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1.按一定规律排列的单项式：$x,3x^{2},5x^{3},7x^{4},9x^{5},···,$第$n$个单项式是 （
A.$(2n-1)x^{n}$
B.$(2n+1)x^{n}$
C.$(n-1)x^{n}$
D.$(n+1)x^{n}$
A
）A.$(2n-1)x^{n}$
B.$(2n+1)x^{n}$
C.$(n-1)x^{n}$
D.$(n+1)x^{n}$
答案
1.A
解析
【分析】
遇到寻找单项式规律的题目，可将单项式拆分为“数字系数”和“含字母的部分”两个模块，分别寻找两个模块的规律后再组合。首先观察系数：给出的系数依次是1、3、5、7、9，是连续的奇数，第1个奇数可表示为$2×1-1$，第2个奇数可表示为$2×2-1$，以此类推可总结第n个系数的表达式；再观察x的次数：x的次数依次是1、2、3、4、5，和单项式的序号完全一致，可直接得到第n个单项式中x的次数，最后将两部分规律组合即可得到结果。
【解析】
分别分析系数和x的次数的规律：
1. 系数规律：
第1个单项式的系数：$1=2×1-1$
第2个单项式的系数：$3=2×2-1$
第3个单项式的系数：$5=2×3-1$
……
由此可推出，第n个单项式的系数为$2n-1$
2. x的次数规律：
第1个单项式x的次数为1，第2个为2，第3个为3……可推出第n个单项式中x的次数为$n$
将两部分规律结合，第n个单项式为$(2n-1)x^n$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的构成；整式规律探究
【点评】
本题是整式规律探究类的基础题型，解题核心是将单项式拆分后分别找对应部分的规律，能有效锻炼观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
遇到寻找单项式规律的题目，可将单项式拆分为“数字系数”和“含字母的部分”两个模块，分别寻找两个模块的规律后再组合。首先观察系数：给出的系数依次是1、3、5、7、9，是连续的奇数，第1个奇数可表示为$2×1-1$，第2个奇数可表示为$2×2-1$，以此类推可总结第n个系数的表达式；再观察x的次数：x的次数依次是1、2、3、4、5，和单项式的序号完全一致，可直接得到第n个单项式中x的次数，最后将两部分规律组合即可得到结果。
【解析】
分别分析系数和x的次数的规律：
1. 系数规律：
第1个单项式的系数：$1=2×1-1$
第2个单项式的系数：$3=2×2-1$
第3个单项式的系数：$5=2×3-1$
……
由此可推出，第n个单项式的系数为$2n-1$
2. x的次数规律：
第1个单项式x的次数为1，第2个为2，第3个为3……可推出第n个单项式中x的次数为$n$
将两部分规律结合，第n个单项式为$(2n-1)x^n$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的构成；整式规律探究
【点评】
本题是整式规律探究类的基础题型，解题核心是将单项式拆分后分别找对应部分的规律，能有效锻炼观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
2.(西藏自治区中考)按一定规律排列的一组数据：$\frac{1}{2}, -\frac{3}{5}, \frac{1}{2}, -\frac{7}{17}, \frac{9}{26}, -\frac{11}{37}, \dots$. 则按此规律排列的第10个数是（
A.$-\frac{19}{101}$
B.$\frac{21}{101}$
C.$-\frac{19}{82}$
D.$\frac{21}{82}$
A
）A.$-\frac{19}{101}$
B.$\frac{21}{101}$
C.$-\frac{19}{82}$
D.$\frac{21}{82}$
答案
2.A
解析
【分析】
解决这类分数规律题，可将数列拆分为符号、分子、分母三部分分别找规律：①先看符号：第1个正、第2个负、第3个正，可得奇数项为正，偶数项为负；②再看分子：把第3个$\frac{1}{2}$改写为$\frac{5}{10}$，可发现分子是连续的奇数，第n项分子为$2n-1$；③最后看分母：各分母依次为$1^2+1$、$2^2+1$、$3^2+1$……，第n项分母为$n^2+1$，最后代入n=10整合即可得到结果。
【解析】
我们分三部分推导规律：
1. 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，第10项是偶数项，符号为负；
