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16.如图,已知$BD⊥AC,EF⊥AC$,垂足分别为点$D,F,∠1=∠2$.
(1)请说明$∠ADG=∠C$的理由；
(2)若$BD$平分$∠ABC,∠C=50°$,求$∠BGD$的度数.
(1)请说明$∠ADG=∠C$的理由；
(2)若$BD$平分$∠ABC,∠C=50°$,求$∠BGD$的度数.
答案
16. 解:(1)
∵ BD⊥AC,EF⊥AC,
∴ BD//EF,
∴ ∠DBC = ∠2,
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1 = ∠DBC,
∴ DG // BC,
∴ ∠ADG = ∠C.
(2)
∵ EF⊥AC,
∴ ∠EFC = 90°,
∵ ∠C = 50°,
∴ ∠2 = 180° - 90° - ∠C = 40°, 由(1)知 ∠2 = ∠DBC,
∴ ∠DBC = 40°,
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠DBC = 80°,由(1)知 DG//BC,
∴ ∠BGD = 180° - ∠ABC = 100°.
∵ BD⊥AC,EF⊥AC,
∴ BD//EF,
∴ ∠DBC = ∠2,
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1 = ∠DBC,
∴ DG // BC,
∴ ∠ADG = ∠C.
(2)
∵ EF⊥AC,
∴ ∠EFC = 90°,
∵ ∠C = 50°,
∴ ∠2 = 180° - 90° - ∠C = 40°, 由(1)知 ∠2 = ∠DBC,
∴ ∠DBC = 40°,
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠DBC = 80°,由(1)知 DG//BC,
∴ ∠BGD = 180° - ∠ABC = 100°.
解析
【分析】
(1) 要证明∠ADG=∠C，可通过证明DG//BC，利用两直线平行同位角相等得到结论。首先由BD和EF都垂直于AC，可推出BD//EF，得到∠DBC=∠2；结合已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠DBC，即可推出DG//BC，进而得证。
(2) 先在直角△EFC中利用三角形内角和求出∠2的度数，结合(1)的结论得到∠DBC的度数；再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，最后利用DG//BC时同旁内角互补，即可求出∠BGD的度数。
【解析】
(1)
∵ BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ BD//EF，
∴ ∠DBC = ∠2，
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 = ∠DBC，
∴ DG // BC，
∴ ∠ADG = ∠C。
(2)
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFC = 90°，
∵ ∠C = 50°，
∴ ∠2 = 180° - 90° - ∠C = 40°，由(1)知 ∠2 = ∠DBC，
∴ ∠DBC = 40°，
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠DBC = 80°，由(1)知 DG//BC，
∴ ∠BGD = 180° - ∠ABC = 100°。
【答案】
(1) 理由见解析，∠ADG=∠C成立；
(2) ∠BGD=100°
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用平行线的判定和性质，结合垂直、角平分线的条件推导角的数量关系，逻辑链条清晰，侧重考查基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ADG=∠C，可通过证明DG//BC，利用两直线平行同位角相等得到结论。首先由BD和EF都垂直于AC，可推出BD//EF，得到∠DBC=∠2；结合已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠DBC，即可推出DG//BC，进而得证。
(2) 先在直角△EFC中利用三角形内角和求出∠2的度数，结合(1)的结论得到∠DBC的度数；再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，最后利用DG//BC时同旁内角互补，即可求出∠BGD的度数。
【解析】
(1)
∵ BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ BD//EF，
∴ ∠DBC = ∠2，
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 = ∠DBC，
∴ DG // BC，
∴ ∠ADG = ∠C。
(2)
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFC = 90°，
∵ ∠C = 50°，
∴ ∠2 = 180° - 90° - ∠C = 40°，由(1)知 ∠2 = ∠DBC，
∴ ∠DBC = 40°，
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠DBC = 80°，由(1)知 DG//BC，
∴ ∠BGD = 180° - ∠ABC = 100°。
【答案】
(1) 理由见解析，∠ADG=∠C成立；
(2) ∠BGD=100°
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用平行线的判定和性质，结合垂直、角平分线的条件推导角的数量关系，逻辑链条清晰，侧重考查基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
17.如图,直线 CD 与直线 AB 相交于点 O,直线外有一点 P.
