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8. 如图所示，已知$AD// BC// EF$，$∠ ADE=32°$，$∠ BCE=40°$，则$∠ DEC$的度数是（
A.$78°$
B.$76°$
C.$74°$
D.$72°$
D
）A.$78°$
B.$76°$
C.$74°$
D.$72°$
答案
8.D
解析
【分析】
本题可根据平行线的性质求解：观察图形可知EF将∠DEC分成了∠DEF和∠CEF两个角，首先由AD//EF可得内错角∠ADE与∠DEF相等，再由BC//EF可得内错角∠BCE与∠CEF相等，最后将两个角相加即可得到∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵ AD//EF，∠ADE=32°，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠DEF=∠ADE=32°，
∵ BC//EF，∠BCE=40°，同理可得，
∴ ∠CEF=∠BCE=40°，
∴ ∠DEC=∠DEF+∠CEF=32°+40°=72°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线中内错角相等的性质，解题时只需结合图形找到对应的内错角，再通过角的加法运算即可得出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
本题可根据平行线的性质求解：观察图形可知EF将∠DEC分成了∠DEF和∠CEF两个角，首先由AD//EF可得内错角∠ADE与∠DEF相等，再由BC//EF可得内错角∠BCE与∠CEF相等，最后将两个角相加即可得到∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵ AD//EF，∠ADE=32°，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠DEF=∠ADE=32°，
∵ BC//EF，∠BCE=40°，同理可得，
∴ ∠CEF=∠BCE=40°，
∴ ∠DEC=∠DEF+∠CEF=32°+40°=72°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线中内错角相等的性质，解题时只需结合图形找到对应的内错角，再通过角的加法运算即可得出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
9.将∠ABC向上平移100 cm得到∠EFG,如果∠ABC=52°,则∠EFG=
52°
.答案
9.52°
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的基本性质：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状和大小，因此平移前后的对应角大小相等。本题中∠EFG是∠ABC平移后得到的对应角，所以二者度数相等，直接代入已知角度即可得到结果。
【解析】
根据平移的性质可知，平移前后图形的形状、大小完全相同，对应角相等。
因为∠EFG是∠ABC向上平移得到的对应角，
所以∠EFG = ∠ABC，
已知∠ABC=52°，
因此∠EFG=52°。
【答案】
52°
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是理解平移的特征，牢记平移不改变图形的形状和大小、对应角相等即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平移的基本性质：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状和大小，因此平移前后的对应角大小相等。本题中∠EFG是∠ABC平移后得到的对应角，所以二者度数相等，直接代入已知角度即可得到结果。
【解析】
根据平移的性质可知，平移前后图形的形状、大小完全相同，对应角相等。
因为∠EFG是∠ABC向上平移得到的对应角，
所以∠EFG = ∠ABC，
已知∠ABC=52°，
因此∠EFG=52°。
【答案】
52°
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是理解平移的特征，牢记平移不改变图形的形状和大小、对应角相等即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10.如图所示,在屋架上加一根横梁DE,已知∠ABC=31°,当∠ADE=
31°
时就能使DE//BC.答案
10.31°
解析
【分析】
要使DE//BC，可根据平行线的判定定理寻找对应的角相等。首先观察角的位置：∠ADE与∠ABC是直线DE、BC被直线AB所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”的判定规则，只要∠ADE等于∠ABC的度数，就能满足DE//BC，结合已知∠ABC=31°，即可得出∠ADE的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
观察图形可知，∠ADE和∠ABC是直线DE、BC被直线AB所截得到的同位角，若要DE//BC，则需∠ADE=∠ABC。
已知∠ABC=31°，因此∠ADE=31°。
【答案】
31°
【知识点】
平行线的判定、同位角识别
【点评】
本题属于基础几何应用题，重点考查平行线判定定理的实际应用，解题核心是准确识别出截线和被截线形成的同位角，结合判定规则即可快速得到答案，是对几何基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.9
要使DE//BC，可根据平行线的判定定理寻找对应的角相等。首先观察角的位置：∠ADE与∠ABC是直线DE、BC被直线AB所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”的判定规则，只要∠ADE等于∠ABC的度数，就能满足DE//BC，结合已知∠ABC=31°，即可得出∠ADE的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