2. 分子规律：将第3项$\frac{1}{2}$改写为$\frac{5}{10}$后，分子依次为1、3、5、7……，是连续奇数，第n项分子为$2n-1$，当n=10时，分子为$2×10-1=19$；
3. 分母规律：各分母分别为$2=1^2+1$，$5=2^2+1$，$10=3^2+1$……，第n项分母为$n^2+1$，当n=10时，分母为$10^2+1=101$。
整合可得第10个数为$-\frac{19}{101}$。
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题是常见的数列规律探究题，解题核心是将分数的符号、分子、分母拆分后分别归纳规律，遇到形式特殊的项可通过改写分数统一规律，主要考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.65
解决这类分数规律题，可将数列拆分为符号、分子、分母三部分分别找规律：①先看符号：第1个正、第2个负、第3个正，可得奇数项为正，偶数项为负；②再看分子：把第3个$\frac{1}{2}$改写为$\frac{5}{10}$，可发现分子是连续的奇数，第n项分子为$2n-1$；③最后看分母：各分母依次为$1^2+1$、$2^2+1$、$3^2+1$……，第n项分母为$n^2+1$，最后代入n=10整合即可得到结果。
【解析】
我们分三部分推导规律：
1. 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，第10项是偶数项，符号为负；
2. 分子规律：将第3项$\frac{1}{2}$改写为$\frac{5}{10}$后，分子依次为1、3、5、7……，是连续奇数，第n项分子为$2n-1$，当n=10时，分子为$2×10-1=19$；
3. 分母规律：各分母分别为$2=1^2+1$，$5=2^2+1$，$10=3^2+1$……，第n项分母为$n^2+1$，当n=10时，分母为$10^2+1=101$。
整合可得第10个数为$-\frac{19}{101}$。
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题是常见的数列规律探究题，解题核心是将分数的符号、分子、分母拆分后分别归纳规律，遇到形式特殊的项可通过改写分数统一规律，主要考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.65
3.(重庆市中考)用圆圈按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个圆圈,第②个图案中有5个圆圈,第③个图案中有8个圆圈,第④个图案中有11个圆圈,…,按此规律排列下去,则第⑦个图案中圆圈的个数为 (
A.14
B.20
C.23
D.26
B
)A.14
B.20
C.23
D.26
答案
3.B
解析
【分析】
解决这类图形规律探究题，首先观察已知图案的圆圈数量变化：第①个图案有2个圆圈，第②个比第①个多3个，第③个比第②个多3个，第④个比第③个多3个，可知相邻图案的圆圈数固定相差3。由此推导第n个图案的圆圈数量表达式：第n个图案的圆圈数为初始的2加上(n-1)个3，化简得到通用公式后，将n=7代入即可求出第⑦个图案的圆圈个数。
【解析】
解：观察各图案圆圈数量可得：
第①个图案：2个；
第②个图案：2 + 3×1 = 5个；
第③个图案：2 + 3×2 = 8个；
第④个图案：2 + 3×3 = 11个；
……
由此可推出，第n个图案的圆圈个数为：$2 + 3(n-1) = 3n - 1$；
当$n=7$时，$3×7 -1 = 21 - 1 = 20$，即第⑦个图案有20个圆圈。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的线性增长类图形规律题，解题关键是找到相邻图形数量的固定增量，进而推导出通用代数式，代入对应数值即可求解，是规律探究类题型的基础考法。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律探究题，首先观察已知图案的圆圈数量变化：第①个图案有2个圆圈，第②个比第①个多3个，第③个比第②个多3个，第④个比第③个多3个，可知相邻图案的圆圈数固定相差3。由此推导第n个图案的圆圈数量表达式：第n个图案的圆圈数为初始的2加上(n-1)个3，化简得到通用公式后，将n=7代入即可求出第⑦个图案的圆圈个数。
【解析】
解：观察各图案圆圈数量可得：
第①个图案：2个；
第②个图案：2 + 3×1 = 5个；
第③个图案：2 + 3×2 = 8个；
第④个图案：2 + 3×3 = 11个；
……
由此可推出，第n个图案的圆圈个数为：$2 + 3(n-1) = 3n - 1$；
