1[2025江苏南京期中,中]如果一个三角形一条边上的中点到其他两边距离相等,那么这个三角形一定是（）

A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

1.B 【解析】如图,△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,E,F 为垂足,且 DE = DF,连接 AD.
∵ D 是 BC 边上的中点,
∴ BD = CD.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC, E, F 为垂足, 且 DE = DF,
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),
∴ ∠B = ∠C,
∴ AB=AC,
∴ △ABC 是等腰三角形. 故选 B.

2[中]如图所示,在△ABC中,AB=8,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,作MF//AD交AC于F.已知CF=10,则AC的长为 ()

A.12
B.11
C.10
D.9

(第2题图)
(第3题图)

2.A
添加辅助线
延长线段构造全等三角形,将已知线段转移到同一个三角形中,本题可以延长 FM 到 N,使 MN=MF,连接 BN,延长 MF 交 BA 的延长线于 E,从而由角之间的数量关系得到线段之间的数量关系,进而得出结论.
【解析】如图,延长 FM 到 N,使 MN=MF,连接 BN,延长 MF 交 BA 的延长线于 E.
∵ M 是 BC 中点,
∴ BM=CM. 在 △BMN 和 △CMF 中,
$\begin{cases} BM = CM, \\ ∠BMN = ∠CMF, \\ MN = MF, \end{cases}$
∴ △BMN≌△CMF (SAS),
∴ BN = CF, ∠N = ∠MFC. 又
∵ ∠BAD = ∠CAD, MF // AD,
∴ ∠E = ∠BAD = ∠CAD = ∠CFM = ∠AFE = ∠N,
∴ AE = AF, BN = BE,
∴ AB+AC = AB+AF+FC = AB+AE+FC = BE+FC = BN+FC = 2FC.
∵ AB=8,CF=10,
∴ AC=2FC-AB=20-8=12. 故选 A.

3[2026 江苏南京质检,较难]如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,DH⊥BC于点H,交BE于点G,有下列结论:①BH=DH;②BD=CD;③AD+CF=BD;④CE=$\frac{1}{2}$BF.其中正确的是 ()

A.①②
B.①③④
C.②③④
D.①②③④

3.D 【解析】
∵ DH ⊥ BC,
∴ ∠BHD = ∠DHC = 90°.
∵ ∠ABC = 45°,
∴ ∠BDH = 90°-∠ABC = 45°,
∴ ∠DBH = ∠BDH,
∴ BH = DH,故①正确.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠BDC = ∠ADC = 90°,
∴ ∠BCD = 90°-∠ABC = 45°,
∴ ∠BCD = ∠ABC,
∴ BD = CD,故②正确.
∵ ∠ADC = 90°,
∴ ∠A + ∠ACD = 90°.
∵ BE ⊥ AC,
∴ ∠AEB = ∠CEB = 90°,
∴ ∠A + ∠ABE = 90°,
∴ ∠ACD = ∠ABE.
∵ ∠BDF = ∠ADC = 90°, BD = CD,
∴ △BDF≌△CDA (ASA),
∴ DF = AD,
∴ BD = CD = DF+CF = AD+CF,故③正确.
∵ △BDF≌△CDA,
∴ BF = AC.
∵ BE 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠CBE.
∵ BE = BE, ∠AEB = ∠CEB = 90°,
∴ △ABE ≌ △CBE (ASA),
∴ AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF,故④正确. 故选 D.

4[2025陕西西安校级期末,中]如图,△ABC中,AC=DC=3,BD垂直∠BAC的平分线于D,E为AC的中点,则图中两个阴影三角形(△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为。

4. $\frac{9}{2}$ 【解析】如图,延长 BD,AC 交于点 H.
∵ AD ⊥ BH,
∴ ∠ADB = ∠ADH = 90°,
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°, ∠H + ∠HAD = 90°.
∵ ∠BAD = ∠HAD,
∴ ∠ABD = ∠H,
∴ AB = AH.
∵ AD ⊥ BH,
∴ BD = DH.
∵ DC = CA,
∴ ∠CDA = ∠CAD.
∵ ∠CAD+∠H = 90°, ∠CDA+∠CDH = 90°,
∴ ∠CDH = ∠H,
∴ CD = CH = AC.
∵ AE = EC,
∴ $S_{△ABE} = \frac{1}{4}S_{△ABH}$,$S_{△CDH} = \frac{1}{4}S_{△ABH}$,
∴ $S_{△ABE} = S_{△CDH}$.
∵ $S_{△OBD}-S_{△AOE} = S_{△ADB}-S_{△ABE} = S_{△ADH}-S_{△CDH} = S_{△ACD}$.
∵ AC = CD = 3,
∴ 当 DC ⊥ AC 时,△ACD 的面积最大,最大面积为 $\frac{1}{2}×3×3 = \frac{9}{2}$. 故答案为 $\frac{9}{2}$.