观察图形可知，∠ADE和∠ABC是直线DE、BC被直线AB所截得到的同位角，若要DE//BC，则需∠ADE=∠ABC。
已知∠ABC=31°，因此∠ADE=31°。
【答案】
31°
【知识点】
平行线的判定、同位角识别
【点评】
本题属于基础几何应用题，重点考查平行线判定定理的实际应用，解题核心是准确识别出截线和被截线形成的同位角，结合判定规则即可快速得到答案，是对几何基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.9
11.如图所示,将一个宽度相等的纸条按图那样折叠一下,则∠1=
60°
.答案
11.60°
解析
【分析】
首先明确两个隐含条件：一是宽度相等的纸条上下两条边互相平行，二是折叠前后对应角相等。解题时先利用平行线的内错角相等的性质，得到折叠后重合的两个角的和与已知的120°角相等，再结合折叠后两个重合角都等于∠1，即可列式计算出∠1的度数。
【解析】
∵ 纸条的上下两条边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后重合的两个角的和为120°
又
∵ 折叠前后对应角相等，这两个重合的角都等于∠1
∴ $2∠ 1=120°$
解得 $∠ 1=120°÷2=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸条折叠场景，考查基础几何性质的综合应用，解题的关键是挖掘出平行线和折叠隐含的等角关系，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先明确两个隐含条件：一是宽度相等的纸条上下两条边互相平行，二是折叠前后对应角相等。解题时先利用平行线的内错角相等的性质，得到折叠后重合的两个角的和与已知的120°角相等，再结合折叠后两个重合角都等于∠1，即可列式计算出∠1的度数。
【解析】
∵ 纸条的上下两条边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后重合的两个角的和为120°
又
∵ 折叠前后对应角相等，这两个重合的角都等于∠1
∴ $2∠ 1=120°$
解得 $∠ 1=120°÷2=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸条折叠场景，考查基础几何性质的综合应用，解题的关键是挖掘出平行线和折叠隐含的等角关系，难度不大。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示，$AB// CD$，$CE$平分$∠ ACD$，$∠ A=110°$，则$∠ ECD=$
35°
。答案
12.35°
解析
【分析】
解题时首先根据平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，结合已知∠A的度数求出∠ACD的度数，再根据角平分线的定义，即角平分线将角平均分成两个相等的小角，代入角度计算即可得到∠ECD的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$（已知）
∴$∠ A + ∠ ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∵$∠ A=110°$（已知）
∴$∠ ACD = 180° - 110° = 70°$
∵$CE$平分$∠ ACD$（已知）
∴$∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD$（角平分线的定义）
∴$∠ ECD = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
1.平行线的性质
2.角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是结合平行线性质和角平分线的定义求解角度，熟练掌握基础几何性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，结合已知∠A的度数求出∠ACD的度数，再根据角平分线的定义，即角平分线将角平均分成两个相等的小角，代入角度计算即可得到∠ECD的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$（已知）
∴$∠ A + ∠ ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∵$∠ A=110°$（已知）
∴$∠ ACD = 180° - 110° = 70°$
∵$CE$平分$∠ ACD$（已知）
∴$∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD$（角平分线的定义）
∴$∠ ECD = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
1.平行线的性质
2.角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是结合平行线性质和角平分线的定义求解角度，熟练掌握基础几何性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
13.如图所示，$AC ⊥ BC$，$CD ⊥ AB$于D，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，则A，C两点间的距离是
6
，点B到AC的距离是8
，$AC＞CD$的依据是垂线段最短
。答案
13.6 8 垂线段最短
解析
【分析】
解题时先明确三个考查点对应的概念：①两点间的距离是连接两点的线段的长度，直接找对应线段长度即可；②点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，先找到点到直线的垂线段，再取其长度；③要判断线段大小关系，结合垂线段的性质分析即可。
【解析】
1. 求A、C两点间的距离：两点间的距离为连接两点的线段的长度，已知$AC=6$，因此A、C两点间的距离是6；