当$n=7$时，$3×7 -1 = 21 - 1 = 20$，即第⑦个图案有20个圆圈。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的线性增长类图形规律题，解题关键是找到相邻图形数量的固定增量，进而推导出通用代数式，代入对应数值即可求解，是规律探究类题型的基础考法。
【难度系数】
0.7
4.下列图形按一定规律排列，第一个图形共有4个★，第二个图形共有7个★；依照此规律，第n个图形中有
第一个图形 第二个图形 第三个图形 …
3n+1
个★.第一个图形 第二个图形 第三个图形 …
答案
4.$(3n+1)$
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先统计前几个图形中★的数量，再对比数量和图形序号的关系：首先观察到后一个图形比前一个图形多3个★，说明数量的变化增量固定为3，再把每个图形的★数量拆成“3×序号+固定数”的形式，即可推导出第n个图形的★数量。
【解析】
先统计已知图形的★个数：
第1个图形有4个★，可写为：$4 = 3×1 + 1$；
第2个图形有7个★，可写为：$7 = 3×2 + 1$；
第3个图形有10个★，可写为：$10 = 3×3 + 1$；
以此类推，第n个图形中★的个数为：$3× n +1 = 3n+1$。
【答案】
$(3n+1)$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的基础题型，解题核心是通过对比前几个图形的元素数量，找到固定增量，再结合图形序号推导通用表达式，掌握“找固定差+匹配序号”的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律题，首先统计前几个图形中★的数量，再对比数量和图形序号的关系：首先观察到后一个图形比前一个图形多3个★，说明数量的变化增量固定为3，再把每个图形的★数量拆成“3×序号+固定数”的形式，即可推导出第n个图形的★数量。
【解析】
先统计已知图形的★个数：
第1个图形有4个★，可写为：$4 = 3×1 + 1$；
第2个图形有7个★，可写为：$7 = 3×2 + 1$；
第3个图形有10个★，可写为：$10 = 3×3 + 1$；
以此类推，第n个图形中★的个数为：$3× n +1 = 3n+1$。
【答案】
$(3n+1)$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的基础题型，解题核心是通过对比前几个图形的元素数量，找到固定增量，再结合图形序号推导通用表达式，掌握“找固定差+匹配序号”的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5.(新考法)有一数值转换器,原理如图所示.若开始输入x的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,…,则第2025次输出的结果是 (
A.1
B.2
C.4
D.8
B
)A.1
B.2
C.4
D.8
答案
5.B
解析
【分析】
解决这类数值转换器的规律题，首先要按照给定的运算规则，依次计算前几次的输出结果，找到输出结果的循环规律（周期），再排除掉不参与循环的前几次结果，用剩余次数除以周期得到余数，最后根据余数对应循环节中的数字，即可求出指定次数的输出结果。
【解析】
我们按照转换器规则逐步计算前几次的输出：
1. 初始输入$x=5$，5是奇数，第1次输出：$5+3=8$；
2. 输入$x=8$，8是偶数，第2次输出：$\frac{1}{2}×8=4$；
3. 输入$x=4$，4是偶数，第3次输出：$\frac{1}{2}×4=2$；
4. 输入$x=2$，2是偶数，第4次输出：$\frac{1}{2}×2=1$；
5. 输入$x=1$，1是奇数，第5次输出：$1+3=4$；
……
观察可知：从第2次开始，输出结果按$4、2、1$的顺序循环出现，循环周期为3。
计算第2025次的输出：
先减去第1次不参与循环的结果，剩余次数为$2025-1=2024$次。
计算$2024÷3=674······2$，余数为2，对应循环节中的第2个数字，即2。
【答案】
B
【知识点】
程序类运算，规律探究，周期计算
【点评】
本题是典型的规律探究类新考法题型，解题核心是先通过试算找到循环周期，再利用周期性质快速求解，能较好地考查逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
解决这类数值转换器的规律题，首先要按照给定的运算规则，依次计算前几次的输出结果，找到输出结果的循环规律（周期），再排除掉不参与循环的前几次结果，用剩余次数除以周期得到余数，最后根据余数对应循环节中的数字，即可求出指定次数的输出结果。