(1)过点 P 画直线 $PM // CD$,交 AB 于点 M,过点 P 画直线 $PN ⊥ CD$,垂足为 N;
(2)若 $∠ PMO:∠ COM=1:3$,求 $∠ COM$ 的度数.
(1)过点 P 画直线 $PM // CD$,交 AB 于点 M,过点 P 画直线 $PN ⊥ CD$,垂足为 N;
(2)若 $∠ PMO:∠ COM=1:3$,求 $∠ COM$ 的度数.
答案
17. 解:(1)如图所示：
(2)
∵ PM//CD,
∴ ∠PMO + ∠COM = 180°.
∵ ∠PMO:∠COM = 1:3,
∴ ∠COM = 3/4 ×180° = 135°.
解析
【分析】
（1）作图部分：首先明确两个作图要求，一是画平行线，可借助三角板平移的方法，过点P作与CD平行的直线，保证该直线与AB交于点M即可；二是画垂线，过点P向CD作垂线段，垂足N落在CD上，注意标注垂直符号。
（2）角度计算部分：已知PM与CD平行，首先联想到平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可得到∠PMO与∠COM的和为180°，再结合两个角的比例关系，按比例分配就能求出∠COM的度数。
【解析】
(1) 按要求完成作图，结果如下：
(2) 解：
∵ $PM // CD$，
∴ $∠ PMO + ∠ COM = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $∠ PMO:∠ COM = 1:3$，
∴ $∠ COM = 180° × \frac{3}{1+3} = 135°$。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) $∠ COM = 135°$
【知识点】
平行线的性质；基本作图；角度计算
【点评】
本题结合基础作图和角度计算考察知识点的基础应用，作图难度低，角度计算只需熟练掌握平行线的性质即可完成，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
（1）作图部分：首先明确两个作图要求，一是画平行线，可借助三角板平移的方法，过点P作与CD平行的直线，保证该直线与AB交于点M即可；二是画垂线，过点P向CD作垂线段，垂足N落在CD上，注意标注垂直符号。
（2）角度计算部分：已知PM与CD平行，首先联想到平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可得到∠PMO与∠COM的和为180°，再结合两个角的比例关系，按比例分配就能求出∠COM的度数。
【解析】
(1) 按要求完成作图，结果如下：
(2) 解：
∵ $PM // CD$，
∴ $∠ PMO + ∠ COM = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $∠ PMO:∠ COM = 1:3$，
∴ $∠ COM = 180° × \frac{3}{1+3} = 135°$。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) $∠ COM = 135°$
【知识点】
平行线的性质；基本作图；角度计算
【点评】
本题结合基础作图和角度计算考察知识点的基础应用，作图难度低，角度计算只需熟练掌握平行线的性质即可完成，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
18. 如图，$CD// AB$，$∠ DCB=70°$，$∠ CBF=20°$，$∠ EFB=130°$.
(1)直线EF与AB有怎样的位置关系？
(2)若$∠ CEF=60°$，则$∠ ACB$的度数是多少？
(1)直线EF与AB有怎样的位置关系？
(2)若$∠ CEF=60°$，则$∠ ACB$的度数是多少？
答案
18. 解:(1)
∵ CD // AB, ∠DCB = 70°,
∴ ∠ABC = ∠DCB = 70°.
∵ ∠CBF = 20°,
∴ ∠ABF = ∠ABC - ∠CBF = 50°.
∵ ∠EFB = 130°,
∴ ∠ABF + ∠EFB = 50° + 130° = 180°,
∴ EF//AB.
(2)
∵ EF // AB, CD // AB,
∴ EF // CD.
