1[2025吉林松原期中]如图,平移图形①,与图形②可以拼成一个等边三角形,则图中∠α的度数是 ()

A.$110°$
B.$120°$
C.$140°$
D.$150°$

(第1题图)
(第2题图)

∵ 可以拼成一个等边三角形，
∴ ∠A=∠B=60°,
∴ ∠α = 540°-60°-60°-(180°-70°)-160°=150°. 故选 D.

2[2026江苏扬州质检]如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M,N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的最大角为 ()

A.90°
B.120°
C.135°
D.150°

如图,作∠CBH = ∠ABM,截取BH = BM,连接 CH, HN.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠A = 60°,AB = BC.
∵ ∠MBN = 30°,
∴ ∠ABM+ ∠CBN = ∠CBN + ∠CBH = 30°,
∴ ∠NBM=∠NBH. 又
∵ BM = BH, BN = BN,
∴ △NBM ≅ △NBH (SAS) ,
∴ MN = NH = x.
∵ AB = BC, ∠ABM = ∠CBH, BM = BH,
∴ △ABM≅ △CBH,
∴ ∠BCH = ∠A = 60°, CH=AM=m,
∴ ∠NCH=120°,
∴ 以 x,m,n 为边长的三角形的最大角为 120°,故选 B.

3[2026江苏泰州调研]如图,边长为2的等边三角形ABC中,D点在边BC上运动(不与B,C重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,AD=DE=DF.
(1)若∠AED=20°,求∠ADB的度数;
(2)求证:△BDE≌△CFD;
(3)点D在BC边上从B至C的运动过程中,△BED的周长变化规律为.
A.不变 B.一直变大
C.先变大后变小 D.先变小后变大

(1)【解】
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°.
∵ AD = DE,
∴ ∠DAE = ∠DEA = 20°,
∴ ∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 100°.
(2)【证明】
∵ AD = DE = DF,
∴ ∠DAE = ∠DEA, ∠DAF = ∠DFA.
∵ ∠DAE + ∠DAF = ∠BAC = 60°,
∴ ∠DEA + ∠DFA = 60°.
∵ ∠ABC = 180° - ∠EBD = ∠DEA + ∠EDB = 60°,
∴ ∠EDB = ∠DFA.
∵ ∠ACB = 180° - ∠DCF = ∠CFD + ∠CDF = 60°,
∴ ∠CDF = ∠BED. 在 △BDE 和 △CFD 中,
$\begin{cases} ∠BED=∠CDF, \\ DE=FD, \\ ∠EDB=∠DFC, \end{cases}$
∴ △BDE≅△CFD(ASA).
(3)【解析】
∵ △BDE ≅ △CFD,
∴ BE = CD,
∴ △BED 的周长为 BD + BE + DE = BD + CD+AD = BC+AD = 2+AD.
∵ 点 D 在 BC 边上从 B 至 C 的运动过程中,AD 的长先变小后变大,
∴ △BED 的周长先变小后变大,故选 D.

4[2025 江苏宿迁期末]下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是（）
建议用时 20 分钟 答案 D27

A.$∠ A=∠ B=60°$
B.$∠ B+∠ C=120°$
C.$∠ B=60°,AB=AC$
D.$∠ A=60°,AB=AC$

∵ ∠A = ∠B = 60°,
∴ ∠C = 60°,
∴ ∠A = ∠B = ∠C,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 A 不符合题意
∵ ∠B+∠C = 120°,
∴ ∠A = 60°,但∠B 与 ∠C 不一定等于 60°,
∴ △ABC 不一定是等边三角形,故选项 B 符合题意
∵ ∠B = 60°,AB = AC,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 C 不符合题意
∵ ∠A = 60°,AB = AC,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 D 不符合题意

5[2025江苏连云港调研]如图，一艘轮船由海平面上A地出发，向南偏西$40°$的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西$20°$的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距海里。

连接 AC.
∵ 点 B 在点 A 的南偏西 40°方向上,点 C 在点 B 的北偏西 20°方向上,
∴ ∠CBA=60°. 又
∵ BC = BA,
∴ △ABC 为等边三角形,
∴ AC = BC = AB = 80 海里.

6[2025吉林长春期中]如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE//AB.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)若AD=13,CE=9,则CF的长为.

(1)△DEF 是等边三角形. 理由如下:
∵ AB = AD, ∠A = 60°,
∴ △ABD 为等边三角形,
∴ ∠ADB = ∠ABD = 60°.
∵ CE // AB,
∴ ∠DEF = ∠A = 60°, ∠EFD = ∠ABD = 60°,
∴ ∠EFD = ∠EDF = ∠DEF,
∴ △DEF 是等边三角形.
(2)连接 AC 交 BD 于点 O,如图.
∵ AB = AD, CB = CD,
∴ AC 垂直平分 BD,
∴ AC 平分 ∠BAD,
∴ ∠BAO = ∠DAO.
∵ CE//AB,
∴ ∠ACE = ∠BAO = ∠DAO,
∴ AE = CE = 9,
∴ DE = AD - AE = 13 - 9 = 4.
∵ △DEF 是等边三角形,
∴ EF = DE = 4,
∴ CF = CE - EF = 9 - 4 = 5. 故答案为 5.

7[2026江苏无锡期中]如图，在△ABC中，AB = AC，∠C = 30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE=3，则CE的长度为（）


A.10
B.11
C.12
D.13

如图,连接 AE.
∵ AB = AC, ∠C = 30°,
∴ ∠ABC = ∠C = 30°, ∠BAC = 120°.
∵ DE ⊥ AB, DE = 3,
∴ BE = 2DE = 6.
∵ 点 D 是 AB 的中点,
∴ DE 垂直平分 AB,
∴ AE = BE = 6,
∴ ∠BAE = ∠ABC = 30°,
∴ ∠CAE = ∠BAC - ∠BAE = 90°,
∴ CE = 2AE = 12,故选 C.

8[2025江西南昌期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,∠ B=30°,AC=6\ \mathrm{cm}$,点$D$从点$A$出发以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动,同时点$E$从点$C$出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,解决以下问题:
(1)当$t$为何值时,$△ DEC$为等边三角形?
(2)当$t$为何值时,$△ DEC$为直角三角形?

(1)根据题意可得 AD = t, CD = 6 - t, CE = 2t.
∵ ∠A = 90°, ∠B = 30°, AC = 6 cm,
∴ BC = 2AC = 12 cm, ∠C = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.
∵ △DEC 为等边三角形,
∴ CD = CE,
∴ 6 - t = 2t,
∴ t = 2,
∴ 当 t 的值为 2 时,△DEC 为等边三角形.
(2)①当∠DEC 为直角时,∠EDC = 30°,
∴ CE = $\frac{1}{2}$DC,
∴ 2t = $\frac{1}{2}$(6 - t),
∴ t = $\frac{6}{5}$;②当∠EDC 为直角时,∠DEC = 30°,
∴ CD = $\frac{1}{2}$CE,
∴ 6 - t = $\frac{1}{2}$×2t,
∴ t = 3,
∴ 当 t 的值为 $\frac{6}{5}$或 3 时,△DEC 为直角三角形.