【解析】
我们按照转换器规则逐步计算前几次的输出：
1. 初始输入$x=5$，5是奇数，第1次输出：$5+3=8$；
2. 输入$x=8$，8是偶数，第2次输出：$\frac{1}{2}×8=4$；
3. 输入$x=4$，4是偶数，第3次输出：$\frac{1}{2}×4=2$；
4. 输入$x=2$，2是偶数，第4次输出：$\frac{1}{2}×2=1$；
5. 输入$x=1$，1是奇数，第5次输出：$1+3=4$；
……
观察可知：从第2次开始，输出结果按$4、2、1$的顺序循环出现，循环周期为3。
计算第2025次的输出：
先减去第1次不参与循环的结果，剩余次数为$2025-1=2024$次。
计算$2024÷3=674······2$，余数为2，对应循环节中的第2个数字，即2。
【答案】
B
【知识点】
程序类运算，规律探究，周期计算
【点评】
本题是典型的规律探究类新考法题型，解题核心是先通过试算找到循环周期，再利用周期性质快速求解，能较好地考查逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
6.(跨学科)如图
是钢琴键盘的一部分,若从4开始,依次弹出4,5,6,7,1,4,5,6,7,1,…,按照上述规律弹到第2025个音符是 .
是钢琴键盘的一部分,若从4开始,依次弹出4,5,6,7,1,4,5,6,7,1,…,按照上述规律弹到第2025个音符是 .答案
6.1
解析
【分析】
首先观察弹出的音符序列，可发现音符按照“4、5、6、7、1”的顺序重复出现，即每5个音符为一个循环周期。解决这类周期规律问题的思路是：先确定周期长度，再用总个数除以周期长度，根据余数判断对应位置的数：若余数为0，对应周期的最后一个数；若余数为非零数n，对应周期的第n个数。
【解析】
观察音符序列：4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，可知该序列的循环周期为5，周期内的数依次是4、5、6、7、1。
计算$2025÷5=405$，计算结果没有余数，说明第2025个音符恰好是第405个完整周期的最后一个数，即1。
【答案】
1
【知识点】
周期规律探究，有理数除法应用
【点评】
本题结合钢琴键盘的实际场景考查规律探究类问题，解题的核心是准确找到循环周期，再结合除法运算的余数判断结果，侧重考查学生的观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先观察弹出的音符序列，可发现音符按照“4、5、6、7、1”的顺序重复出现，即每5个音符为一个循环周期。解决这类周期规律问题的思路是：先确定周期长度，再用总个数除以周期长度，根据余数判断对应位置的数：若余数为0，对应周期的最后一个数；若余数为非零数n，对应周期的第n个数。
【解析】
观察音符序列：4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，可知该序列的循环周期为5，周期内的数依次是4、5、6、7、1。
计算$2025÷5=405$，计算结果没有余数，说明第2025个音符恰好是第405个完整周期的最后一个数，即1。
【答案】
1
【知识点】
周期规律探究，有理数除法应用
【点评】
本题结合钢琴键盘的实际场景考查规律探究类问题，解题的核心是准确找到循环周期，再结合除法运算的余数判断结果，侧重考查学生的观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
7. 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（
A.160
B.172
C.170
D.180
C
）A.160
B.172
C.170
D.180
答案
7.C
解析
【分析】
解决本题需分步找规律：第一步先观察每个正方形相同位置的数字变化规律：①左上角数字依次是1、2、3……，是从1开始的连续正整数；②左下角数字依次是2、3、4……，比同正方形的左上角数字大1；③右上角数字依次是4、6、8……，满足“右上角数字=2×左上角数字+2”，据此可先求出a的值，再得到b的值。第二步找同一正方形内四个数字的运算规律：观察前三个正方形的右下角数字，可发现“右下角数字=左下角数字×右上角数字+左上角数字”，代入数值即可求出x。
【解析】
1. 求a的值：
观察前三个正方形右上角数字：4=2×1+2，6=2×2+2，8=2×3+2，可得规律：右上角数字=2×左上角数字+2。
已知第四个正方形右上角为18，因此列方程：
$2a + 2 = 18$
解得$a=8$
2. 求b的值：