5 [2025 浙江宁波期末,中]如图(1),P为$∠ AOB$的平分线$OC$上一点,过点$P$作$PD// OB$交$OA$于点$D$,易得$△ POD$为等腰三角形.
(1)【基本运用】如图(2),把长方形纸片$ABCD$沿对角线$AC$折叠,使点$B$落在点$B'$处,重合部分$△ ACE$是等腰三角形吗?为什么?
(2)【类比探究】如图(3),$△ ABC$中,内角$∠ ABC$与外角$∠ ACG$的平分线交于点$O$,过点$O$作$OD// BC$分别交$AB,AC$于点$D,E$,试探究线段$BD,DE,CE$之间的数量关系并说明理由.
(3)【拓展提升】如图(4),四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$E$为$CD$边的中点,$AE$平分$∠ BAD$,连接$BE$,求证:$AE⊥ BE$.

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5. (1)【解】△ACE 是等腰三角形. 理由:在长方形 ABCD 中,
∵ DC//AB,
∴ ∠ACD = ∠BAC. 由折叠性质可得 ∠BAC = ∠B'AC,
∴ ∠ACD = ∠B'AC,
∴ AE = CE,
∴ △ACE 是等腰三角形.
(2)【解】BD = DE+CE. 理由如下:同理(1)可证△BDO 为等腰三角形,BD = OD.
∵ CO 平分 ∠ACG,DO//BC,
∴ ∠ECO = ∠OCG = ∠EOC,
∴ CE = OE,
∴ △COE 为等腰三角形.
∵ BD = DO = DE+EO,
∴ BD = DE+CE.
(3)【证明】如图,延长 AE 交 BC 的延长线于 F.
∵ AD // BC,
∴ ∠F = ∠DAE, ∠D = ∠ECF.
∵ AE 平分 ∠BAD,
∴ ∠BAF = ∠DAF,
∴ ∠BAF = ∠F,
∴ BA = BF.
∵ E 是 CD 的中点,
∴ DE = CE. 在 △ADE 和 △FCE 中,
$\begin{cases} ∠DAE = ∠CFE, \\ ∠ADE = ∠FCE, \\ DE = CE, \end{cases}$
∴ △ADE ≌ △FCE(AAS),
∴ AE = EF,
∴ 点 E 是 AF 的中点,
∴ BE ⊥ AE.

6 核心素养几何直观[较难]在$△ ABC$中，$AB=AC$，D是BC的中点，E，F分别是边AD，AC上的点.
(1)如图(1)，连接BE，EF，若$∠ ABE=∠ EFC$，求证:$BE=EF$；
(2)如图(2)，若B，E，F在一条直线上，且$∠ ABE=∠ BAC=45°$，探究BD与AE之间的数量关系，并说明理由.

6. (1)【证明】连接 CE,如图(1).
∵ AB = AC,D 是 BC 边的中点,
∴ AD ⊥ BC,∠ABC = ∠ACB,
∴ AD 垂直平分 BC,
∴ BE = CE,
∴ ∠EBC = ∠ECB,
∴ ∠ABC - ∠EBC = ∠ACB - ∠ECB,即 ∠ABE = ∠ACE.
∵ ∠ABE = ∠EFC,
∴ ∠ACE = ∠EFC,
∴ EF = CE,
∴ BE = EF.
(2)【解】AE = 2BD. 理由如下:
连接 CE,如图(2). 由(1)得,∠ABE = ∠ACE.
∵ ∠ABE = ∠BAC = 45°,
∴ ∠ACE = 45°,∠AFB= ∠CFE = 90°,
∴ △ABF 和 △CEF 都是等腰直角三角形,
∴ AF = BF, CF = EF. 在 △CBF 和 △EAF 中,
$\begin{cases} BF = AF, \\ ∠BFC = ∠AFE, \\ CF = EF, \end{cases}$
∴ △CBF ≌ △EAF(SAS),
∴ BC = AE.
∵ BC = 2BD,
∴ AE = 2BD.