1[2025江苏苏州质检]如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到点D位置时，梯子顶端A滑动到点C位置，则滑动过程中OM长度（点M和点O之间的距离）的变化规律是（）

A.变小
B.不变
C.变大
D.先变小再变大

（第1题图）
（第2题图）

1.B 【解析】连接OM.
∵ ∠AOB=90°,M为AB的中点,
∴ OM = 1/2 AB. 由题意得AB = CD,
∴ OM = 1/2 CD,
∴ OM 的长度不变. 故选 B.

2[2026 江苏徐州期中]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$D$为$BC$的中点,以$DC$为斜边作$\mathrm{Rt}△ CDE$,$F$为$CD$的中点.若$EF=2$,则$AD$的长为 ()

A.2
B.4
C.6
D.8

2.B 【解析】
∵ 在Rt△CDE中,F为CD的中点,EF=2,
∴ DC=2EF=2×2=4.
∵ 点D为BC的中点,
∴ BC=2DC=2×4=8,
∴ 在Rt△ABC中,AD=1/2 BC=1/2×8=4. 故选 B.

3[2025 黑龙江哈尔滨期中]如图，$△ ABC$中，$∠ ABC=2∠ ACD$，过点A作$AD⊥ AC$交BC于D，若$AB=3$，则CD的长为。

（第3题图）
（第4题图）

3.6 【解析】如图所示,取CD中点E,连接AE,则 AE 是 △ACD 的边CD 上的中线,CE = DE.
∵ AD⊥AC,
∴ △ACD 是直角三角形,
∴ AE = 1/2 CD,即 AE = DE = CE,
∴ ∠ECA = ∠EAC.
∵ ∠AED 是△ACE 的外角,
∴ ∠AED = ∠ECA + ∠EAC = 2∠ECA.
∵ ∠ABC = 2∠ACD,
∴ ∠ABC = ∠AEB,
∴ AE = AB = 3,
∴ CD = 2AE = 6,故答案为 6.

4[2025 江苏无锡期中]如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,BD.若∠EBD=35°,则∠BAD的度数为.

4.55° 【解析】如图,连接 DE,设 ∠BAD 的度数为 x°.
∵ ∠ABC = ∠ADC = 90°,E 为对角线 AC 的中点,
∴ EB = DE = 1/2 AC,
∴ EA=EB = EC = DE,
∴ ∠DAE = ∠EDA,∠BAE = ∠EBA. 在△AED 中,∠DEC = ∠DAE + ∠ADE = 2∠DAE. 同理可得 ∠BEC = 2∠BAE,
∴ ∠DEB = ∠DEC + ∠BEC = 2∠DAE + 2∠BAE = 2(∠DAE + ∠BAE) = 2∠BAD = 2x°. 在△BED 中,BE = DE,
∴ ∠EBD = ∠BDE,
∴ ∠EBD = 1/2×(180°-2x°)=35°,解得 x = 55,
∴ ∠BAD = 55°,故答案为 55°.

5 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=n°.当n变化时，斜边AB上总存在O，P两点，使得OC=CP=$\frac{1}{2}$AB（O，P两点不重合），则n的取值范围为.

5. 30≤n≤60 且 n≠45 【解析】当 OC = CP = 1/2 AB(O,P两点不重合)时,点 O 和点 P 中必有一点为斜边 AB 的中点. 设 P 为 AB 的中点,如图(1),点 O 与 B 重合,
∵ OC = CP = 1/2 AB = PB,
∴ △CPB 是等边三角形,
∴ ∠B = 60°,
∴ n=30,此时∠A最小;如图(2),当 P 与 O重合时,不符合题意,此时 n=45;如图(3),当O 与 A 重合时,
∵ OC = PC = 1/2 AB = AP,
∴ △APC 是等边三角形,
∴ n=60,此时∠A最大,
∴ n 的取值范围为 30≤n≤60 且 n≠45. 故答案为 30≤n≤60 且 n≠45.

6[2025江苏南京质检]如图,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点. 求证:MN⊥DE.

6.【证明】如图,连接 DM,ME. 因为 CD,BE 分别是 AB,AC 边上的高,M是 BC 的中点,所以 DM = 1/2 BC,ME = 1/2 BC,所以 DM=ME. 又因为 N 为 DE 的中点,所以 MN⊥DE.

7 如图(1)，已知$△ ABC$为直角三角形，$∠ BCA = 90°$，在$BC$的延长线上取一点$D$，使得$CD = \frac{1}{2}AB$，点$E$是$AB$的中点，连接$DE$，$M$为$ED$的中点，连接$CM$，$AD$。
(1)试判断$CM$与$ED$的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ AED = 105°$，求$∠ BAC$的度数；
(3)如果将题中“在$BC$的延长线上取一点$D$”改为“在$CB$的延长线上取一点$D$”，其余条件不变，如图(2)所示，若$∠ AED = 165°$，请求出$∠ BAC$的度数。

7.【解】(1) CM ⊥ ED. 理由:连接 CE.
∵ ∠BCA = 90°,点 E 是 AB 的中点,
∴ AB=2CE.
∵ CD = 1/2 AB,
∴ CE = CD.
∵ M 为ED 的中点,
∴ CM ⊥ ED.
(2)
∵ ∠BCA = 90°,点 E 是 AB 的中点,
∴ BE=CE=1/2 AB,
∴ ∠B = ∠ECB.
∵ CE = CD,
∴ ∠CDE = ∠DEC,
∴ ∠ECB = ∠DEC + ∠CDE=2∠CDE,
∴ ∠B = 2∠CDE.
∵ ∠AED = ∠B + ∠CDE,
∴ ∠AED = 3∠CDE.
∵ ∠AED = 105°,
∴ ∠CDE=35°,
∴ ∠B=70°.
∵ ∠BCA=90°,
∴ ∠BAC=180°-90°-70°=20°.
(3) 连接 CE.
∵ ∠BCA = 90°,点 E 是 AB 的中点,
∴ AB=2CE,BE=CE,
∴ ∠EBC = ∠ECB.
∵ CD = 1/2 AB,
∴ CE = CD,
∴ ∠CDE = ∠DEC.
∵ ∠AED = 165°,
∴ ∠BED = 180°-165°=15°.
∵ ∠EBC = ∠CDE + ∠BED,
∴ ∠EBC = ∠ECB = ∠CDE + 15°.
∵ ∠AED = ∠CDE + ∠DBE,∠DBE = ∠ECB + ∠CEB,
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠ECB + ∠CEB.
∵ ∠CEB = ∠CED - ∠BED,
∴ ∠CEB = ∠CDE - 15°,
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠CDE + 15° + ∠CDE - 15° = 3∠CDE,
∴ ∠CDE = 55°,
∴ ∠EBC = 55° + 15° = 70°,
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°.