观察前三个正方形左下角数字：2=1+1，3=2+1，4=3+1，可得规律：左下角数字=左上角数字+1。
因此$b = a + 1 = 8 + 1 = 9$
3. 求x的值：
观察前三个正方形右下角数字：
$9 = 2×4 + 1$，$20 = 3×6 + 2$，$35 = 4×8 + 3$，可得规律：右下角数字=左下角数字×右上角数字+左上角数字。
因此$x = b×18 + a = 9×18 + 8 = 162 + 8 = 170$
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是常见的数字规律类题型，需要先分别归纳单个位置的数字变化规律，再推导不同位置间的运算规律，解题时可先逐一验证规律是否符合前几个示例，再代入计算，能有效提升观察和归纳能力。
【难度系数】
0.6
解决本题需分步找规律：第一步先观察每个正方形相同位置的数字变化规律：①左上角数字依次是1、2、3……，是从1开始的连续正整数；②左下角数字依次是2、3、4……，比同正方形的左上角数字大1；③右上角数字依次是4、6、8……，满足“右上角数字=2×左上角数字+2”，据此可先求出a的值，再得到b的值。第二步找同一正方形内四个数字的运算规律：观察前三个正方形的右下角数字，可发现“右下角数字=左下角数字×右上角数字+左上角数字”，代入数值即可求出x。
【解析】
1. 求a的值：
观察前三个正方形右上角数字：4=2×1+2，6=2×2+2，8=2×3+2，可得规律：右上角数字=2×左上角数字+2。
已知第四个正方形右上角为18，因此列方程：
$2a + 2 = 18$
解得$a=8$
2. 求b的值：
观察前三个正方形左下角数字：2=1+1，3=2+1，4=3+1，可得规律：左下角数字=左上角数字+1。
因此$b = a + 1 = 8 + 1 = 9$
3. 求x的值：
观察前三个正方形右下角数字：
$9 = 2×4 + 1$，$20 = 3×6 + 2$，$35 = 4×8 + 3$，可得规律：右下角数字=左下角数字×右上角数字+左上角数字。
因此$x = b×18 + a = 9×18 + 8 = 162 + 8 = 170$
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是常见的数字规律类题型，需要先分别归纳单个位置的数字变化规律，再推导不同位置间的运算规律，解题时可先逐一验证规律是否符合前几个示例，再代入计算，能有效提升观察和归纳能力。
【难度系数】
0.6
8.正偶数2,4,6,8,10,…,按如下规律排列,则第27行的第21个数是
744
. 答案
8.744
解析
【分析】
首先观察排列特征：每行的数字个数等于行数，即第1行1个数，第2行2个数，……，第n行n个数，所有数都是连续的正偶数。要得到第27行第21个数，第一步先计算前26行的总数字个数，第二步确定第27行第21个数是全体正偶数中的第几个，第三步利用“第k个正偶数为2k”的规律计算即可。
【解析】
1. 计算前26行的总数字个数：
每行的数字个数等于行数，前26行的数字总数是从1到26的连续整数之和，根据求和公式“和=(首项+末项)×项数÷2”可得：
$1+2+3+\dots+26=(1+26)×26÷2=351$（个）
2. 确定所求数是第几个正偶数：
第27行第21个数对应的序号为前26行总个数加21，即：$351+21=372$
3. 计算该偶数的值：
第k个正偶数为$2k$，代入$k=372$得：$2×372=744$
【答案】
744
【知识点】
数字规律探究，等差数列求和，偶数特征
【点评】
本题属于规律探究类题型，重点考查观察归纳能力，解题的关键是先定位所求数字在整列正偶数中的位置，再结合偶数的性质计算结果，计算时需注意求和的准确性。
【难度系数】
0.6
首先观察排列特征：每行的数字个数等于行数，即第1行1个数，第2行2个数，……，第n行n个数，所有数都是连续的正偶数。要得到第27行第21个数，第一步先计算前26行的总数字个数，第二步确定第27行第21个数是全体正偶数中的第几个，第三步利用“第k个正偶数为2k”的规律计算即可。
【解析】
1. 计算前26行的总数字个数：
每行的数字个数等于行数，前26行的数字总数是从1到26的连续整数之和，根据求和公式“和=(首项+末项)×项数÷2”可得：
$1+2+3+\dots+26=(1+26)×26÷2=351$（个）
2. 确定所求数是第几个正偶数：
第27行第21个数对应的序号为前26行总个数加21，即：$351+21=372$
3. 计算该偶数的值：
第k个正偶数为$2k$，代入$k=372$得：$2×372=744$
【答案】
744
【知识点】
数字规律探究，等差数列求和，偶数特征
【点评】
