$是直角三角形，且$∠ PP'C = 90°$，结论②正确。
∵ $△ AP'C ≌ △ APB$，
∴ $∠ APB = ∠ AP'C$，
又∵ $△ APP'$是等边三角形，∴ $∠ AP'P = 60°$，
∴ $∠ AP'C = ∠ AP'P + ∠ PP'C = 60° + 90° = 150°$，
∴ $∠ APB = 150°$，结论③正确。
由$PP'=3k$，$P'C=4k$，$PC=5k$可知$∠ P'PC ≠ 45°$，
∴ $∠ APC = ∠ APP' + ∠ P'PC = 60° + ∠ P'PC ≠ 105°$，结论④错误。
综上，一定正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
8. 用反证法证明：$△ ABC$中至少有两个角是锐角。
答案
证明：
假设△ABC中至多有一个锐角，即△ABC的内角中锐角的个数小于2，分两种情况推导：
1. 若△ABC中没有锐角，则∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°，
可得∠A+∠B+∠C≥90°×3=270°，
这与三角形内角和为180°矛盾。
2. 若△ABC中只有一个锐角，不妨设∠A＜90°，∠B≥90°，∠C≥90°，
可得∠A+∠B+∠C ＞ 0°+90°+90°=180°，
这也与三角形内角和为180°矛盾。
因此假设不成立，△ABC中至少有两个角是锐角。
假设△ABC中至多有一个锐角，即△ABC的内角中锐角的个数小于2，分两种情况推导：
1. 若△ABC中没有锐角，则∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°，
可得∠A+∠B+∠C≥90°×3=270°，
这与三角形内角和为180°矛盾。
2. 若△ABC中只有一个锐角，不妨设∠A＜90°，∠B≥90°，∠C≥90°，
可得∠A+∠B+∠C ＞ 0°+90°+90°=180°，
这也与三角形内角和为180°矛盾。
因此假设不成立，△ABC中至少有两个角是锐角。
9.已知:如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△CAP和△CBQ都是等边三角形,BQ和CP交于点H,求证:BH=QH。
答案
证明：
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°，
又∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCP = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°，
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ ∠CBQ = 60°，CB = CQ，
在△CHB中，
∠CHB = 180° - ∠BCP - ∠CBQ = 180° - 30° - 60° = 90°，
即 CH⊥BQ，
∵ △CBQ是等边三角形，CH⊥BQ，由等边三角形三线合一的性质可得：CH是BQ边上的中线，
∴ H为BQ的中点，
∴ BH = QH。
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°，
又∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCP = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°，
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ ∠CBQ = 60°，CB = CQ，
在△CHB中，
∠CHB = 180° - ∠BCP - ∠CBQ = 180° - 30° - 60° = 90°，
即 CH⊥BQ，
∵ △CBQ是等边三角形，CH⊥BQ，由等边三角形三线合一的性质可得：CH是BQ边上的中线，
∴ H为BQ的中点，
∴ BH = QH。
10.已知:如图,AB=AC,AE⊥BE于点E,且BE=BD=DC。求证:∠BAE=∠BAD=∠DAC。
答案
证明：
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ADB=90°，∠BAD=∠DAC。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠E=90°=∠ADB。
在Rt△AEB和Rt△ADB中，
$\{\begin{array}{l} AB=AB \\ BE=BD \end{array} $
∴ Rt△AEB ≌ Rt△ADB（HL），
∴ ∠BAE=∠BAD。
∴ ∠BAE=∠BAD=∠DAC。
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ADB=90°，∠BAD=∠DAC。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠E=90°=∠ADB。
在Rt△AEB和Rt△ADB中，
$\{\begin{array}{l} AB=AB \\ BE=BD \end{array} $
∴ Rt△AEB ≌ Rt△ADB（HL），
∴ ∠BAE=∠BAD。
∴ ∠BAE=∠BAD=∠DAC。
11. 如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧，且$AE=BF$，$AE// BF$，$CE// DF$。
(1)求证：$△ ACE≌△ BDF$；
(2)若$AB=8$，$AC=2$，求$CD$的长。
(1)求证：$△ ACE≌△ BDF$；
(2)若$AB=8$，$AC=2$，求$CD$的长。
答案
(1) 证明：
∵ $AE// BF$，
∴ $∠ A = ∠ B$，
∵ $CE// DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ BDF$，
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ B \\∠ ACE = ∠ BDF \\AE = BF\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（AAS）。
(2) 解：
∵ $△ ACE ≌ △ BDF$，
∴ $BD = AC = 2$，
∵ $AB = 8$，
∴ $CD = AB - AC - BD = 8 - 2 - 2 = 4$。
∵ $AE// BF$，
∴ $∠ A = ∠ B$，
∵ $CE// DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ BDF$，
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ B \\∠ ACE = ∠ BDF \\AE = BF\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（AAS）。
(2) 解：
∵ $△ ACE ≌ △ BDF$，
∴ $BD = AC = 2$，
∵ $AB = 8$，
∴ $CD = AB - AC - BD = 8 - 2 - 2 = 4$。
