1 新考法[2026江苏扬州期中,中]用三根长度相等的铁丝分别围成一幅平面图形(均无剩余),如图,其中∠A=∠B=∠D=∠DEF=∠HEG=∠H=∠J=∠M=60°,则正确的结论是 ()


A.AB＞JM＞DH
B.JM＞AB＞DH
C.JM＞AB=DH
D.JM=AB=DH

∵ ∠A = ∠B = 60°,
∴ ∠C = 180° - 60° - 60° = 60°, 则 △ABC 是等边三角形,
∴ AB = BC = CA. 设每根铁丝长度为 l,
∴ AB = $\frac{1}{3}l$. 同理,△EDF,△EHG 均是等边三角形,则 DE = DF = EF, EG = HG = EH, 则 3DE + 3EH = l,
∴ DE+EH = $\frac{1}{3}l$,
∴ DH = $\frac{1}{3}l$. 延长 JK,ML 交于点 T, 如图所示.
∵ ∠J = ∠M = 60°,
∴ ∠T = 180° - 60° - 60° = 60°,
∴ △JTM 是等边三角形,
∴ JM = JT = MT.
∵ KT+LT＞KL,
∴ l = JK+LM+JM+KL ＜ JK + LM + JM + KT+LT = JM+JT+MT = 3JM, 即 l ＜ 3JM,
∴ JM＞$\frac{1}{3}l$,
∴ JM＞AB=DH,故选 C.

2[2026江苏南京期中,较难]如图,$∠ AOB=60°$,$OA=OB$,动点$C$从点$O$出发,沿射线$OB$方向移动,以$AC$为边在右侧作等边$△ ACD$,连接$AB$,$BD$,则$BD$所在直线与$OA$所在直线的位置关系是 ()


A.相交
B.垂直
C.平行
D.无法确定

∵ ∠AOB = 60°, OA = OB,
∴ △OAB 是等边三角形,
∴ OA = AB, ∠OAB = ∠ABO = 60°. ① 当点 C 在线段 OB 上时,
∵ △ACD 是等边三角形,
∴ AC = AD, ∠CAD = 60°,
∴ ∠OAC = ∠BAD. 在 △AOC 和 △ABD 中,$\begin{cases} OA=BA, \\ ∠OAC=∠BAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴ △AOC≅△ABD,
∴ ∠ABD = ∠AOC = 60°,
∴ ∠OAB = ∠ABD,
∴ BD//OA. ② 当点 C 在 OB 的延长线上时,如图.
∵ △ACD 是等边三角形,
∴ AC = AD, ∠CAD = 60°,
∴ ∠OAC = ∠BAD. 在 △AOC 和 △ABD 中, $\begin{cases} OA=BA, \\ ∠OAC=∠BAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴ △AOC ≅ △ABD,
∴ ∠ABD = ∠AOC = 60°,
∴ ∠OAB = ∠ABD,
∴ BD//OA. 故选 C.

3[2025江苏南京期末，中]如图，$∠ MAN=60°$，点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上。若$△ ABC$是锐角三角形，则AC的取值范围是。

（第3题图）
（第4题图）

如图,过点 B 作 $BC_1 ⊥ AN$, 垂足为 $C_1$, $BC_2 ⊥ AM$, 交 AN 于点 $C_2$. 在 Rt△$ABC_1$ 中, AB = 2, ∠A = 60°,
∴ ∠$ABC_1$ = 30°,
∴ $AC_1 = \frac{1}{2}AB = 1$. 在 Rt△$ABC_2$ 中, AB = 2, ∠A = 60°,
∴ ∠$AC_2B$ = 30°,
∴ $AC_2$ = 4. 当点 C 在 $C_1$ 和 $C_2$ 之间时, △ABC 是锐角三角形,
∴ AC 的取值范围是 1＜AC＜4. 故答案为 1＜AC＜4.

4[2025 湖北武汉期中,较难]如图,点P为△ABC内部一点,且∠PBC=30°,∠PBA=8°,∠APB=150°,∠CAP=22°,则∠APC的度数为°.
刷素养 走向重高

延长 AC 到 Q, 使 AQ=AB,连接 PQ,BQ,PQ 交 BC 于点 E, 如图.
∵ ∠PBA = 8°, ∠APB = 150°,
∴ ∠BAP = 180° - ( ∠PBA + ∠APB ) = 22°.
∵ ∠CAP = 22°,
∴ ∠CAP = ∠BAP = 22°. 在 △QAP 和 △BAP 中,$\begin{cases} AQ=AB, \\ ∠QAP=∠BAP, \\ AP=AP, \end{cases}$
∴ △QAP≅△BAP(SAS),
∴ ∠APQ = ∠APB = 150°, ∠PQA = ∠PBA = 8°, PQ = PB,
∴ ∠BPQ = 360° - ( ∠APQ + ∠APB ) = 60°,
∴ △PBQ 是等边三角形,
∴ ∠PBQ = ∠BPQ = 60°.
∵ ∠PBC = 30°,
∴ ∠QBC = ∠PBQ - ∠PBC=30°,
∴ ∠QBC = ∠PBC = 30°,
∴ BC 是 ∠PBQ 的平分线,
∴ BC ⊥ PQ, PE = QE,
∴ BC 是线段 PQ 的垂直平分线,
∴ PC = QC,
∴ ∠CPQ = ∠PQA = 8°,
∴ ∠BPC = ∠BPQ + ∠CPQ = 68°,
∴ ∠APC = 360° - ( ∠APB + ∠BPC ) = 360° - ( 150° + 68° ) = 142°. 故答案为 142.

5 核心素养 推理能力[2025江苏徐州调研,难]已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且$ED=EC$.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图(1),当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:$AE$ $DB$(填“＞”“＜”或“=” ).
(2)【特例启发,解答题目】
如图(2),当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:$AE$ $DB$(填“＞”“＜”或“=” ).
理由如下:过点E作$EF// BC$,交AC于点F.
(请你完成解答过程).
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且$ED=EC$,若$△ ABC$的边长为1,$AE=2$,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).

(1)=
(2)AE = DB. 理由如下:过点 E 作 EF // BC,交 AC 于点 F.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ EF // BC,
∴ ∠AEF = ∠AFE = 60°,
∴ △AEF 为等边三角形,
∴ AE = EF = AF,
∴ BE = CF.
∵ ED = EC,
∴ ∠D = ∠ECD.
∵ ∠DEB = ∠ABC - ∠D = 60° - ∠D, ∠ECF = ∠ACB - ∠ECD = 60° - ∠ECD,
∴ ∠DEB = ∠ECF.
在△DBE 和△EFC 中,$\begin{cases} DE=EC, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴ △DBE≅△EFC(SAS),
∴ DB = EF,则 AE = DB. 故答案为 =.
(3)根据题意画图,如图所示,CD = 3. 过点 E 作 EF//BC,交 AC 延长线于点 F.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ EF // BC,
∴ ∠AEF = ∠F = 60°,
∴ △AEF 为等边三角形,
∴ AE = EF = 2, 同(2) 可证 △DBE ≅ △EFC,
∴ DB = EF = 2, 则 CD = BC + DB = 3.