本题属于规律探究类题型，重点考查观察归纳能力，解题的关键是先定位所求数字在整列正偶数中的位置，再结合偶数的性质计算结果，计算时需注意求和的准确性。
【难度系数】
0.6
9.(岳阳市中考)观察下列式子：
$1^2 -1=1×0$；
$2^2 -2=2×1$；
$3^2 -3=3×2$；
$4^2 -4=4×3$；
$5^2 -5=5×4$；
…
依此规律，则第n个(n为正整数)等式是
$1^2 -1=1×0$；
$2^2 -2=2×1$；
$3^2 -3=3×2$；
$4^2 -4=4×3$；
$5^2 -5=5×4$；
…
依此规律，则第n个(n为正整数)等式是
$n^2 -n=n(n-1)$
。答案
9.$n^2 -n=n(n-1)$
解析
【分析】
解决这类规律探究题，我们可以分开观察等式左右两边与对应序数的关系：第一步先看左边，给出的第1个式子对应序数1，左边是1²减1，第2个对应序数2，左边是2²减2，以此类推，第n个式子的左边就应该是n²减n；第二步看右边，第1个式子右边是1乘0，0就是1减1，第2个式子右边是2乘1，1就是2减1，也就是右边都是序数乘上序数减1的差，所以第n个式子的右边是n乘(n-1)；最后我们可以用学过的整式乘法验证两边是否相等，确认规律正确。
【解析】
我们逐一对比前几个等式和对应序数的关系：
1. 观察等式左边：第1个（对应序数1）为$1^2 -1$，第2个（对应序数2）为$2^2 -2$，第3个（对应序数3）为$3^2 -3$……按此规律，第n个等式的左边为$n^2 -n$；
2. 观察等式右边：第1个（对应序数1）为$1×0=1×(1-1)$，第2个（对应序数2）为$2×1=2×(2-1)$，第3个（对应序数3）为$3×2=3×(3-1)$……按此规律，第n个等式的右边为$n(n-1)$；
3. 验证：将右边展开，根据单项式乘多项式的运算法则，$n(n-1)=n·n -n·1=n^2 -n$，和左边完全相等，规律成立。
因此第n个等式为$n^2 -n =n(n-1)$。
【答案】
$n^2 -n=n(n-1)$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 列代数式
3. 整式的乘法运算
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心是建立式子内容和对应序数的关联，通过观察特殊式子的共同特征归纳出一般规律，再通过整式运算验证规律的正确性，侧重考查观察归纳能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.8
解决这类规律探究题，我们可以分开观察等式左右两边与对应序数的关系：第一步先看左边，给出的第1个式子对应序数1，左边是1²减1，第2个对应序数2，左边是2²减2，以此类推，第n个式子的左边就应该是n²减n；第二步看右边，第1个式子右边是1乘0，0就是1减1，第2个式子右边是2乘1，1就是2减1，也就是右边都是序数乘上序数减1的差，所以第n个式子的右边是n乘(n-1)；最后我们可以用学过的整式乘法验证两边是否相等，确认规律正确。
【解析】
我们逐一对比前几个等式和对应序数的关系：
1. 观察等式左边：第1个（对应序数1）为$1^2 -1$，第2个（对应序数2）为$2^2 -2$，第3个（对应序数3）为$3^2 -3$……按此规律，第n个等式的左边为$n^2 -n$；
2. 观察等式右边：第1个（对应序数1）为$1×0=1×(1-1)$，第2个（对应序数2）为$2×1=2×(2-1)$，第3个（对应序数3）为$3×2=3×(3-1)$……按此规律，第n个等式的右边为$n(n-1)$；
3. 验证：将右边展开，根据单项式乘多项式的运算法则，$n(n-1)=n·n -n·1=n^2 -n$，和左边完全相等，规律成立。
因此第n个等式为$n^2 -n =n(n-1)$。
【答案】
$n^2 -n=n(n-1)$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 列代数式
3. 整式的乘法运算
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心是建立式子内容和对应序数的关联，通过观察特殊式子的共同特征归纳出一般规律，再通过整式运算验证规律的正确性，侧重考查观察归纳能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.8
10.观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：
①$1=1^2$； ②$1+3=2^2$； ③$1+3+5=3^2$； ④______； ⑤______；…
(2)通过猜想写出与第$n$个点阵图相对应的等式.