∴ ∠CEF + ∠ECD = 180°.
∵ ∠CEF = 60°,
∴ ∠ECD = 120°.
∵ ∠DCB = 70°,
∴ ∠ACB = ∠ECD - ∠DCB = 50°.
∵ CD // AB, ∠DCB = 70°,
∴ ∠ABC = ∠DCB = 70°.
∵ ∠CBF = 20°,
∴ ∠ABF = ∠ABC - ∠CBF = 50°.
∵ ∠EFB = 130°,
∴ ∠ABF + ∠EFB = 50° + 130° = 180°,
∴ EF//AB.
(2)
∵ EF // AB, CD // AB,
∴ EF // CD.
∴ ∠CEF + ∠ECD = 180°.
∵ ∠CEF = 60°,
∴ ∠ECD = 120°.
∵ ∠DCB = 70°,
∴ ∠ACB = ∠ECD - ∠DCB = 50°.
解析
【分析】
（1）要判断EF与AB的位置关系，优先考虑平行线的判定方法。首先利用CD//AB的性质得出∠ABC的度数，再结合已知∠CBF的度数算出∠ABF，验证∠ABF与∠EFB的和是否为180°，若满足同旁内角互补即可判定两直线平行。
（2）求∠ACB的度数时，先根据平行的传递性，由EF//AB、CD//AB推出EF//CD，再利用平行线同旁内角互补的性质求出∠ECD的度数，最后用∠ECD减去∠DCB的度数即可得到∠ACB的度数。
【解析】
(1)
∵ CD // AB，∠DCB = 70°，
∴ ∠ABC = ∠DCB = 70°（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠CBF = 20°，
∴ ∠ABF = ∠ABC - ∠CBF = 70° - 20° = 50°。
∵ ∠EFB = 130°，
∴ ∠ABF + ∠EFB = 50° + 130° = 180°，
∴ EF//AB（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵ EF // AB，CD // AB，
∴ EF // CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ ∠CEF + ∠ECD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠CEF = 60°，
∴ ∠ECD = 180° - 60° = 120°。
∵ ∠DCB = 70°，
∴ ∠ACB = ∠ECD - ∠DCB = 120° - 70° = 50°。
【答案】
(1) EF//AB（EF与AB平行）；
(2) ∠ACB=50°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；平行的传递性
【点评】
本题是平行线相关的基础综合题，解题核心是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，结合角的和差运算即可求解，推导过程中要注意平行关系的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
（1）要判断EF与AB的位置关系，优先考虑平行线的判定方法。首先利用CD//AB的性质得出∠ABC的度数，再结合已知∠CBF的度数算出∠ABF，验证∠ABF与∠EFB的和是否为180°，若满足同旁内角互补即可判定两直线平行。
（2）求∠ACB的度数时，先根据平行的传递性，由EF//AB、CD//AB推出EF//CD，再利用平行线同旁内角互补的性质求出∠ECD的度数，最后用∠ECD减去∠DCB的度数即可得到∠ACB的度数。
【解析】
(1)
∵ CD // AB，∠DCB = 70°，
∴ ∠ABC = ∠DCB = 70°（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠CBF = 20°，
∴ ∠ABF = ∠ABC - ∠CBF = 70° - 20° = 50°。
∵ ∠EFB = 130°，
∴ ∠ABF + ∠EFB = 50° + 130° = 180°，
∴ EF//AB（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵ EF // AB，CD // AB，
∴ EF // CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ ∠CEF + ∠ECD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠CEF = 60°，
∴ ∠ECD = 180° - 60° = 120°。
∵ ∠DCB = 70°，
∴ ∠ACB = ∠ECD - ∠DCB = 120° - 70° = 50°。
【答案】
(1) EF//AB（EF与AB平行）；
(2) ∠ACB=50°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；平行的传递性
【点评】
本题是平行线相关的基础综合题，解题核心是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，结合角的和差运算即可求解，推导过程中要注意平行关系的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