2. 求点B到AC的距离：点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度，已知$AC⊥BC$，即BC是点B到AC的垂线段，$BC=8$，因此点B到AC的距离是8；
3. 分析$AC＞CD$的依据：已知$CD⊥AB$，即CD是点C到直线AB的垂线段，AC是点C到直线AB上点A的斜线段，根据“垂线段最短”的性质，可得$CD＜AC$，即$AC＞CD$，依据是垂线段最短。
【答案】
6；8；垂线段最短
【知识点】
两点间的距离；点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对距离相关定义和垂线段性质的掌握，准确区分两点间距离和点到直线的距离的概念是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先明确三个考查点对应的概念：①两点间的距离是连接两点的线段的长度，直接找对应线段长度即可；②点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，先找到点到直线的垂线段，再取其长度；③要判断线段大小关系，结合垂线段的性质分析即可。
【解析】
1. 求A、C两点间的距离：两点间的距离为连接两点的线段的长度，已知$AC=6$，因此A、C两点间的距离是6；
2. 求点B到AC的距离：点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度，已知$AC⊥BC$，即BC是点B到AC的垂线段，$BC=8$，因此点B到AC的距离是8；
3. 分析$AC＞CD$的依据：已知$CD⊥AB$，即CD是点C到直线AB的垂线段，AC是点C到直线AB上点A的斜线段，根据“垂线段最短”的性质，可得$CD＜AC$，即$AC＞CD$，依据是垂线段最短。
【答案】
6；8；垂线段最短
【知识点】
两点间的距离；点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对距离相关定义和垂线段性质的掌握，准确区分两点间距离和点到直线的距离的概念是解题的关键。
【难度系数】
0.9
14.如图所示,直线$ l_1 // l_2 $,且$ l_1, l_2 $被直线$ l_3 $所截,$ ∠ 1 = ∠ 2 = 35° $,$ ∠ P = 90° $,则$ ∠ 3 = $
55°
.答案
14.55°
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形，已知直线$l_1 // l_2$，可优先运用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）建立角度关系；同时图中有直角$∠ P$，可利用直角三角形两锐角互余的性质求出未知锐角的度数，最后结合已知角的度数代入计算即可求出$∠ 3$。
第一步：先在含直角的三角形中，根据直角三角形两锐角和为$90°$，求出与$∠ 2$互余的角的度数；
第二步：根据平行线的同旁内角互补，写出所有同旁内角的和为$180°$的关系式，代入已知角度计算$∠ 3$。
【解析】
设$l_3$与$l_1$交于点$A$，与$l_2$交于点$B$。
1. 在$△ PAB$中，$∠ P=90°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ 2 + ∠ PAB = 90°$。
已知$∠ 2=35°$，代入得：$∠ PAB = 90° - 35° = 55°$。
2. 因为$l_1 // l_2$，$l_3$为截线，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ PAB = 180°$
将$∠ 1=35°$，$∠ 2=35°$，$∠ PAB=55°$代入上式：
$35° + 35° + ∠ 3 + 55° = 180°$
计算得：$∠ 3 = 180° - 125° = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质与三角形角度关系的综合基础题，解题的关键是准确找到平行线的同旁内角，结合直角三角形的角度关系推导计算，这类题型是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察图形，已知直线$l_1 // l_2$，可优先运用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）建立角度关系；同时图中有直角$∠ P$，可利用直角三角形两锐角互余的性质求出未知锐角的度数，最后结合已知角的度数代入计算即可求出$∠ 3$。
第一步：先在含直角的三角形中，根据直角三角形两锐角和为$90°$，求出与$∠ 2$互余的角的度数；
第二步：根据平行线的同旁内角互补，写出所有同旁内角的和为$180°$的关系式，代入已知角度计算$∠ 3$。
【解析】
设$l_3$与$l_1$交于点$A$，与$l_2$交于点$B$。
1. 在$△ PAB$中，$∠ P=90°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ 2 + ∠ PAB = 90°$。
已知$∠ 2=35°$，代入得：$∠ PAB = 90° - 35° = 55°$。
2. 因为$l_1 // l_2$，$l_3$为截线，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ PAB = 180°$
将$∠ 1=35°$，$∠ 2=35°$，$∠ PAB=55°$代入上式：
$35° + 35° + ∠ 3 + 55° = 180°$
计算得：$∠ 3 = 180° - 125° = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质与三角形角度关系的综合基础题，解题的关键是准确找到平行线的同旁内角，结合直角三角形的角度关系推导计算，这类题型是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15.如图,点O是直线AB上一点,∠AOC=40°,OD平分∠AOC,∠COE=70°.