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：
①$1=1^2$； ②$1+3=2^2$； ③$1+3+5=3^2$； ④______； ⑤______；…
(2)通过猜想写出与第$n$个点阵图相对应的等式.
答案
10.(1)$1+3+5+7=4^2$ $1+3+5+7+9=5^2$ (2)解:由(1)的规律可知,第$n$个点阵图相应的等式为$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$.
解析
【分析】
解题时先观察已知的3个等式和对应点阵的规律：可以发现等式左侧是从1开始的连续正奇数相加，第k个等式就有k个连续奇数相加，等式右侧是序号k的平方。按照这个规律，先写出第④、第⑤个等式，再推导通用的第n个等式即可。
【解析】
(1)观察已知等式：
①是第1个等式，左边1个奇数：$1$，右边$1^2$；
②是第2个等式，左边2个连续奇数相加：$1+3$，右边$2^2$；
③是第3个等式，左边3个连续奇数相加：$1+3+5$，右边$3^2$；
因此第④个等式（第4个），左边为前4个连续奇数相加：$1+3+5+7$，右边为$4^2$，即$1+3+5+7=4^2$；
第⑤个等式（第5个），左边为前5个连续奇数相加：$1+3+5+7+9$，右边为$5^2$，即$1+3+5+7+9=5^2$。
(2)推导第n个等式：
第n个等式的左侧是前n个连续正奇数相加，第n个正奇数可表示为$2n-1$，右侧为序号n的平方，因此对应等式为$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$。
【答案】
(1)$1+3+5+7=4^2$；$1+3+5+7+9=5^2$
(2)$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$
【知识点】
规律探究；奇数的表示；列代数式
【点评】
本题需要结合图形和已知等式归纳共性特征，按照从特殊到一般的思路推导通用规律，掌握连续正奇数的代数式表示是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知的3个等式和对应点阵的规律：可以发现等式左侧是从1开始的连续正奇数相加，第k个等式就有k个连续奇数相加，等式右侧是序号k的平方。按照这个规律，先写出第④、第⑤个等式，再推导通用的第n个等式即可。
【解析】
(1)观察已知等式：
①是第1个等式，左边1个奇数：$1$，右边$1^2$；
②是第2个等式，左边2个连续奇数相加：$1+3$，右边$2^2$；
③是第3个等式，左边3个连续奇数相加：$1+3+5$，右边$3^2$；
因此第④个等式（第4个），左边为前4个连续奇数相加：$1+3+5+7$，右边为$4^2$，即$1+3+5+7=4^2$；
第⑤个等式（第5个），左边为前5个连续奇数相加：$1+3+5+7+9$，右边为$5^2$，即$1+3+5+7+9=5^2$。
(2)推导第n个等式：
第n个等式的左侧是前n个连续正奇数相加，第n个正奇数可表示为$2n-1$，右侧为序号n的平方，因此对应等式为$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$。
【答案】
(1)$1+3+5+7=4^2$；$1+3+5+7+9=5^2$
(2)$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$
【知识点】
规律探究；奇数的表示；列代数式
【点评】
本题需要结合图形和已知等式归纳共性特征，按照从特殊到一般的思路推导通用规律，掌握连续正奇数的代数式表示是解题的关键。
【难度系数】
0.7