(1)请说明DO⊥OE的理由；
(2)OE平分∠BOC吗？为什么？
15.如图,点O是直线AB上一点,∠AOC=40°,OD平分∠AOC,∠COE=70°.
(1)请说明DO⊥OE的理由；
(2)OE平分∠BOC吗？为什么？
答案
15. 解: (1)
∵ OD 平分 ∠AOC, ∠AOC = 40°,
∴ ∠DOC = 1/2∠AOC = 20°.
∵ ∠COE = 70°,
∴ ∠DOE = 90°,
∴ DO ⊥ OE.
(2)OE平分∠BOC. 理由:
∵ ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°,且∠AOC = 40°, ∠COE = 70°,
∴ ∠BOE = 70°,
∴ ∠BOE = ∠COE,
∴ OE 平分 ∠BOC.
∵ OD 平分 ∠AOC, ∠AOC = 40°,
∴ ∠DOC = 1/2∠AOC = 20°.
∵ ∠COE = 70°,
∴ ∠DOE = 90°,
∴ DO ⊥ OE.
(2)OE平分∠BOC. 理由:
∵ ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°,且∠AOC = 40°, ∠COE = 70°,
∴ ∠BOE = 70°,
∴ ∠BOE = ∠COE,
∴ OE 平分 ∠BOC.
解析
【分析】
(1)要证明DO⊥OE，根据垂直的定义，只需证明两条线的夹角∠DOE为90°即可。首先利用角平分线的性质，由OD平分已知的∠AOC求出∠DOC的度数，再将∠DOC与已知的∠COE相加，即可得到∠DOE的度数，判断其是否为直角即可证明垂直关系。
(2)要判断OE是否平分∠BOC，根据角平分线的定义，只需判断∠BOE与∠COE是否相等即可。首先由AB是直线可得∠AOB为平角180°，用平角的度数减去已知的∠AOC和∠COE的度数，即可求出∠BOE的度数，再与∠COE比较即可得出结论。
【解析】
(1)
∵ OD 平分 ∠AOC，∠AOC = 40°，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°，
∵ ∠COE = 70°，
∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE = 20° + 70° = 90°，
∴ DO ⊥ OE。
(2)OE平分∠BOC，理由如下：
∵ 点O是直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°，
又
∵ ∠AOC = 40°，∠COE = 70°，
∴ ∠BOE = 180° - 40° - 70° = 70°，
∴ ∠BOE = ∠COE，
∴ OE 平分 ∠BOC。
【答案】
(1)DO⊥OE；
(2)OE平分∠BOC。
【知识点】
角平分线的定义、垂直的定义、平角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，侧重对几何基本概念的考查，解题时需要结合图形梳理各个角的和差关系，熟练运用相关定义进行推导即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1)要证明DO⊥OE，根据垂直的定义，只需证明两条线的夹角∠DOE为90°即可。首先利用角平分线的性质，由OD平分已知的∠AOC求出∠DOC的度数，再将∠DOC与已知的∠COE相加，即可得到∠DOE的度数，判断其是否为直角即可证明垂直关系。
(2)要判断OE是否平分∠BOC，根据角平分线的定义，只需判断∠BOE与∠COE是否相等即可。首先由AB是直线可得∠AOB为平角180°，用平角的度数减去已知的∠AOC和∠COE的度数，即可求出∠BOE的度数，再与∠COE比较即可得出结论。
【解析】
(1)
∵ OD 平分 ∠AOC，∠AOC = 40°，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°，
∵ ∠COE = 70°，
∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE = 20° + 70° = 90°，
∴ DO ⊥ OE。
(2)OE平分∠BOC，理由如下：
∵ 点O是直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°，
又
∵ ∠AOC = 40°，∠COE = 70°，
∴ ∠BOE = 180° - 40° - 70° = 70°，
∴ ∠BOE = ∠COE，
∴ OE 平分 ∠BOC。
【答案】
(1)DO⊥OE；
(2)OE平分∠BOC。
【知识点】
角平分线的定义、垂直的定义、平角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，侧重对几何基本概念的考查，解题时需要结合图形梳理各个角的和差关系，熟练运用相关定义进行推导即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
